求直线方程的八类典型错误

求直线方程是《直线和圆的方程》这章中的基本题型之一 .在求解问题时 ,如果考虑不周全或者忽视特殊情况 ,往往会造成漏解现象 ,下面加以剖析 .1　忽略斜率不存在若将直线方程设为点斜式或斜截式 ,则应针对斜率是否存在进行分类讨论 ,否则极易漏解 .例 1　求过 (2 ,1 )且与直线 y =3x - 1夹角为 30°的直线方程 .错解 :设所求斜率为k ,因为直线 y =3x - 1的斜率为k1=3,由 3-k1 +3k =tan30°=33,得k =33.故所求直线方程为 y - 1 =33(x - 2 ) ,即x - 3y +3- 2 =0 .剖析　这里忽略了斜率不存在的情况 .事实上 ,还有一条直线x =2也满足 .例 2　…     

新教材中一道练习题的变式与引申

高二数学新教材Ｐ96 ,第 4题如下 :△ＡＢＣ的两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 (- 6 ,0 ) ,(6 ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积等于- 49,求顶点Ｃ的轨迹方程 .解　依曲线方程的建立过程 ,设顶点Ｃ(ｘ ,ｙ) ,则ｋＣＡ·ｋＣＢ=- 49,即ｙｘ + 6 · ｙｘ - 6 =- 49.整理得 :ｘ236 + ｙ216 =1(ｘ≠ 0 ) .变式 1　若边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积改为 49,则得Ｃ点的轨迹方程为ｘ236 - ｙ216 =1(ｘ≠ 0 ) .变式 2　若两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 (ａ ,0 ) ,(-ａ ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积等于- ｂ2ａ2 (ａ >ｂ) .解法同理可得 :ｙ…     

关于根的判别式应用的课堂讨论

研究曲线的交点问题 ,就是探求由它们的方程所组成的方程组的实数解的问题 ,若该方程组消元后能转化为一元二次方程 ,常考虑运用根的判别式来解决 .运用这种方法 ,同学们产生过困惑吗 ?请参加我们的课堂讨论 .问题　(1)求直线 2ｘ -5ｙ + 5 =0与双曲线 ｙ =-10ｘ的交点 ;(2 )若圆ｘ2 + ｙ2 =1与双曲线 ｘ29ｋ2 -ｙ24ｋ2=1没有公共点 ,求实数ｋ的取值范围 .问题 (1)是新教材第二册 (上 )第 72页练习题 4,联立直线与双曲线的方程组成的方程组 ,无论消ｘ或 ｙ均有Δ <0 ,故交点不存在 .问题 (2 )解答时则出现了分歧 .方案一联立圆与双曲线的方…     

两相交直线所成角的平分线方程

首先 ,我们看例 1.例 1　现有两直线 :ｘ + 2ｙ + 2 =0 ,2ｘ +ｙ + 2 =0 ,求这两直线交角的平分线的方程 .通过一般解法得出角平分线方程为 3ｘ + 3ｙ + 4=0或ｘ -ｙ =0 .但如果将这两方程相加或相减 :ｘ+ 2ｙ + 2 + 2ｘ +ｙ + 2 =0 3ｘ + 3ｙ + 4 =0 ;ｘ + 2ｙ +2 - 2ｘ -ｙ - 2 =0 ｘ -ｙ =0 ,也和上解相同 .那么是不是存在这么一个规律 :相交两直线的角平分线方程即为两直线方程和或差 ?对例 1加以研究分析发现ｋ1·ｋ2 =1,那么是不是所有两直线方程斜率之积为 1时都成立呢 ?答案是肯定的 ,下面是简要论证过程 :若两直线斜率的乘积为 1…     

标准椭圆与双曲线的“点曲式”方程及其应用

文 [1]给出了中心在原点 ,焦点在坐标轴上 ,且经过两点Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) (其中有 |ｘ1|≠|ｘ2 |,|ｙ1|≠ |ｙ2 |)的椭圆或双曲线的两点式方程 :ｙ2 - ｙ21ｙ22 - ｙ21=ｘ2 -ｘ21ｘ22 -ｘ21.受它的启发 ,我们研究是否像直线方程有点斜式一样曲线方程也有“点斜式” ?回答是肯定的 .我们知道椭圆的离心率确定了椭圆的形状 .双曲线的离心率确定了双曲线开口的开阔程度 .因而 ,椭圆或双曲线的“斜率”会与ｅ有关 ,为此我们定义椭圆或双曲线的“斜率”为曲率 .用ｋ表示 .　　定理 1　中心在原点 ,焦点在ｘ轴上的椭圆或双曲线上有两点…     

利用平行、垂直关系求直线方程

在直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式中都至少含两个待定常数 .但是 ,与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0平行的直线可表示为Ａｘ Ｂｙ ｍ =0 (ｍ≠Ｃ) ;与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0垂直的直线可表示为Ｂｘ -Ａｙ ｍ =0 ,其中只含一个待定系数ｍ .因此 ,利用直线与直线的平行或垂直关系 ,求直线方程比较便当 .例　正方形的中心在Ｃ( - 1,0 ) ,一条边所在的直线方程是ｘ 3ｙ - 5=0 ,求其它三边所在的直线方程 .解　如图所示 ,正方形ＥＦＧＨ的ＥＦ边所在的直线方程为ｘ 3ｙ - 5=0 ,则ＥＦ的对边所在的直线方程可表示为ｘ 3ｙ ｍ =0…     

数学竞赛中的解析几何问题（一）

解析几何是高中数学的重要内容 .解析法的特点就是通过代数运算解决几何问题 ,因此 ,解析几何问题在高中数学联赛中的内容也是十分丰富的 .1　基本知识设Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )是直角坐标平面上的两点 ,则1 ) |Ｐ1 Ｐ2 | =(ｘ1 -ｘ2 ) 2 (ｙ1 - ｙ2 ) 2 =1 ｋ2 |ｘ1 -ｘ2 |(其中ｋ=ｙ2 -ｙ1 ｘ2 -ｘ1 为直线Ｐ1 Ｐ2 的斜率 ) ;2 )若点Ｐ(ｘ,ｙ)分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ (λ≠ - 1 ) ,则ｘ=ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ=ｙ1 λｙ21 λ ;3)直线Ｐ1 Ｐ2 的方程可写成ｙ - ｙ1 =ｋ(ｘ1 -ｘ2 ) (当斜率ｋ存在时 ) ,且一定能表示为Ａｘ Ｂｙ Ｃ …     

综合题新编选登

题 1　已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解　∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ…     

构造线段,虚拟交点,探求问题

众所周知 ,二元一次方程是一次函数 ｙ=ｋｘ ｂ(或ｘ =ｘ0 )定义域ｘ∈Ｒ ,如限制ａ≤ｘ≤ｂ ,则图象为线段 .线段与直线 ,这对定义域限制与放开的矛盾 ,在高中数学解题中能达到和协的统一 .1　与定比分点联系 ,虚拟交点 ,求变量图 1　例 1图的范围例 1　直线ｌ过点Ｐ(-1,2 ) ,且与以Ａ(-2 ,-3) ,Ｂ(3 ,0 )为端点的线段ＡＢ相交 ,求直线ｌ的斜率范围 .解　设直线方程为 ｙ -2 =ｋ(ｘ 1) .虚拟与线段ＡＢ的交点Ｍ ,且Ｍ分ＡＢ比为λ ,λ≥ 0 ,则Ｍ (-2 3λ1 λ ,-31 λ) .代入直线方程化简有ｋ =2λ 5-4λ 1,∴ｋ≥ 5或ｋ <-12 .注…     

用平移变换巧解一类对称问题

关于直线 ｙ =±ｘ ｂ (ｂ≠ 0 )对称的问题 ,常规思路是直接用“垂线法”求解 ,虽思路自然 ,但运算烦琐 .若通过平移变换 ,转化为关于直线 ｙ′=±ｘ′对称的问题 ,则将减少运算量 ,轻松获解 .例 1　求点Ａ(5 ,3 )关于直线ｌ:ｙ =ｘ 1的对称点Ｂ的坐标 .解　作平移变换　ｙ′=ｙ ,ｘ′=ｘ 1 .在新坐标系下 ,点Ａ的坐标为 (6,3 ) ,它关于 ｙ′=ｘ′的对称点为 (3 ,6) .∴在原坐标系下 ,所求对称点Ｂ的坐标为 (2 ,6) .例 2　已知ｌ1和ｌ2 的夹角的平分线为2ｘ 2 ｙ 1 =0 ,如果ｌ1的方程为 3ｘ - 4 ｙ -1 2 =0 ,求ｌ2 的方程 .解　∵ 2ｘ…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

半椭圆上椭圆周角两边所在直线斜率之积为定值——与半圆上圆周角类比探讨

众所周知 ,半圆上的圆周角是直角 ,角两边所在直线斜率ｋ1 ,ｋ2 若存在 ,则ｋ1 ｋ2 =- 1 .圆的这一本质属性的揭示使解决圆的有关问题有了可遵循的规律 ,带来许多方便 .我们自然会猜想二次曲线 (如椭圆 )也能有类似的性质 .1　从与半圆上圆周角类比说起1 1　设Ｐ(ｘ ,ｙ)为圆ｘ2 ｙ2 =ａ2 上任意一点 ,且不在Ｐ1 (ａ ,0 ) ,ｐ2 (-ａ ,0 )处 .ｋｐｐ1 =ｋ1 ,ｋｐｐ2 =ｋ2 则有 :ｋ1 ·ｋ2 =ｙｘ -ａ ·ｙｘ ａ =ｙ2ｘ2 -ａ2 =ａ2 -ｘ2ｘ2 -ａ2 =- 1 .反之 ,满足ｋ1 ·ｋ2=- 1的动点Ｐ(ｘ ,ｙ)的轨迹方程为 :ｙｘ -ａ· ｙｘ ａ =- 1　　 …     

这个轨迹该如何检验?

求轨迹方程的最后一步检验 ,一般省略不写 ,因此致使许多学生干脆省略不想 .其实 ,这一步是不能省略不想的 ,有时甚至不太容易想清楚 ,比如下面两例 .例 1　已知双曲线方程为ｘ2 - ｙ2 =4,过点Ａ(3,7)的直线ｌ与该双曲线交于两点Ｐ1和Ｐ2 ,求线段Ｐ1Ｐ2 的中点Ｍ的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .解　设Ｐ1(ｘ1,ｙ1) ,Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ｍ (ｘ ,ｙ) ,则ｘ =ｘ1 ｘ22 ,ｙ =ｙ1 ｙ22 .由Ｐ1,Ｐ2 在双曲线上 ,有ｘ21- ｙ21=4,ｘ22 - ｙ22 =4,两式相减 ,可得ｘ21-ｘ22 =ｙ21- ｙ22 .当ｘ1≠ｘ2时 ,化为ｙ1- ｙ2ｘ1-ｘ2 =ｘ1 ｘ2ｙ1 ｙ2 =ｘ…     

椭圆双曲线的一组有趣性质

在对椭圆、双曲线的研究中 ,笔者发现一组有趣性质 .为便于结论统一 ,我们先引入一个概念 :定义　在二次曲线方程Ａｘ2 +Ｂｙ2 +Ｃ=0 (其中Ａ、Ｂ、Ｃ是常数且Ａ·Ｂ·Ｃ≠ 0 )中 ,称比值 - ＡＢ 为此二次曲线的斜心率 ,记为Ｋ ,即Ｋ =- ＡＢ.例如圆ｘ2 +ｙ2 =ｒ2 的斜心率Ｋ =- 1 .于是 ,我们有如下有趣性质 .定理 1　椭圆 (或双曲线 )的中心在原点Ｏ ,焦点在坐标轴上 ,其斜心率为Ｋ .点Ｐ为椭圆 (或双曲线 )上任意点 ,Ｐ1 Ｐ2 为椭圆 (或双曲线 )上任意弦 ,设直线ＰＰ1 、ＰＰ2 的斜率分别为ｋ1 、ｋ2 .若弦Ｐ1 Ｐ2 过中心Ｏ ,则ｋ1 ·ｋ2…     

待定系数法求直线方程应注意的

一、关于截距一般地 ,已知直线与坐标轴上的截距有关 ,常设截距式 .但截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 ,故用截距式求直线方程时 ,要注意检验过原点及与坐标轴垂直的直线 .例 1　求经过直线 7ｘ + 8ｙ =38及 3ｘ -2 ｙ =0的交点且在两坐标轴上的截距相等的直线 .解　易得两直线交点为 ( 2 ,3) ,设所求直线方程为　 ｘａ + ｙａ =1 ,∵　点 ( 2 ,3)在直线上 ,∴　 2ａ+ 3ａ=1 ,　∴　ａ =5 .因此所求方程为　ｘ + ｙ =5 .许多同学往往解题到此结束 .显然题解中漏掉过原点的情况 ,即　 3ｘ -2 ｙ =0 .从上题我们知道 ,解此类问题 ,…     

一道习题的变式教学

在数学教学中 ,若注重对课本习题进行变式训练 ,不但可以抓好双基 ,而且还可以提高学生的数学能力 .下面是一道课本总复习参考题的变式教学的一点探讨 .题　 (人教版《解析几何》总复习题第 13题 )求曲线ｙ2 =4 - 2ｘ上与原点距离最近的点Ｐ的坐标 .变题 1　在曲线 ｙ2 =4 - 2ｘ上求一点Ｍ ,使此点到Ａ(ａ ,0 )的距离最短 ,并求最短距离 .解　设点Ｍ的坐标为 (ｘ ,ｙ) ,则|ＯＰ | =(ｘ -ａ) 2 + ｙ2=(ｘ -ａ) 2 - 2ｘ + 4=(ｘ -ａ - 1) 2 + 3- 2ａ(ｘ≤ 2 ) .若ａ≥ 1,则当ｘ =2时 ,|ＭＡ| ｍｉｎ=|ａ - 2 | ,这时点Ｍ的坐标为 (2 ,0 ) ;若…     

对方程x~2/a~2+y~2/b~2=1中“x,y互换”的误解

先看一个例题 :两轴和坐标轴重合 ,一个顶点和一个焦点分别是直线ｘ + 3ｙ - 6 =0与坐标轴的交点 ,求此椭圆的方程 .错解 :直线ｘ + 3ｙ - 6 =0与两坐标轴的交点分别为Ａ(6 ,0 ) ,Ｂ(0 ,2 ) .若焦点在ｘ轴上 ,则椭圆半焦距ｃ =6 ,短半轴长ｂ =2 ,于是ａ2 =ｂ2 +ｃ2 =4 0 .故其方程为ｘ24 0 + ｙ24 =1. (1)若焦点在 ｙ轴上 ,则将 (1)中ｘ ,ｙ互换 ,得椭圆方程ｙ24 0 + ｘ24 =1(2 )错解分析　当焦点在ｘ轴上时 ,推出的方程(1)是正确的 .但焦点在 ｙ轴上时 ,得出的方程 (2 )就非所求了 .为什么呢 ?在方程 (2 )中 ,ａ =2 10 ,ｂ =2 ,则ｃ =6 .这…     

7 直线和圆圆锥曲线

7 1　直线方程和简单的线性规划内容概述1 在平面直角坐标系中 ,常用的直线普通方程形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式Ax+By+C =0五种 ,求直线方程常用待定系数法 .2 过两点 (x1,y1)、(x2 ,y2 ) ,倾斜角为α(α ≠π2 )的直线的斜率可以用斜率公式k =tanα =y2 - y1x2 -x1求得 ,当α=π2 时 ,直线的斜率不存在 .3 若两条直线有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2 :y=k2 x+b2 时 ,则l1∥l2 　 　 k1=k2 ,b1≠b2 ;　l1⊥l2 　 　k1k2 =- 1;若两条直线至少有一条没有斜率时 ,它们的平行、垂直关系都容易根据它们的具体情况进行判断 .4 …     

用导数解初等数学题

对于某些较难的数学题 ,若想到运用导数解决 ,则能居高临下 ,往往能揭示题目之内核 ,且使得解题更容易操作 ,从而获得淡化复杂技巧的功效 .本文拟以数学竞赛题为主 ,就七个方面总结如下 .图 11　求切线的斜率例 1　 (《中等数学》)ＩＭＯ训练题 (6) .二(4) )如图 1 ,已知椭圆ｘ22 ｙ2 =1 ,ＤＡ⊥ＡＢ ,ＣＢ⊥ＡＢ且ＤＡ =3 2 ,ＣＢ= 2 ,动点Ｐ在ＡＢ上移动 ,则△ＰＣＤ的面积的最小值为 .解　易求直线ＣＤ :ｘ ｙ- 2 2 =0 .设切点Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,显见过Ｐ0 点与ＣＤ平行的切线ＥＦ和ＣＤ的距离为最小 .在ｘ轴上方 ,椭圆方程为ｙ= 1 - ｘ2…     

巧设点的坐标解题

由中点坐标公式ｘ =ｘ1 ｘ22 ,ｙ =ｙ1 ｙ22 知ｘ1 ,ｘ ,ｘ2 及ｙ1 ,ｙ ,ｙ2 均成等差数列 ,若分别设其公差为ｄ1 ,ｄ2 ,则ｘ1 =ｘ -ｄ1 ,ｙ1 =ｙ -ｄ2 ,　　 ｘ2 =ｘ ｄ1 ,ｙ2 =ｙ ｄ2 .即若线段ＡＢ的中点为Ｐ(ｘ ,ｙ) ,则可设Ａ (ｘ-ｄ1 ,ｙ -ｄ2 ) ,Ｂ(ｘ ｄ1 ,ｙ ｄ2 ) .不难验证 ,ｋＡＢ=ｄ2ｄ1,|ＡＢ| =2ｄ21 ｄ22 .例 1　定长为ｌ的线段ＡＢ的两个端点在抛物线ｙ2 =ｘ上移动 ,求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程 .解　设Ｐ (ｘ ,ｙ) ,Ａ (ｘ -ｄ1 ,ｙ -ｄ2 ) ,Ｂ(ｘ ｄ1 ,ｙ ｄ2 ) ,则　 ( ｙ -ｄ2 ) 2 =ｘ -ｄ1 ( 1)( ｙ ｄ2 …