方程x~2/m y~2/n=1

由于椭圆和双曲线都是有心二次曲线,决定了它们是统一物的两个方面。根据这样的指导思想,我们利用方程x~2/m y~2/n=1(m、n为参变数,且m·n≠0)来研究椭圆和双曲线的某些特性,此外在解答习题上有很多好处,统一了某些公式,而且也有助于进一步了解有心二次曲线的共性的一面。     

不等式a~3/x~2+b~3/y~2≥(a+b)~3/(x+y)~2的另证

文 [1 ]中谭志中和单老师为解决一类电场问题提出了一个不等式 ,即对于任意的ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,有不等式ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 成立 .(其中等号成立当且仅当ａｙ =ｂｘ ａｘ=ｂｙ) .文中为证明上述不等式 ,构造了恒等式 ,即 :ｆ (ｘ ,ｙ) =ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 =(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 +(ａｙ -ｂｘ)ｘｙ(ｘ + ｙ)ａｘ+ ｂｙ+ ａ +ｂｘ + ｙ .构造虽然巧妙 ,但一时不易让人接受 ,下面给出此不等式的另一种证法 .证　由于ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ+ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 (ｘ2 + ｙ2 + 2ｘｙ)·ａ3ｘ2 + ｂ3…     

关于丢番图方程x~2+1=2y~2,x~2-1=2DZ

的解的研究,是一很有意义的问题.当 D=P 是一个奇素数时,Ljunggren 证明了(1)无正整数解(x,y,z).而当 D=2P 时,柯召、孙琦证明了除开 P=3,(x,y,z)-(7,5,2)外无其他的正整数解.作者曾证明,如果方程 u~2-Dv~2=-1有整数解,则(1)无正整数解.本文研究更为一般的 D,顺便给出丢番图方程 x~4-Dy~2=1的几个一般性结果.我们由(1)的第一式可得出     

利用曲线系(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=λ求曲线方程

中学教材介绍的曲线方程的求法有两种。一是轨迹法,二是标准式法。利用曲线系求曲线方程又是标准式法一种特殊形式。这里以双曲线系方程为例,说明这种方法的应用。方程x~2/a~2-y~2/b~2=λ(Ⅰ)表示中心在原点,对称轴合于坐标轴的双曲线系。λ>0时,焦点在x轴上,λ<0 时,焦点在y轴上,不管λ为何值,这些双曲线都以x~2/a~2-y~2/b~2=0为渐近线(特别地,λ=0时,曲线就是渐近线)。因此,双曲线系(Ⅰ)又称共渐双曲线系。当研究的双曲线与渐近线有关时,运用双曲线系(Ⅰ)解题很方便。     

对双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1存在轴对称点充要条件的修正

本刊1991年第9期由周华生、张肇平合写的文章“二次曲线存在轴对称点的充要条件”中,所给出的定理1与定理3是不严密的。并因此造成了例4的解答错误。原文的例4是: “直线y-ax 1与曲线3x~2-y~2 1相交于A、B两点。是否存在这样的实数a,使二交点A、     

关于丢番图方程x~2+y~2=p与x~2+2y~2=p的整数解

利用p次单位根e~((2πi)/p)作为原始材料,通过不同层次的组合,当p≡1(mod 4)时,给出了方程x~2+y~2=p的整数解.在此基础上,当p≡1(mod 8)时,进一步给出了x~2+2y~2=p的整数解.     

Diophantine方程y~2=px(x~2+2)

设p是大于3的奇素数.本文证明了:当p≡5或7(mod 8)时,方程y~2=px(x~2+2)无正整数解(x,y);当p≡1(mod 8)时,该方程至多有1组解;当p≡3(mod 8)时,该方程至多有2组解.     

Diophantine方程组a~2+b~2=c~r和x~2+b~y=c~z的一点注记

设r是大于1的正奇数,a,b,c是满足a~2+b~2=c~r的互素正整数.证明了:当r(?)5(mod8),c>10~(12)r~4且b是奇素数的方幂时,方程x~2+b~y=c~z仅有正整数解(x,y,z)=(a,2,r).     

关于方程x~2+x-2y~2=0的解法

在1963年第7期的数学通报上刊登了吳方同志的“化三角为方形”一文,提出了关于不定方程n(n+1)/2=m~2的解法問題,本文介紹一个新的方法。求不定方程 x_(?)(x+1)/2=y~2的一切自然数解的問題相当于求不定方程 x~2+x-2y~2=0 (1)的一切自然数解(为叙述方便起見,下面举凡“自然数解”一律写为“解”)。首先,我們注意到x_1=1,y_1=1是方程(1)的解,下面我們証明不定方程(1)的所有自然数解皆可由     

双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1切线的几个性质

我们通常通过数形结合的方法判断过定点的直线与双曲线x2/a2-y2/b2=1能否相切,强调对图形的感知能力。本文拟用严格的代数方法说明定点与双曲线的位置关系对切线条数及切点位置的影响。     

商高定理与方程x~2+y~2+z~2=w~2

华罗庚著《数論导引》中“商高定理”一节,見有方程 x~2+y~2+z~2=w~2 (1)习題一则,遂默思其解,得到了解法数种。現在写出来向同志們請教。 (一) 我們称方程 x~2+y~2=z~2 (2)的解[x,y,z]为“商高数”。如有两組商高教,其一組之第三項(或其倍数)适与另一組之第一或第二項(或其倍数)相等,以第一組之前两項,代另一組之前两項中之一項,那么,就得到方程(1)的一組解。设两組商高数:     

直线x_0x y_0y=r~2与圆x~2 y~2=r~2

设圆G的方程为x~2 y~2=γ~2,则经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线的方程是x_0x y_0y=γ~2,从这条切线的唯一性出发,可得上述命题的三个逆命题:(1)若点M(x_0,y_0)在圆G上,则直线l与圆G相切;(2)若直线l与圆G相切,则点M是切点;(3)若圆心在原点的圆与直线l切于M,则圆为圆G.例1 (课本《解析几何P69第12题)判断直线3x 4y=50与圆x~2 y~2=100     

关于Pell方程x~2-30y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

设p_1,…,p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数.利用同余、递归序列、Pell方程的解的性质等证明了:当D=2p1…p_s,1≤s≤4时除开D为2×241外,Pell方程x~2-30y~2=1与y~2-Dz~2=4仅有平凡解(x,y,z)=(±11,±2,0).     

Mordell方程y~3=x~2+2p~4的正整数解

设p是奇素数.对于非负整数r,设U_(2r+1)=(α~(2r+1)+β~(2r+1))/2~(1/2),V_(2r+1)=(α~(2r+1)-β~(2r+1))/6~(1/2),其中α=(1+3~(1/2))/2~(1/2),β=(1-3~(1/2))/2~(1/2).运用初等数论方法证明了:方程y~3=x~2+2p~4有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=U_(2m+1),其中m是正整数.当上述条件成立时,方程仅有正整数解(x,y)=(V(2m+1)(V_(2m+1)~2-6),V_(2m+1)~2+2)适合gcd(x,y)=1.由此可知:当p10000时,方程仅有正整数解(p,x,y)=(5,9,11),(19,1265,123),(71,68675,1683)和(3691,9677201305,4541163)适合gcd(x,y)=1.     

也谈Pell方程x~2-2y~2=1和y~2-DZ~2=4的公解

本文证明了:若D为奇数且最多含有3个互不相同的素因数时,Pell方程x~2-2y~2=1和y~2-Dz~2=4的公解仅有非平凡解(x,y,z)=(17,12,2)(D=35);(x,y,z)=(19601,13860,26)(D=29×41×239)。这个结论加强了Mohanty和Ramasamy以及陈建华的结论。     

相似三角形中形如“a~2/b~2=c/d”的证明

在相似三角形的学习中等积式和比例式的证明我们比较熟悉,但结论形如a~2/b~2=c/d的证明则有一定的难度,通过学习我发现常见的有下列几种证明方法:方法1利用相似三角形先证明a~2=mc,b~2=md,∴a~2/b~2=mc/md=c/d.     

椭圆x~2-xy+y~2=1的性质和图像

<正>类比普通高中课程标准实验教科书数学A版修2-1第43页(选修1-1第37页)研究椭圆的简单几何性质的方法,研究椭圆C:x~2 -xy+y~2=1的几何性质并画图.     

椭圆曲线y~2=x~3-21x+90的正整数点

利用初等方法证明了椭圆曲线y~2=x~3-21x+90无正整数点.     

关于 x~2+y~2=n 的有理解

文〔l]中求出厂二儿二次不定方程 厂+丫二1和丫十犷二2的全部有理解,同时还证明厂不定方程 丫+丫=3没有有理解,本文将这个有趣的问题推广到一般的二元一几次不定方程 丫+犷“n(r,为自然数)(l)求出它的有理解的表达式,并指出对于怎样的自然数,l’方程(l)有有理解。 定理1若不定方程川有整数解,则它有无穷多组有理解。当方程(l)的组整数解为x二a,g=b时,它的全部有理解可表为 m:’tZ一2脚b一ab一Zma一m,bX一一,.一,,U一—、‘) l十”未一~1十”之其中。为有理数。 证明方程(l)在直角坐标系中表示圆心在坐标原点,‘卜径为训丁的圆。山于 y一b…     

丢翻图方程x~2+a~2=2y~n解法的计算研究

本文研究了一类丢番图方程的解.利用对Thue方程解的估计和方程解的连分式展开,获得了所求丢番图方程解的个数、解上界的估计和一般的求解算法.最后利用该算法给出了1≤a≤108的所有解.