复数方程(x-z_0)~n=z根的几个结论

约定关于ｘ的复数方程 (ｘ -ｚ0 ) ｎ=ｚ(ｚ0 ,ｚ∈Ｃ ,ｚ≠ 0 ,ｎ∈Ｎ)的ｎ个根依次为Ｘ1,Ｘ2 ,… ,Ｘｎ,它们在复平面上对应的点分别为Ｘ1,Ｘ2 ,… ,Ｘｎ.复数Ｚ0 在复平面上对应的点为Ｚ0 .设向量Ｚ0 Ｘ1,Ｚ0 Ｘ2 ,… ,Ｚ0 Ｘｎ对应的复数分别为ｒ1,ｒ2 ,… ,ｒｎ,则有如下结论 :命题 1　方程 (ｘ -ｚ0 ) ｎ=ｚ的ｎ个根的对应点均匀分布在以Ｚ0 为圆心 ,以 ｎ|ｚ|为半径的圆上 .证　因方程ｘｎ=ｚ的ｎ个根的几何意义是复平面内的ｎ个点 ,这些点均匀分布在以原点为圆心 ,半径为 ｎ|ｚ|的圆上 .而方程(ｘ -ｚ0 ) ｎ=ｚ的ｎ个根的对应点相当…     

复数的模与共轭复数

模与共轭复数是复数的两个重要概念 .为此 ,我们先罗列模与共轭复数的一些性质 .1　共轭复数的性质1)ｚ1 ｚ2 =ｚ1 ｚ2 ( 表示加、减、乘、除 ) ;2 )ｚ =ｚ ｚ∈Ｒ ;3)ｚ =-ｚ ｚ∈ {纯虚数 }∪ { 0 } ;4 )Ｒｅ(ｚ) =ｚ +ｚ2 ,Ｉｍ(ｚ) =ｚ -ｚ2 .2　复数模的性质1)ｚ·ｚ =|ｚ| 2 =|ｚ| 2 ;2 ) |ｚ1·ｚ2 | =|ｚ1|·|ｚ2 | ;3) ｚ1ｚ2=|ｚ1||ｚ2 | (ｚ2 ≠ 0 ) ;4 ) |ｚ1| - |ｚ2 | ≤ |ｚ1±ｚ2 |≤ |ｚ1| + |ｚ2 | ,其中左边等号成立的充要条件是 :ｚ1,ｚ2 对应的向量ＯＺ1与ＯＺ2 反向 ;右边等号成立的充要条件是 :ｚ1,ｚ2对应的向量Ｏ…     

纯虚数的一个性质及应用

关于纯虚数有许多性质 ,在解题中的应用都很广泛 ,笔者在教学中发现一条性质 ,在解题中应用起来 ,同样给人以美不胜收之感 .命题　设ｚ为非零复数 ,若ｚ为纯虚数则对任意非零实数ａ ,有 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ|成立 .反之 ,若ａ是非零实数 ,且 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ| ,则ｚ为纯虚数 .证明　 [方法 1]由两复数差的模的几何意义可知 ,复数ｚ对应点的轨迹为复平面上复数ａ与 -ａ对应点连线的中垂线 .显然其中垂线为虚轴 .因而复数ｚ为纯虚数 ,反之亦然 .[方法 2 ]利用复数性质ｚｚ =|ｚ| 2 .已知可化为 |ｚ +ａ| 2 =|ｚ -ａ| 2 ,则(ｚ +ａ) (ｚ +ａ) =…     

高二数学同步测试题

复数的代数形式及其运算选择题1　复数ａ ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ)所对应的点在虚轴上的充要条件是 (　　 )(Ａ)ｂ =0 . (Ｂ)ａ =0 .(Ｃ)ｂ =0 ,ａ≠ 0 . (Ｄ)ａ =0 ,ｂ≠ 0 .2　已知ｘ =- 1 3ｉ2 ,ｙ =- 1- 3ｉ2 ,则下列各式中一定成立的是 (　　 )(Ａ)ｘ5 ｙ5=1. (Ｂ)ｘ7 ｙ7=- 1.(Ｃ)ｘ9 ｙ9=- 1. (Ｄ)ｘ11 ｙ11=1.3　设ｚ1,ｚ2 为复数 ,下列四个结论中正确的是(　　 )(Ａ)若ｚ21 ｚ22 >0 ,则ｚ21>-ｚ22 .(Ｂ) |ｚ1-ｚ2 | =(ｚ1 ｚ2 ) 2 - 4ｚ1ｚ2 .(Ｃ)ｚ21 ｚ22 =0的充要条件是ｚ1=ｚ2 =0 .(Ｄ)ｚ1ｚ2 ｚ1ｚ2 一定是实数 .4　设ｚ∈Ｃ…     

为何两种平移不一样?

例 1　设复数ｚ在复平面内对应的点为Ｚ ,将点Ｚ绕坐标原点按逆时针方向旋转 π4 ,再沿实轴正方向平移 1个单位 ,向上平移 1个单位 ,得到点Ｚ1,若点Ｚ1与点Ｚ重合 ,求复数ｚ .解　 (利用整体思想 ,视所求ｚ为整体 )先将点Ｚ绕坐标原点按逆时针方向旋转 π4 ,其对应的复数为ｚｃｏｓ π4 +ｉｓｉｎ π4 .再沿实轴正方向平移 1个单位 ,向上平移 1个单位得点Ｚ1所对应的复数为ｚｃｏｓ π4 +ｉｓｉｎ π4 + 1+ｉ.由于点Ｚ1与点Ｚ重合 ,则ｚ ｃｏｓπ4 +ｉｓｉｎ π4 + 1+ｉ=ｚ ,解得ｚ =- 1-ｉ22 - 1+ 22 ｉ=- 22 + 2 + 22 ｉ.例 2　设向量ＯＺ…     

复数在几何中的应用

复数可以用点和向量表示,复数集与复平面上的点集及复平面上从坐标原点发出的向量集具有一一对应关系,复数的加减法运算可以按照向量的加减法进行,若设z=r(cosθ isinθ)复数z_1与向量OZ_1对应,那么Z·z_1的几何意义是把向量OZ_1绕o点按逆时针方向旋转θ角,再把|OZ_1|变为原来的r倍,而z-1/z(z≠0)的几何意义则是把向量OZ_1绕o点按顺时针方向转θ角,再把|OZ_1|变为原来的1/r倍,根据复数及其运算的几何意义,平面上某些图形的几何关系可以通过复数关系来刻划,从而一些几何问题就可以通过一系列的复数运算,巧妙地导出所需的结果。     

复数的模及其性质

复数的模及其性质于鸣（武汉中学）［基本概念］设复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ、ｂ∈Ｒ），则定义ｚ的模为，记为．复数的模的几何意义是，复数ｚ在复平面内对应的点Ｚ到原点的距离，即向量ＯＺ的长度．显然．当且仅当ｚ＝０时，特别地，当ｚ为实数时，设ｚ＝ａ，则，与实数绝对...     

复数

选择题1.若ａ ,ｂ∈Ｒ ,则ａ =0是ａ +ｂｉ为纯虚数的(　　 )(Ａ)充分不必要条件 .(Ｂ)必要不充分条件 .(Ｃ)充要条件 .(Ｄ)既不充分又不必要条件 .2 .实数ｘ ,ｙ满足 (1+ｉ)ｘ + (1-ｉ) ｙ =2 ,则ｘｙ的值是 (　　 )(Ａ) 1.　 (Ｂ) 2 .　 (Ｃ) - 2 .　 (Ｄ) - 1.3.复数ｉ- 1ｉ6的虚部为 (　　 )(Ａ) 8.　 (Ｂ) - 8.　 (Ｃ) 6 4 .　 (Ｄ) 0 .4 .复数ｚ满足 |ｚ| 2 =ｚ2 ,则ｚ一定是 (　　 )(Ａ)零 .　　　　　　 (Ｂ)任意实数 .(Ｃ)任意虚数 . (Ｄ)任意复数 .5 .已知复数ｚ满足ｚｚ =ｚ +ｚ ,则ｚ在复平面内对应点的轨迹是 (　　 )(Ａ)直线 …     

求复数模的最值的常用策略

复数的模是复数中的重要概念之一 ,复数ｚ的模 |ｚ|是其对应点Ｚ到原点的距离 (复数模的几何意义 ) .复数模的最值问题既是复数问题中的一个重点 ,也是一个难点 .其最常用的策略有 :用函数思想、方程思想可将问题转化为代数法或三角法 ,用数形结合思想可将问题转化为几何法 ,用重要的不等式公式可将问题转化为不等式法 .下面我们就来分别举例说明这几种策略 .1　用代数法求最值用代数法求复数模的最值 ,在这里是指把问题转化为求代数中的最值问题来解决 .例 1　已知复数ｚ满足 |ｚ - (2 + 3ｉ) | + |ｚ -(2 - 3ｉ) | =4 ,试求 |ｚ|的最值 .…     

一道复数题的广为流传的错解分析

题目　设复数ｚ满足等式 |ｚ -ｉ| =1,且ｚ≠ 0 ,ｚ≠ 2ｉ,又复数ｗ使得 ｗｗ - 2ｉ·ｚ - 2ｉｚ 为实数 ,问复数ｗ在复平面上所对应的点Ｚ的集合是什么图形 ,并说明理由 .错错 :∵ ｗｗ - 2ｉ·ｚ - 2ｉｚ ∈Ｒ ,∴ ｗｗ - 2ｉ·ｚ - 2ｉｚ =ｗｗ - 2ｉ·ｚ - 2ｉｚ ,∴ ｗ ｗ 2ｉ· ｚ 2ｉ ｚ =ｗｗ - 2ｉ·ｚ - 2ｉｚ ,整理 ,得　 ｗ( ｗ 2ｉ) ｗ(ｗ - 2ｉ) =ｚ( ｚ 2ｉ) ｚ(ｚ - 2ｉ) ,比较这个等式 ,可得ｗ =ｚ .∵ |ｚ -ｉ| =1,ｚ≠ 2ｉ,∴ |ｗ -ｉ| =1,ｗ≠ 2ｉ.故ｗ的轨迹在复平面上所对应的点集是以 (0 ,1)为圆心 ,以 1为…     

简化复数运算的常用技巧

复数的运算是复数这一章的核心内容 .与对其它运算的要求一样 ,复数的运算 ,也是一要准确 ,二要快速 .因为复数有代数、三角、几何等多种形式 ,所以进行复数运算时 ,既要选择恰当形式 ,严格遵循运算法则 ,又要灵活运用各种技巧 .加强这方面的训练 ,不仅可以直接提高运算能力 ,而且对于培养发散思维能力也大有益处 .下面举例谈谈简化复数运算的几个常用技巧 .1　运用整体思想例 1　已知复数ｚ满足 | 2ｚ -ｉ| =2 |ｚ| ,且ａｒｇ2ｚ -ｉｚ =π3.求ｚ .解　∵ | 2ｚ -ｉ| =2 |ｚ| ,∴ | 2ｚ -ｉｚ | =2 ,又ａｒｇ2ｚ -ｉｚ =π3,∴ 2ｚ -ｉｚ =…     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

复数定义的多样性与运算的灵活性

复数是实数的扩展 ,复数集的建立 ,完善了数集理论 ,为我们提供了新的解决现实问题的思路与方法 .高中代数课本第八章复数的内容主要包括 :复数的概念、运算和简单应用 .其重点是概念和运算 .1　复数定义的多样性复数的定义有三种形式 ,即代数形式、向量 (几何 )形式、三角形式 ,都是通过两个量来表示一个复数 :代数形式ａ ｂｉ中的实部ａ与虚部ｂ ;向量形式ＯＺ 中的长度 (模 ) |ＯＺ |与方向 ;三角形式ｒ(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ)中的模ｒ与辐角θ .这三种形式是互相联系的 ,可以相互转化 .据此 ,学习复数时 ,对有关概念也应从形式上多方理…     

利用复数的性质z=|z|~2解高考题

教材中关于共轭复数的性质有下面一条 :一对共轭复数ｚ , ｚ的乘积是一个实数 ,且这个实数等于每一个复数的模的平方 ,即ｚ ｚ =|ｚ| 2 =| ｚ| 2 .这一性质可以实现复数乘法与复数模之间的转换 .运用这种转换 ,可以使解题过程更为简捷、新颖 .本文以高考试题为例 ,谈其四种应用 ,以供参考 .1　用于求复数例 1　 (1989年全国高考题 )设复数ｚ满足关系式ｚ |ｚ| =2 ｉ,那么ｚ =(　　 )(Ａ) - 34 ｉ.　　 (Ｂ) 34-ｉ.(Ｃ) - 34-ｉ. (Ｄ) 34 ｉ.解　由已知可得ｚ =2 - |ｚ| ｉ,则 ｚ =2 - |ｚ|-ｉ ,两式相乘得ｚ ｚ =(2 - |ｚ| ) 2 -ｉ2 ,…     

综合题新编选登

题 1 1　已知复数 -4 ,4,ｚ0 分别对应复平面内的点Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,ｚ0 不在实轴上 ,|ｚ0 |=8.1 )求△ＡＢＣ的外接圆圆心Ｍ的轨迹Ｃ ;2 )若Ｎ是圆 (ｘ -4 ) 2 ( ｙ -ｂ) 2 =4上的动点 ,求 |ＭＮ|ｍｉｎ=ｆ(ｂ)的最大值 ;3 )若二次方程 2ｘ2 ( 2ｍ 4 )ｘ ｍ2 4=0有实根 ,且抛物线 ( ｙ-ｎ) 2 =92 (ｘ ｍ)与轨迹Ｃ有两个不同的交点 ,求实数ｎ的取值范围 .解　 1 )设ｚ0 =ｘ0 ｙ0 ｉ (ｘ0 ,ｙ0 ∈Ｒ) ,则ＡＣ的中点坐标为 ( ｘ0 -42 ,ｙ02 ) ,∴ＡＣ边的中垂线方程为ｙ-ｙ02 =-ｘ0 4ｙ0(ｘ -ｘ0 -42 ) ( 1 )又ＡＢ边的中垂线方程为ｘ =0 …     

平面向量及其运算

平面向量是高中数学新教材的重要内容 .它既反映了现实世界的数量关系 ,又体现了几何图形的位置关系 ,从而将数和形有机地结合起来 .因此 ,用向量工具处理数学问题 ,既有几何的直观性 ,又有代数表述的简洁性以及方法上的一般性 .1　向量既有大小又有方向的量叫做向量 ,可表示为ａ→ 或ＡＢ .向量ＡＢ的大小称为模 ,记作 |ＡＢ| .模为 0的向量叫做零向量 ,记作 0 .模为 1的向量叫单位向量 .与ａ→ 模相等且方向相反的向量称为ａ→ 的相反向量 ,记作 -ａ→ .两个向量的加法按照平行四边形 (即三角形 )法则进行 ,多个向量的加法则按照多边形法…     

高二数学同步训练题

同步内容 :复数的概念 ,复数的运算 ,坐标变换 .选择题 (共 14个小题 ,第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 6 0分 )1　如果用Ｃ ,Ｒ ,Ｉ分别表示复数集、实数集和纯虚数集 ,其中Ｃ为全集 ,那么有 (　　 )(Ａ)Ｃ =Ｒ∪Ｉ .　　 (Ｂ)Ｒ∩Ｉ ={0 }.(Ｃ)Ｒ∩Ｉ = .　　 (Ｄ)Ｒ =Ｃ∩Ｉ .2　下面四个式子中 ,正确的是 (　　 )(Ａ) 3ｉ>2ｉ.　　　 (Ｂ) | 2 3ｉ| >| 1- 4ｉ| .(Ｃ) | 2 -ｉ| >2ｉ4.　　(Ｄ)ｉ2 >-ｉ .3　ｚ与1-ｚ22 是两个共轭虚数 ,则ｚ是 (　　 )(Ａ) 1 2ｉ.　　　 (Ｂ) 1± 2ｉ.(Ｃ) - 1 2 ｉ . (Ｄ) - 1±…     

构造点的坐标证明不等式

有些不等式的证明 ,若采用常规方法 ,往往不易下手或比较冗繁 ,但若从数形结合思想考虑 ,充分挖掘出不等式的几何背景 ,通过构造点的坐标 ,建立起不等式的几何模型 ,利用几何图形的不等性质 ,可使不等式较易得到证明 .一、构造点的坐标 ,利用点线距最短证明图 1不等式例 1　已知ａ≥0 ,ｂ≥ 0 ,且ａ +ｂ =1,求证 :(ａ + 2 ) 2 + (ｂ +2 ) 2 ≥2 52 .证明　设Ａ(-2 ,-2 ) ,Ｐ(ａ ,ｂ) ,则点Ｐ在线段ｘ +ｙ =1(0≤ｘ≤ 1)上 ,点Ａ到直线ｘ + ｙ =1的距离ｄ =| -2 -2 -1|2 =52 .如图 1,∵　 |ＡＰ|≥ｄ ,即　 (ａ + 2 ) 2 + (ｂ + 2 ) 2 ≥ 52 …     

关于直线对称的点的复数求法

预备知识 :复平面上的任何直线都可表示为αｚ+αｚ +ｃ=0 (α≠ 0 ,ｃ∈Ｒ)的形式 .反之 ,这种形式的方程表示复平面上的直线 .事实上 ,设ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ且ａ2 +ｂ2 ≠ 0 ,ｚ =ｘ+ｙｉ,则ａｘ+ｂｙ +ｃ=0 ａ -ｂｉ2 ｚ+ ａ +ｂｉ2 ｚ+ｃ=0令α =ａ+ｂｉ2 ,则有αｚ +αｚ +ｃ=0 .其中α≠ 0 .ｃ∈Ｒ .定理　复数ｚ1 与ｚ2 所对应的点关于直线αｚ+αｚ +ｃ =0 (α≠ 0 ,ｃ∈Ｒ)对称的充要条件是αｚ1 +αｚ2 +ｃ=0 .证明　设λ为任意实数 ,则连结ｚ1 与ｚ2 而得线段的垂直平分线可表示为ｚ=ｚ1 +ｚ22 +ｉλ(ｚ2-ｚ1 ) .这条垂直平分线上的…     

用向量解竞赛题

向量是数学中的重要角色 ,是沟通数和形内在联系的有力工具 ,也有着深刻的物理背景 ,用它来解决复数问题既简捷又直观 ,不仅免去了冗长的运算 ,而且能直接抓住问题的本质 ,是数形结合不可多得的例证 ,对学生数学能力的培养及数学素养的养成都具有重要的作用 .例 1　 (1999年全国高中数学联赛加试第二题 )给定实数ａ ,ｂ ,ｃ ,已知复数ｚ1,ｚ2 ,ｚ3满足|ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1,ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .解　∵ |ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1,∴ |ｚ1ｚ2|=|ｚ2ｚ3|=|ｚ3ｚ1|=|- 1|.又ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1,∴ ｚ1ｚ2 ｚ2…