随机变量及其分布题组

填空题1　随机变量是一个用来表示的变量 ;若对随机变量可能取的一切值 ,我们都可以按一定次序一一列出 ,则这样的随机变量叫做 ;而连续型随机变量的取值可以是 .2　一个袋中装有 6个白球 ,4个红球 ,从中任取 4个 ,其中所含红球个数记为 ξ ,则 ξ =2所表示的随机试验结果是 .3　已知随机变量 ξ所有可能取的值为 1,2 ,… ,ｎ ,且取这些值的概率依次为ｋ2 ,2ｋ2 ,… ,ｎｋ2 ,则常数ｋ = .4　设随机变量 ξ只能取 6 ,7,8,… ,15这 10个值 .且取每个值的概率均相等 .则Ｐ (ξ >8) =;Ｐ(ξ≥ 10 ) =.5　设随机变量 ξ的分布列为Ｐ (ξ =ｘ) =Ｃ…     

例谈数学期望在效益、利润等经济问题中的应用

设离散型随机变量 ξ的概率分布为Ｐ(ξ =ｘｉ) =ｐｉ,ｉ =1 ,2 ,3,… ,则Ｅξ =ｘ1ｐ2+ｘ2 ｐ2 +ｘ3ｐ3+…叫做随机变量 ξ的数学期望 (简称期望 ) .数学期望是随机变量的一个重要数学特征 ,它代表了随机变量总体取值的平均水平 .下面举例谈谈数学期望在效益、利润等经济问题中的应用 .例 1　某人用 1 0万元进行为期一年的投资 ,有两种投资方案 :一是购买股票 ,二是存入银行获取利息 .买股票的收益取决于经济形势 ,若形势好可获利 4万元 ,形势中等可获利 1万元 ,形势不好要损失 2万元 .如果存入银行 ,假设年利率为 8% ,可得利息 80 0 0元 .…     

组合数的又一性质——由《概率论》中离散型随机变量的分布列的性质想到的

初等数学中关于组合数有两条性质 :Ｃｍｎ =Ｃｎ-ｍｎ 及Ｃｍｎ+1 =Ｃｍｎ +Ｃｍ- 1 ｎ ,组合数还有如下性质 :定理　若ｍ ,ｎ ,ｋ∈Ｎ ,且ｍ≤ｎ ,ｍ≤ｋ ,则有Ｃｍｎ+ｋ =∑ｉ+ｊ=ｍＣｉｎＣｊｋ这里先回顾一下《概率论》中离散型随机变量的分布列所具有的性质 :设 ζ为一离散型随机变量 ,它所有可能取的值为ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ,事件 { ζ=ｘｉ}的概率为ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) .即Ｐ{ ζ=ｘｉ} =ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ①式①为离散型随机变量 ζ的分布列 ,它可用表格的形式绘出 (表 1 )表 1ζ ｘ1 ｘ2 … ｘｎＰ ｐ1 ｐ2 … ｐｎ　　任一…     

浅析数学归纳法的奠基步骤

1　从对命题成立的简单验证中选定奠基步骤我们知道 ,在证明与自然数有关问题的正确性时 ,先验证当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1)时命题成立 .然后假设ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ｎ0 )时命题成立 ,证明ｎ =ｋ 1时命题成立 .这个过程可视为 ,若ｐ(ｎ0 )成立 ,取ｋ =ｎ0 ,由归纳步骤证ｐ(ｎ0 1)成立 .同理再由ｐ(ｎ0 1)成立证ｐ(ｎ0 2 )成立 .如此下去 ,对于所有大于ｎ0 的自然数ｎ ,ｐ(ｎ)都成立 .这里ｐ(ｎ0 )不仅是命题成立的一个真命题 ,而且还是起动归纳推理的初始步骤 .奠基步骤ｐ(ｎ0 )正是由递推关系式ｐ(ｎ0 ) ｐ(ｎ0 1) ｐ(ｎ0 2…     

累积数学归纳法

数学归纳法是一种证明与自然数ｎ有关的数学命题的重要方法 .一般地用数学归纳法证明命题时 :首先 ,证明当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1或ｎ0 =2 )时结论正确 ;然后 ,假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ ;且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,证明当ｎ=ｋ 1时结论也正确 .完成这两个步骤 ,就可以断定命题对于从ｎ0 开始的所有自然数ｎ都正确 .其实这只是数学归纳法的第一种形式 ,有些命题在第二步骤只假设当ｎ=ｋ时结论正确是不能推导出ｎ=ｋ 1时结论也正确的 (如下面几道题 ) ,必须假设当ｎ=ｎ0 ,ｎ0 1…… ,ｋ时结论都正确 ,才能推导出ｎ =ｋ 1时结论也正确 .这就是…     

数学期望在投资决策中的应用

随机变量的数学期望是随机变量的重要特征数之一 .由概率知识可知 ,随机变量的数学期望表示了随机变量在随机试验中取值的平均值 ,所以又常被称为随机变量的平均数、均值 .关于离散型随机变量有如下事实 :若随机变量ξ的概率分布列为ξ x1x2 … xn …p p1p2 …pn …则称Eξ =x1p1+x2 p2 +… +xnpn+…为 ξ的数学期望或平均数、均值 .同时若 η =aξ +b ,其中a ,b为常数 ,则 η也是随机变量 ,且Eη =aEξ+b .下面举例说明数学期望在投资决策中的应用 .1　商品流通问题例 1　春节期间 ,某鲜花店某种鲜花的进货价为每束 2 .5元 ,销售价为每束…     

一个最值问题的物理模型

题 1　已知ａ >0 ,ｂ >0 ,0 <ｘ <π2 ,求函数ｆ(ｘ) =ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ的最小值 .图 1　题 1图解　如图 1,ＡＰＢ为一以 |ＡＢ|=1为直径的半圆 ,设Ａ点有带电为ａ的点电荷 ,Ｂ点有带电为ｂ的点电荷 .对于弧上一点Ｐ ,令∠ＰＡＢ =ｘ ,则ＡＰ =ｓｉｎｘ ,ＰＢ =ｃｏｓｘ ,根据点电荷Ｕ =ｋ Ｑｒ 及电势叠加原理 .则Ｐ点电势ＵＰ=ｋａｓｉｎｘ ｋｂｃｏｓｘ=ｋ(ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ) (ｋ为静电常数 ) .这样 ,原问题便转化为在ＡＰＢ上找一点Ｐ0 ,使ＵＰ0 为最小值 .设想有一单位正电荷ｅ从Ｂ点沿圆弧自由运动 ,由其总能量守恒可知 ,当…     

新编应用题选登

题 1 　某车间有 10台同类型的机床 ,每台机床配备的电动机功率为 10千瓦 ,已知每台机床工作时 ,平均每小时实际开动 12分钟 ,且开动与否是相互独立的 .1)现因当地电力供应紧张 ,供电部门只提供 5 0千瓦的电力 ,这 10台机床能够正常工作的概率为多大 ?2 )在 1)的条件下 ,一个工作班的 8小时内 ,不能正常工作的时间约是多少 ?解　 1)设 10台机床中实际开动的机床数为随机变量 ξ,由于车床类型相同 ,且机床的开动与否相互独立 ,因此 ξ～B(10 ,p) .其中 p是每台机床开动的概率 ,由题意 p =126 0 =0 .2 ,所以P(ξ =k) =Ck10 ×0 .2 k× 0 .81…     

解数列问题的几种模式

读过《优美的级数公式》(《中学生数学》2 0 0 0年 1 2月上 )和《用组合数巧解数列题》(《中学生数学》2 0 0 1年 1 2月上 )等文后很受启发 ,进而归纳出几种讨论数列问题的模式 :模式一　欲证∑ｎｉ=1 ａｉ=Ｂｎ 成立 .若假设其成立的话 ,则Ａｎ =∑ｎｉ=1 ａｉ-Ｂｎ =0 ,对新数列{Ａｎ} ,Ａｎ=∑ｎｉ=1 ａｉ-Ｂｎ.若能证出Ａｎ +1 -Ａｎ=0 ,对一切ｎ成立 ,且Ａ1 =0 ,则Ａｎ =Ａｎ-1 =Ａｎ -2 =… =Ａ1 =0 ,从而∑ｎｉ=1 ａｉ=Ｂｎ 成立 .例 1　求证 :1·2·3…ｋ + 2·3… (ｋ + 1 ) +… +ｎ(ｎ + 1 )… (ｎ +ｋ -1 ) =1ｋ + 1 ｎ(ｎ + 1 )…     

等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…     

一道最值习题的推广及应用

习题　设 0 <ｘ <13 ,求 ｙ =ｘ2 (1 - 3ｘ)的最大值 .分析 :将ｘ2 分解为ｘ·ｘ后 ,其和不等于3ｘ ,不满足最值定理的条件 ,所以要对ｘ的系数进行“配系”为32 ,从而使问题得解 .解　∵ 0 <ｘ <13 ,∴ 1 - 3ｘ >0 ,∴ ｙ =ｘ2 (1 - 3ｘ) =49[3ｘ2 ·3ｘ2 ·(1 -3ｘ) ]≤ 493ｘ2 3ｘ2 (1 - 3ｘ)33=42 43 ,当且仅当3ｘ2 =1 - 3ｘ即ｘ =29时 ,ｙｍａｘ=42 43 .将此问题推广到一般情况 ,得命题 1　若 0 <ｘ <ｍ ｌｎ,则函数 ｙ =ａｘｋｍ(ｌ -ｎｘｍ) ｐ (ｋ ,ｌ,ｍ ,ｎ ,ｐ∈Ｎ ,ａ∈Ｒ )当且仅当ｘ =ｍ ｋｌｎ(ｐ ｋ) 时有最大值ａ ｋｐｎ…     

关于2^m的末位数字问题的探讨

1　问题的由来本人曾于 1 998年在贵刊第 1 0期提出数学问题 1 1 56题并解答 ,其中利用了“2 ｋ· 2 50 0 ≡ 2 ｋ,及(2 50 0 ) ｍ ≡ 2 50 0 ≡ 9376(ｍｏｄ1 0 4 )”这个结论 .现研究探讨发现下面的更一般的结论 .2　定理定理　当 2 ｍ 具有 2 4 ×5ｎ 的形式时 (ｍ ,ｎ为正整数 ) ,则 (2 4 ×5ｎ- 1 )·2 ｋ ≡ 0 ,即 2 4 ×5ｎ· 2 ｋ ≡ 2 ｋ 及(2 4×5ｎ) ｔ ≡ 2 4×5ｎ(ｍｏｄ1 0 ｎ 1 ,ｋ≥ｎ 1 ,ｋ ,ｔ为正整数 )证明(1 )当ｎ=1时 ,2 2 0 =(2 1 0 ) 2 =(1 0 3 2 4 ) 2 ≡2 4 2 ≡ 76∴ (2 2 0 - 1 ) · 2 ｋ ≡ 3× 52 · 2 ｋ …     

组合数的一项性质的概率证明

文 [1 ]用数学归纳法证明了组合数的一项性质 :∑ｎｉ =0ｉｒ(-1 ) ｉＣｉｎ =0 ,　　　　当ｒ≤ｎ-1且ｒ∈Ｎｎ !(-1 ) ｎ,　当ｒ =ｎ本文给出此性质一个概率证明 .为此作变换ｉｎ-ｋ ,易见上式等价于∑ｎｋ=0(-1 ) ｋＣｋｎ(ｎ-ｋ) ｒ =0 ,　　当ｒ≤ｎ-1且ｒ∈Ｎｎ !,　当ｒ =ｎ (1 )考虑随机试验 :从 1到ｎ这ｎ个自然数中每次任取一数 ,有放回地抽取ｒ次 ,令Ａｉ={取出的ｒ个数均不等于ｉ},ｉ =1 ,… ,ｎ,则Ｐｋ=Ｐ(Ａｉ1 Ａｉ2 …Ａｉｋ) =ｎ-ｋｎｒ,(1≤ｉ1<ｉ2 <… <ｉｋ ≤ｎ,ｋ =1 ,2… ,ｎ)由概率的一般加法公式Ｐ ∑ｎｉ=1Ａｉ…     

参赛应用题选登

题 42　从 1 980年 1月起计 ,用ａｎ 记某厂第ｎ月的月产值 (ａ1记 1 980年 1月的产值 ,… ,ａ13记 1 981年 1月的产值 ,… ) ,Ｓｎ 记该厂从 1 980年 1月至第ｎ月的总产值 ,即Ｓｎ=ａ1 ａ2 … ａｎ.据该厂产值的统计表发现Ｓｎ 与ａｎ 满足线性关系 :Ｓｎ=ｋａｎ ｈ(ｋ ,ｈ都是常数 ,ｋ >0且ｋ≠ 1 ,ｈ≠ 0 ) .1 )证明 :从 1 980年 2月起 ,任意一个月的产值比它上一个月的产值增长 (减少 )的百分率是一个定值 ;2 )若从 1 980年 1月起每月的产值递增 ,试确定ｋ ,ｈ应满足的条件 ;3 )若ｋ =2 1 ,求产值的月平均增长率及年平均增长率 (精确…     

一道竞赛题的推广

20 0 1年全国高中数学联赛题 5为 :若 (1+ｘ +ｘ2 ) 10 0 0 的展开式为ａ0 +ａ1ｘ +ａ2 ｘ2 +… +ａ2 0 0 0·ｘ2 0 0 0 ,则ａ0 +ａ3+ａ6 +ａ9+… +ａ1998的值为 (　　 )(Ａ) 3333.　　　 (Ｂ) 36 6 6 .(Ｃ) 3999. (Ｄ) 32 0 0 1.该题构思巧妙 ,解法灵活 ,可谓独具匠心 .笔者经研究发现 ,此处ａ1+ａ4 +ａ7+… +ａ1999=ａ2 +ａ5+ａ8+… +ａ2 0 0 0 =3999,因此 ,此题结论可以推广 .推广 1　设 (1+ｘ +ｘ2 ) ｎ(ｎ∈Ｎ)的展开式中 ,指数能被 3整除的项的系数和为Ａｎ,除以 3余 1的项的系数和为Ｂｎ,除以 3余 2的项的系数和为Ｃｎ,则Ａｎ=Ｂｎ=…     

2003年中考数学模拟试题(10)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .如果ａ <0 ,则ａ与它的相反数的差的绝对值是(　 ) .Ａ .0　　Ｂ .ａ　　Ｃ . -2ａ　　Ｄ .2ａ2 .已知 -4ｘｍ +ｎｙｍ -ｎ与 3ｘ7-ｍｙ1+ｎ是同类项 ,则ｍ ,ｎ的值分别是 (　 ) .Ａ .ｍ =-1 ,ｎ =-7　　　Ｂ .ｍ =3 ,ｎ =1Ｃ .ｍ =2 91 0 ,ｎ =65 Ｄ .ｍ =54,ｎ =-43 .不等式组 2ｘ -3 <53ｘ +1 >-2 的解集是 (　 ) .Ａ . -1 <ｘ <4　　　Ｂ .ｘ >4或ｘ <-1Ｃ .ｘ >4Ｄ .ｘ <-14.如果点Ｐ(ａ ,ｂ)关于ｘ轴的对称点Ｐ′在第三象限 ,那么直线 ｙ=ａｘ +ｂ的图象不经过 (　 ) .Ａ .第一象限　　…     

数学归纳法的证题技巧

通常那些直接或间接与自然数ｎ有关的命题可考虑运用数学归纳法来证明 .除第一归纳法和第二归纳法外 ,还有跳跃数学归纳法 :设Ｐ(ｎ)是关于自然数ｎ的命题 ,若1°　Ｐ( 1) ,Ｐ( 2 ) ,… ,Ｐ(ｌ)成立 ;2°　假设Ｐ(ｋ)成立 ,可以推出Ｐ(ｋ 1)成立 ,则Ｐ(ｎ)对一切自然数ｎ都成立 .每种形式的数学归纳法都由两步组成 :“奠基”和“归纳” ,两步缺一不可 .在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提 .利用数学归纳法证题有如下技巧 .1　“起点前移”或“起点后移” :有些关于自然数ｎ的命题Ｐ(ｎ) ,验证Ｐ( 1)比较困难 ,或者…     

新教材中一道例题的价值

在新教材高一 (下 )Ｐ10 7中有这样一道例题 :图　 1如图 1,ＯＡ ,ＯＢ不共线 ,ＡＰ =ｔＡＢ (ｔ∈Ｒ ) ,用ＯＡ ,ＯＢ表示ＯＰ .如果设ＯＡ =ａ→ ,ＯＢ =ｂ→ ,ＯＰ =ｐ→ ,那么本例题的结果为 :ｐ→ =(1-ｔ)ａ→ ｔｂ→ .笔者发现公式 ｐ→ =(1-ｔ)ａ→ ｔｂ→ .不但简捷、整齐 ,而且稍加变形就与解析几何中的分点坐标公式相似 .1　例题的潜在价值　按解析几何中的习惯 ,设λ =ＡＰＰＢ (Ｐ为有向线段ＡＢ的分点 ,λ为有向线段ＡＰ ,ＰＢ的数量比 ) ,如图 1,Ｐ为外分点 ,λ <0 ,所以λ =ＡＰＰＢ=- |ＡＰ||ＰＢ| =- |ＡＰ||ＡＰ| - 1ｔ|…     

正n边形所有对角线与边长的2p-1次方幂和

文 [1]给出了正ｎ边形所有对角线和边长的 2 ｐ( ｐ∈Ｎ)次方幂和 ,本文将给出正边形所有对角线和边长的 2 ｐ - 1( ｐ∈Ｎ)次方幂和 .引理 1　ｓｉｎ2ｐ - 1θ =4 1-ｐ ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｐ- 1 ｋＣｋ2 ｐ - 1·ｓｉｎ( 2 ｐ - 1- 2ｋ)θ.证　设ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ , ｚ =ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ ,则ｓｉｎ2 ｐ - 1θ =ｚ - ｚ2ｉ2 ｐ - 1=( 2ｉ) 1- 2 ｐ 2 ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｋＣｋ2ｐ - 1ｚ2 ｐ - 1-ｋ ｚｋ=( 2ｉ) 1- 2 ｐ ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｋ　·Ｃｋ2ｐ - 1(ｚ2 ｐ - 1- 2ｋ- ｚ2 ｐ - 1- 2ｋ)(应用了Ｃｍｎ =Ｃｎ -ｍｎ …     

一个公式的完善

《数学通报》2 0 0 1年第 2期Ｐ2 5《焦点弦长度与斜率的换算关系》一文给出如下一个定理 :定理　设ＡＢ是圆锥曲线过焦点Ｆ的弦 ,其长度记为ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾斜角为θ (θ≠ 90°) ,ｔｇθ =ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则ｄ与ｋ的关系式为 :ｄ =2ｅｐ(1 ｋ2 )(1 ｋ2 ) -ｅ2 (或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ - 2ｅｐ- 1) ( )说明 :1)当θ =90°时 ,ｄ =2ｅｐ ;2 )对于椭圆和双曲线 ,ｐ =ｂ2ｃ;3)在移轴变换之下 ,长度与夹角都是不变量 ,当焦点所在对称轴与ｘ轴重合或平行时 ,定理中ｋ或 -ｋ是弦ＡＢ的斜率 ;当焦点所在对…