一个有趣性质的再推广与证明

《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个有趣性质的拓广》中的命题 1　矩形外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .命题 2　矩形外接圆周上的任一点到各边中点的距离的平方和为定值 .可作进一步的推广 .命题 1′　关于原点成中心对称的多边形的外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .证明　如图所示 ,设ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 为关于原点成中心对称的图形 ,点Ｐ(ｘ ,ｙ)为其外接圆上的任一点 ,角θｉ- 1 为有向角 ,记θｉ- 1 =∠Ａ1 ＯＡｉ,｜ＰＡｉ｜为点Ｐ到点Ａ的距离 .则∑ｎｉ=1｜ＰＡｉ｜2= ｘ-Ｒｃｏｓθｉ- 1 2 …     

中心对称的多边形的外接圆周上点的性质

笔者发现中心对称的多边形的外接圆周上的点具有性质：中心对称的多边形每组对边上关于它的外接圆心的对称点将各边分为成比例线段,则此圆周上任意点到各个对称点的距离的平方和为定值,即有如下命题。     

关于圆的一类重要性质

圆是平面几何及平面解析几何研究的最基本、最重要的曲线 ,它具有许多优美、和谐的性质 ,本文借助直线的参数方程这个工具 ,探讨一类具有广泛性的圆的定值问题 ,其结论是如下的几个定理 .定理 1　设Ｐ是半径为Ｒ的圆Ｏ内任意一点 ,过点Ｐ任意引ｎ(ｎ≥ 2 )条直线ｌ1,ｌ2 ,… ,ｌｎ,如果这ｎ条直线相邻两条所成的角都为 πｎ ,且第ｉ条直线ｌｉ交圆于Ｍｉ,Ｍ′ｉ 两点 (ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,那么∑ｎｉ =1(｜ＰＭｉ｜2 +｜ＰＭ′ｉ｜2 )是与Ｐ点无关的定值 2ｎＲ2 .定理 2　设Ｐ是半径为Ｒ的圆Ｏ内任意一点 ,且｜ＯＰ｜=ｒ(ｒ <Ｒ) ,过点Ｐ任…     

多面体存在外接球的充要条件

定理 1　ｎ棱锥有外接球的充要条件是 :它的底面多边形有外接圆 .证明　记ｎ棱锥为Ｐ-Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,它存在一个外接球 ,球心为Ｏ ,半径为Ｒ .Ｏ在底面投影记为Ｍ ,则ＯＡ1 =ＯＡ2 =… =ＯＡｎ =Ｒ显见Ｒｔ△ＯＭＡ1 ≌Ｒｔ△ＯＭＡ2 ≌… ≌Ｒｔ△ＯＭＡｎ∴ＭＡ1 =ＭＡ2 =… =ＭＡｎ即Ｍ是ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的外心 ,必要性证毕 .反之 ,对于ｎ棱锥Ｐ-Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,设底面多边形有外接圆心Ｍ ,过Ｍ作直线ＭＮ垂直于底面 ,显见ＭＮ不与ＰＡ1 垂直 ,故作线段ＰＡ1 中垂面 (即过ＰＡ1 中点且与ＰＡ1 垂直的平面 )必与直线ＭＮ有唯一的交…     

关于圆锥曲线的切线性质的一组定理

本文将应用如下两条熟知的引理及相关的平面几何知识 ,推导出关于椭圆、双曲线、抛物线的切线性质的一组定理 .引理 1　椭圆 (或双曲线 )上任一点的切线与该点的两条焦半径成等角 .引理 2　抛物线上任一点的切线与该点的焦半径及其对称轴成等角 .定理 1　过椭圆 (或双曲线 )上任一点作切线 ,则两焦点到此切线的距离之积为定值 .证明　 (仅以双曲线为例 ,椭圆类似 ,从略 )如图 ,设双曲线的方程为ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 ,ａ、ｂ ∈Ｒ+,Ｐ为双曲线上任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,Ｆ1、Ｆ2 为两焦点 ,Ｆ1Ａ⊥ｌ于Ａ ,Ｆ2 Ｂ⊥ｌ于Ｂ ,由引理 1可知 ,∠…     

再谈一个定值命题的推广

本刊文[1]证明了命题: 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值.     

一个有趣性质的拓广

读贵刊1994年第2期《矩形外接圆周上点的有趣性质》(以下简称《有趣性质》)一文,笔者发现文中结论仍是一种特殊情形,很容易拓广为更一般的结论.《有趣性质》一文主要证得了一个引理及一个定理,即命题1　矩形外接圆周上任一点,到各顶点距离的平方和为定值.命题2　矩形外接圆周上任一点,到各边中点距离的平方和为定值.这两个结论告诉我们:矩形外接圆周上任一点到矩形四条边的端点及中点的距离的平方和均为定值.很容易提出:矩形的四条边上的其它点是不是也具有这样的性质?还可提出:是不是仅仅是矩形外接圆周上的点才具有这样的性质?定理1　P为…     

一个定值命题的简证与推广

贵刊2001年第12期文[1]证明了下面的命题(原文中例6): 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值. 文[1]采用综合法证明,过程繁、篇幅长,经我们研究后得到一种解析证法,不仅简洁,而且容易将命题推广.     

一道命题的修正

一道命题的修正黄俊明（贵州省黔东南州民族林校５５６０００）师五喜［１］老师提供并“证明”了如下命题设Ａ１Ａ２…Ａｎ为正ｎ边形，Ｒ为其外接圆半径，Ａ为外接圆上任一点，记∑＝∑ｎｋ＝１ＡＡｋ２ｍ（ｍ∈Ｎ），则∑＝ｎＲ２ｍＣｍ２ｍ．笔者指出：上述命题，当ｍ...     

关于空间PA_i~2为定值的一个结果

关于空间ＰＡ_ｉ~２为定值的一个结果杨定华（四川高县中学高９６级（１）班６４５１５０）定理记Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ；Ｂ１，Ｂ２，…，Ｂｎ为空间中的２ｎ个点，Ａ１Ｂ１，Ａ２Ｂ２，…，ＡｎＢｎ交于一点Ｏ，且ＯＡｉ＝ＯＢｉ（ｉ＝１；２，…，ｎ），点Ｐ是半径为...     

平面闭折线与其各边分点闭折线的重心之间的关系

在ｎ边平面闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1的各边Ａ1Ａ2 ,Ａ2 Ａ3,… ,ＡｎＡ1(或其所在直线 )上分别取一点Ｂ1,Ｂ2 ,… ,Ｂｎ,依次连结这ｎ个点得到另一条ｎ边闭折线Ｂ1Ｂ2 Ｂ3…ＢｎＢ1,本文研究当各边上的分点满足某种特定条件时 ,两条闭折线的重心之间的关系 .先引入平面闭折线的重心的定义 :定义　在闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1所在平面内建立直角坐标系ｘＯｙ ,设闭折线各顶点坐标为 :Ａｉ(ｘｉ,ｙｉ) ,令 ｘ =1ｎ∑ｎｉ=1ｘｉ, ｙ =1ｎ ∑ｎｉ=1ｙｉ,称点Ｇ( ｘ , ｙ)为闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1的重心 .定理 1　在平面闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…     

一道课外练习题的补遗

《中学生数学》2 0 0 1年 1 1月上期课外练习高二年级第 3题是 :已知直线ｌ :ｘ -ｙ + 6=0 ,圆Ｃ :(ｘ - 3 ) 2+ ( ｙ- 3 ) 2 =4的切线及ｘ轴、ｙ轴围成的四边形有外接圆 ,求此外接圆的方程 .在解答中遗漏了一种情形 :当圆的切线与ｌ平行且与负半ｘ轴、正半 ｙ轴相交时 ,已知四直线围成的四边形为等腰梯形图中的ＰＤＥＦ ,亦有外接圆 .故应补充解答如下 :又设切线方程为ｌ′ :ｘ - ｙ +ｂ′ =0 .由圆心 ( 3 ,3 )到ｌ′的距离等于圆的半径 2 ,即| 3 - 3 +ｂ′|2 =2 ,得ｂ′=± 2 2 (舍去 - 2 2 ) .设ｌ′与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ｅ( - 2 2 ,0 …     

改进一个不等式的思考过程

设ａｉ≥ 0 ,ｂｉ≥ 0 ,ａｉ+ｂｉ=1 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 .记Ｓｎ =∑ｎｉ=1ｂｉａｉ+1 ,规定当ｉ>ｎ ,ａｉ =ａｉ-ｎ,当ｉ<1 ,ａｉ =ａｉ+ｎ.文 [1 ]证明了命题 1　Ｓｎ ≤ ｎ4ｓｉｎ2 πｎ图 1证法颇为巧妙 :如图1 ,Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 是边长为 1的正ｎ边形 ,在ＡｉＡｉ+1 上取Ｂｉ,使ＡｉＢｉ =ａｉ,则ＢｉＡｉ+1=ｂｉ.显见 ∑ｎｉ=1Ｓ△ＢｉＡｉ+1 Ｂｉ+1 ≤ＳＡ1 Ａ2 …Ａｎ,也就是12 ｓｉｎ(ｎ- 2 )πｎ ∑ｎｉ=1ｂｉａｉ+1　≤ ｎ2 · 14ｓｉｎ2 πｎ·ｓｉｎ2πｎ整理即得 (1 ) .在图 1中作正ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的对角线Ａ1 …     

也谈一个定值命题的推广

文 [1]证明了下面的命题 :命题 1　设P1、P2 、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1=BP2 =CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 .文 [2 ]用解析法给出上面命题一个简洁证明 ,并将其“推广”为 :命题 2　设P1、P2 、P3分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1∶P1B =BP2 ∶P2 C =CP3∶P3A =λ ,以△ABC的重心G为圆心 ,定长R为半径作⊙ (G ,R) ,直线l是⊙ (G ,R)的任意一条切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 (3R) .笔者认为 ,命题 2是假…     

矩形外接圆周上点的有趣性质

矩形外接圆周上点的有趣性质刘清阁（吉林省白城地区教育学院１３７０００）引理矩形外接圆周上任一点，到各顶点距离的平方和为定值，已知：如图１，Ｐ为矩形ＡＢＣＤ外接圆周上任一点，Ｏ半径为Ｒ．求证：ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２＋ＰＤ２＝８Ｒ２．证由勾股定理易得结论...     

应用凸多边形的重心公式证一类三角不等式

物理学告诉我们 :对于均匀分布的凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,若各顶点的坐标依次是Ａ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ａ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ａ3(ｘ3,ｙ3) ,… ,Ａｎ(ｘｎ,ｙｎ) .则这个凸ｎ边形的重心 (几何重心 )Ｇ的坐标是1ｎ∑ｎｉ =1ｘｉ,1ｎ∑ｎｉ=1ｙｉ .而且重心Ｇ位于凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的内部 ,当这个凸ｎ边形存在外接圆时 .重心Ｇ必在外接圆的内部 ,这个外接圆的圆心Ｑ到重心Ｇ的距离小于外接圆的半径Ｒ .即｜ＱＧ｜ <Ｒ.特别地 ,当凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的各顶点Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｎ 重合时 ,｜ＱＧ｜=Ｒ ,利用物体的重心公式Ｇ 1ｎ∑ｎｉ =1ｘｉ…     

具有对称中心的多边形的优美性质

具有对称中心的多边形的优美性质熊曾润（江西赣南师范学院３４１０００）具有对称中心的多边形，不但形状比较优美，并且有不少优美的性质．引理若２ｎ边形Ａ１Ａ２Ａ３．．．Ａ２ｎ具有对称中心Ｏ，则对于空间的任意一点Ｐ，有证明依题设条件可知，顶点Ａｉ与Ａｎ＋ｉ关...     

关于直线的对称问题

在涉及点或曲线关于直线对称的问题 ,一般运用中垂线的性质列出方程联立求解 .不过 ,此法一般运算量大 ,出错率高 .如果利用下述对称点坐标公式 ,则可简化求解过程 ,迅速得出结论 .设曲线ｃ:Ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (ＡＢ≠ 0 )的对称曲线为ｃ′ ,点Ａ(ｘ ,ｙ)∈ｃ关于ｌ的对称点为Ａ′(ｘ′,ｙ′)∈ｃ′,则ｙ - ｙ′ｘ -ｘ′·(- ＡＢ) =- 1 ,又　 Ａ(ｘ ｘ′)2 Ｂ(ｙ ｙ′)2 Ｃ =0 ,解得 ｘ′ =ｘ Ａｔｙ′=ｙ Ｂｔ (其中ｔ =- 2 (Ａｘ Ｂｙ Ｃ)Ａ2 Ｂ2 ) (1 )于是 ,曲线ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于直线ｌ:Ａｘ Ｂ…     

数学问题解答

20 0 2年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 96　⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆 .Ｄ、Ｅ、Ｆ是ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的切点 ,ＤＤ′、ＥＥ′、ＦＦ′都是⊙Ｏ的直径 .求证 :直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点 .(安徽省怀宁江镇中学　黄金福　2 461 42 )证明　设直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′.过Ｄ′作⊙Ｏ切线交ＡＢ、ＡＣ于Ｍ、Ｎ显然ＭＮ ∥ＢＣ △ＡＭＤ′∽△ＡＢＡ′,△ＡＤ′Ｎ ∽△ＡＡ′Ｃ . ＭＤ′ＢＡ′ =ＡＤ′ＡＡ′ =Ｄ′ＮＡ′Ｃ ＢＡ′Ａ′Ｃ =ＭＤ′Ｄ′Ｎ①连结ＯＭ、ＯＮ .记⊙Ｏ半径…     

等差数列的一个性质

性质1　具有6ｎ 1项的等差数列去掉中间项将剩下的6ｎ项总可以分为2ｎ个互不相交的集合Ａｉ(ｉ=1,2,…,2ｎ),使得Ａｉ中有3个元素并且这3个元素之和为定值.证　设等差数列为ａ-3ｎ,ａ-3ｎ 1,…,ａ-1,ａ0,ａ1,…,ａ2ｎ-1,ａ3ｎ.(1)ａ-3ｎ作首项,ａ0为中间项.由等差数列的性...