对一道2002年高招试题的质疑

20 0 2年全国普通高校招生统一考试数学 (文史类 )试卷压轴题为 :(Ⅰ )给出两块面积相同的正三角形纸片(如图 1、图 2 ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块剪拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1、图 2中 ,并作简要说明 ;(Ⅱ )试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小 ;(Ⅲ ) (附加题 ,略 ) .图 1　正三角形　　　　　　图 2　正三角形这是一道实际操作落料型应用题 .源于人教版数学第二册 (下Ａ) (试验修订本·必读 )Ｐ52介绍的五种正多面体的表面…     

对于2002年高考数学第21题的一点思考

原题　 ( )给出两块面积相同的正三角形纸片 ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图中并作简要说明 .( )试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小 .( ) (略 )标准答案是一种解法 ,摘要如下 :解　 ( )剪法如图 1、图 2所示图 1　　　　　　图 2( )设给出正三角形的边长为 2 ,则V锥 - V柱 =( 13h锥 - h柱 ) . 34=( 69- 36 ) . 34<0 .所以 V柱 >V锥 .这道题另一种迥然不同的剪法 (如图 3) ,先把正三角形拼成一个长…     

借助中点巧构图

几何问题常常会涉及到线段的中点 ,巧用线段的中点是解决几何问题的重要技巧 .2 0 0 2年高考数学试题第 2 1题除了命题组提供的方法外 ,还可借助线段的中点巧解此题 ,下列解法供参考 .试题　 (Ⅰ )给出两块面积相同的正三角形纸片 (如图 1,图 2 ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块剪拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1、图 2中 ,并作简要说明 ;(Ⅱ )试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小 ;(Ⅲ )如果给出的是一块任意三角形的纸片 (如图 3 ) ,要…     

对一道2002年高考试题的质疑的商榷

文 [1 ]对 2 0 0 2年高招文史类第 2 2题的解法和答案展示了自己的见解 ,其中有一个图 1　三角形说法欠妥 .原文是 :“按题目要求 ,图 1剪拼成正三棱锥模型 ,其方法是唯一的 ,即沿正三角形之三条中位线折起 ,可拼一个正三棱锥 (如图 1 ) .”实际上按要求剪拼成的正三棱锥不是唯一的 ,可有多种剪拼方法 .下面按文 [1 ]的思路给出两种方法 .如图 2所示 ,设正三角形边长为 1 ,取正三角形两腰OM ,ON的四等分点A ,B ,C和D ,E ,F ;图 2　三角形的剪拼分别引底边垂线 ,垂足分别为A1,B1,C1,D1,E1,F1;作OO1⊥MN于O1,OO1交CD于H ,将对称的…     

智慧窗

怎样剪拼 ?　　把一个正五边形纸片剪开拼成一个正五棱柱模型 ,使五棱柱的全面积等于原正五边形的面积 ,怎样剪拼 ?北京师大二附中 ( 1 0 0 0 88)张鸿菊提供(答案在本期找 )智慧窗《怎样剪拼 ?》参考答案　　如图 ,沿所有虚线剪开 ,以其中小五边形为正五棱柱的下底 ,以五个小长方形为五棱柱的各侧面 ,再将余下的五个小四边形 (带阴影者 )拼成一个正五边形作为上底 ,即得正五棱柱 .智慧窗$北京师大二附中!100088@张鸿菊     

两法剪拼矩形

任意一个凸四边形,你能剪拼成一个与其面积相等的矩形吗?方法一:"三刀法"图1剪拼方法如下:(1)如图1,取四边形各边的中点A、B、C、D,连结BD,过点A、C     

新型的中考作图题例说

纵观近几年全国各省(市)的中考数学试题发现,作图题涌现出一些设计新颖、富有创意的好题,是目前中考的热门题型.有四类:一是开放型、二是启发型、三是设计型、四是应用型.现撷取几例,希望对大家有所启发.一、开放型例1(2004年安徽省中考题)正方形通过剪切可以拼成三角形.方法如图1:仿照图1用图示的方法,解答下列问题:操作设计:(1)如图2,对直角三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形.(2)如图3,对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形等面积的矩形.二、启发型例2(2001年北京市中考题)…     

“剪矩拼方”通法及其原理

如何把任意一个矩形剪拼成一个正方形?本文给出一种通法,并对其原理予以说明.如图1～图4所示,矩形ABCD中,设AB=CD=a,AD=BC=b,其中a>b.剪拼方法:Ⅰ当a≤2b时,如图1所示.(1)在线段CD上截取CE=b,以CD为直径作⊙O,过点E作     

概率知识的一个应用--一道竞赛题别解及其推广

20 0 1年全国高中数学联合竞赛第 1 2题是一道排列组合题 .题目如下 :图 1在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图 1 ) ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现有 4种不同的植物可供选择 ,则有几种栽种方案 ?试题参考答案用分类讨论方法求解 ,文 [1 ]、文 [2 ]又从不同的两种途径进行了探讨 ,本文则借助递推数列 ,用概率知识求解 ,思路清晰 ,也可推广至一般情形 .答案简洁 ,回味无穷 .不妨沿 AF边界剪开展成图 2 :图 2可供选择的4种不同植物设为 a、b、c、d,题设限制条件即 A至F相邻的两块种不同的植物 ,且首尾 A、…     

正方形剪拼成三角形方法多

<正>一个正方形剪两刀成三块,可以拼接成三角形,其剪拼的方式有很多,以下是我发现的一些剪拼方法,仅供大家参考.剪法一剪成两个全等的直角三角形和一个等腰梯形.如图1截取两个全等的直角三角形,较短的直角边占边长的1/4,拼成等腰三角形△ABC.     

多边形的剪拼

把一个平面图形沿某些直线剪切有限次,若剪得的几块图形能不重复地拼成另一个平面图形,则按照同样的剪法,也可把第二个平面图形拼成第一个平面图形.这时,称这两个平面图形可以互相剪拼. 显然,两个平面图形若能互相剪拼,则它们的面积相等,但面积相等的两个平面图形则不一定能互相剪拼.比如,不能把一个圆剪     

探究一道高考题的解法

在2004年的上海高考卷中21(3)题是考查考生数学能力的一道好题.联想到2002年全国卷的一道剪拼题得到全国上下的一片好评,笔者以为本题与剪拼题有异曲同工之妙!但看了本题的参考答案,笔者总觉得答案来的太突然,笔者以为一般学生不会直接想到这种解法。下面笔者试着给出本题解法的思考过程。     

一道联考题的错因剖析与变式研究

题目(2010年湖北省八市高三三月联考理科第19题)如图1,用一块形状为半椭圆x2+y2/4=1(y≥0)的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD,问:怎样截才能使所得等腰梯形ABCD的面积最大?     

一道联赛试题的推广及递推解法

题目　在一块正六边形区域栽种观赏植物 (如图 1 ) ,要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 ,现有 4种不同的植物可供选择 ,则有　　　种栽种方案 .这是 2 0 0 1年全国高中联赛的一道填空题 ,参考答案给出了一种分类讨论的解法 .这里 ,我们将原问题推广后给出一种递推的解法 .为叙述方便 ,我们可以将原问题一般化后转化为下述等价问题 :在一块正 n边形区域栽种观赏植物 ,该正图 1n边形被其半径分割成 n个三角形块 ,依次记为 A1,A2 ,A3 ,… ,An.要求同一块中种同一种植物 ,相邻的两块种不同的植物 .现在有 k种不同的植物可供选…     

“心形曲线”的重识与改编

<正>在学习圆锥曲线的过程中,我们碰到一道有趣的题目——2019年北京卷理数的选择压轴题“心形曲线”问题．思考试题过程中,小有收获,记录成文．1原题再现(2019年理科数学北京卷第8题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图1)．给出下列三个结论:(1)曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);     

趣说平行四边形剪拼问题

<正>平行四边形的剪拼问题,是一个值得探讨的问题.本文从平行四边形剪拼成三角形、长方形、正方形、梯形,任意四边形五个方面介绍了平行四边形的剪拼,探究剪拼的规律方法,期望对读者有所帮助.平行四边形若沿着某一条线剪开,拼成一个新的图形,这是一个非常有趣的问题.本文结合教学实际和同学们分享一下剪拼结果,以期对大家有帮助.^([1])     

图形的剪剪拼拼

<正>将一个平面图形剪成若干块,然后拼成另一个与它等积的平面图形,这就是图形的剪与拼.这类题目形式多样、新颖有趣、是富有创意的动手操作性问题.它在中小学一些智力赛题以及中考题中也常出现.对于这类问题,切勿胡乱剪来,否则事倍功半,难以奏效.经验证明,只要充分应用科学的几何知识,仔细地计     

对一道高考题的拓展研究

2005年辽宁省高考数学第18题(我们把它称为原题)是一道很有价值的题目.如图1,在直径为1的圆O中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,∠ACD=θ,其中y>x>O.(Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数;(Ⅱ)θ为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少?     

题目让我们想到了什么——一道中考填空压轴题的解题思考

一、原题展示 题目 (2014年天津卷第18题)如图1,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上. (1)计算AC2+BC2的值等于____; (2)请在如图1所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以AB为一边的矩形,使矩形的面积等于AC2+BC2,并简要说明画图方法(不要求证明)____.     

四边形剪拼试题解析两例

<正>四边形有关的剪拼图形问题在近年来中考中屡见不鲜,其特点是给出一个或多个四边形纸片,按一定的方式剪开,再拼成一个或多个其它的图形.这类问题旨在考查同学们的动手操作能力,观察、分析、推理和计算能力.解答它们的关键在于正确地运用平移、翻折和旋转等图形变换的知识.现以近年来中考题为例介绍如下:例1(天津市)如图1,有一张长为5,