全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

一道反函数题从错解到简解

由错解、一般解到简解是一个辩明是非 ,逐步地认清概念 ,使思维不断优化的过程 .以下反函数问题便是一例 .题目　已知ｆ(ｘ) =2ｘ + 3ｘ -1,函数ｙ =ｇ(ｘ)的图像与ｙ =ｆ- 1 (ｘ + 1)的图像关于直线ｙ =ｘ对称 ,则ｇ(3 )等于 (　　 ) .(Ａ) 3　 (Ｂ) 72 　 (Ｃ) 92 　 (Ｄ) 113错解 1　∵　ｆ(ｘ) =2ｘ + 3ｘ -1且由已知得ｙ =ｇ(ｘ)与ｙ =ｆ- 1 (ｘ + 1)互为反函数 ,∴　ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ + 1) =2 (ｘ + 1) + 3(ｘ + 1) -1=2ｘ + 5ｘ ,故ｇ(3 ) =113 ,选 (Ｄ) .错解 2　∵　ｆ(ｘ + 1) =2 (ｘ + 1) + 3(ｘ + 1) -1,又ｙ =ｇ(ｘ)与ｙ =ｆ- 1 (…     

两道数学高考题答案的几何解释

题 1　 ( 2 0 0 2年全国统一高考 (理科 )第2 1题 )设ａ为实数 ,函数ｆ(ｘ) =ｘ2 + |ｘ -ａ|+ 1 ,ｘ∈Ｒ .1 )讨论函数 ｆ(ｘ)的奇偶性 ;2 )求 ｆ(ｘ)的最小值 .评析　第 1 )问 (答案略 ) ;第 2 )问答案是 :当ａ≤ - 12 时 ,ｆ(ｘ) 最小 =34-ａ ;当 - 12 <ａ <12 时 ,ｆ(ｘ) 最小 =ａ2 + 1 ;当ａ≥12 时 ,ｆ(ｘ) 最小 =34+ａ .下面给出该答案的几何解释 :设 ｇ(ｘ) =ｘ2 + 1 ,ｈ(ｘ) =- |ｘ -ａ| ,那么 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ) -ｈ(ｘ) ,ｙ =ｇ(ｘ)的图象是开口向上的抛物线 ,ｙ =ｈ(ｘ)的图象是从点Ａ(ａ ,0 )发出的两条射线 (以下简称“角形线”) …     

2002年全国各地高考数学模拟试题集锦函数、不等式、数列

(接第 1 8期Ｐ48)　　解答题1.由 ｆ(2 ) =ｇ(2 ) - 1知点 (2 ,1)是两函数图象的公共点 .假定 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ)的图象还有一个公共点(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｆ(ｘ0 ) =ｇ(ｘ0 ) =ｙ0 (1) ,ｌｇ3(1+ｘ0 ) =ｌｏｇ2 ｘ0 (ｘ0 >0 )即 1+ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,即 1+ 2 ｌｏｇ2 ｘ0 =3ｌｏｇ2 ｘ0 ,令ｔ =ｌｏｇ2 ｘ0 ,∴ 1+ 2 ｔ=3ｔ,∴ (13) ｔ+ (23) ｔ=1(2 ) ,而 (13) ｔ+ (23) ｔ 为单调递减函数 ,故 (2 )仅一解ｔ =1,从而 (1)只有唯一解ｘ0 =2 .2 .1)由已知 ,将函数 ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ + 1)进行坐标变换ｘ→ｘ + 1,ｙ→ ｙ2 . 得 ｙ2 =ｌｏｇ2 (ｘ + 1…     

一道课本习题的引申及其应用

题 :已知一个圆的直径的端点是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,求证 :圆的方程是(ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) + (ｙ -ｙ1) (ｙ -ｙ2 ) =0 .这是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学第二册 (上 ) (必修 )Ｐ82 第 3题 .把该题当结论应用 ,已有多文论及 ,本文将给出该题的推论和相应结论的应用 .推论　设直线ｌ∶Ｆ(ｘ ,ｙ) =0与二次曲线Ｇ(ｘ ,ｙ) =0交于不同的两点Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,由Ｆ(ｘ ,ｙ) =0Ｇ(ｘ ,ｙ) =0 分别消去 ｙ ,ｘ得 ｆ(ｘ) =0 ,ｇ(ｙ) =0 ,并使 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｙ)的二次项系数相等 ,则以ＡＢ为直径…     

求f(x)表达式的几种方法

在高中数学中 ,由已知复合函数ｆ[ｇ(ｘ) ]的表达式中 ,求ｆ(ｘ)的表达式 ,是函数问题中较难掌握的一类问题 .本文就介绍适用于高中阶段求ｆ(ｘ)表达式的九种方法 ,仅供参考 .一、配凑法此法的关键就是通过观察 ,把ｆ[ｇ(ｘ) ]的表达式凑成关于ｇ(ｘ)的形式 .例 1　已知ｆ ｘ+1ｘ =ｘ2 +1ｘ2 +1ｘ(ｘ≠0 ) ,求ｆ(ｘ) .解∵ ｘ2 +1ｘ2 +1ｘ=ｘ +1ｘ2 -1ｘ-1 +1=ｘ+1ｘ2 -ｘ+1ｘ +1 ,∴　ｆ ｘ+1ｘ =ｘ+1ｘ2 -ｘ +1ｘ +1 .故　ｆ(ｘ) =ｘ2 -ｘ+1 .二、换元法此法就是在ｆ[ｇ(ｘ) ]中令ｇ(ｘ) =ｔ,解出ｘ ,则可把ｆ[ｇ(ｘ) ]化成关于ｔ的表达式…     

一道错题的辨析

在高三复习中 ,我们遇到了下面一道题目 :设奇函数 ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ ,且 ｆ(1+ｘ) =ｆ(1-ｘ) ,当ｘ∈ (4,6 )时 ,ｆ(ｘ) =2 ｘ+ 1,则 ｆ(ｘ)在区间 (- 2 ,0 )上的表达式是 (　　 )(Ａ) ｙ =2 ｘ+ 4 . (Ｂ) ｙ =1- 2 4 -ｘ.(Ｃ) ｙ =- 2 ｘ- 1. (Ｄ) ｙ =- 2 4 -ｘ- 1.同学们得到两种答案 ,现介绍如下 .解法 1　由 ｆ(1+ｘ) =ｆ(1-ｘ) ,得 ｆ(ｘ) =ｆ(2-ｘ) .又由 ｆ(ｘ)是奇函数知 ｆ(-ｘ) =-ｆ(ｘ) ,∴ｆ(2 +ｘ) =ｆ(-ｘ) =- ｆ(ｘ) (1)ｆ(4+ｘ) =ｆ(ｘ) (2 )当ｘ∈ (- 2 ,0 )时 ,6 +ｘ∈ (4,6 ) ,∴ｆ(6 +ｘ) =2 6 +ｘ+ 1.又由 (1) ,(2…     

函数的单调性在解题中的应用

函数的单调性是函数的重要性质之一 ,本文介绍它在解某些类型的数学题中的应用 .1　在方程问题中的应用例 1　 (北京市高一数学竞赛 ,1998年初赛 )试确定方程3ｘ2 -9 4ｘ2 -16 5ｘ2 -2 5 =12 0ｘ的解集 .解　记 ｆ(ｘ) =3 ｘ2 -9 4ｘ2 -16 5ｘ2 -2 5 ,　　　 ｇ(ｘ) =12 0ｘ .显然有ｘ >0 ,且有ｆ( 5 ) =ｇ( 5 ) ,即 5是方程ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)的一个根 .下面我们证明 5是方程ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)的唯一的一个根 .容易证明 ｆ(ｘ)在 ( 0 , ∞ )是增函数 ,ｇ(ｘ) 在 ( 0 , ∞ )是减函数 .若方程 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)除了 5以外还有另一根ｘ0 ,当ｘ0 >5时 ,…     

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题 6 5　 已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ|ｘ -ａ|(ａ∈Ｒ) .1 )判断 ｆ(ｘ)的奇偶性 ;2 )解关于ｘ的不等式 :ｆ(ｘ)≥ 2ａ2 ;3)写出 ｆ(ｘ)的单调区间 .解　 1 )当ａ =0时 ,ｆ(-ｘ) =-ｘ|-ｘ|=-ｘ|ｘ|=- ｆ(ｘ) ;∴ｆ(ｘ)是奇函数 .当ａ≠ 0时 ,ｆ(ａ) =0且 ｆ(-ａ) =- 2ａ|ａ|.故 ｆ(-ａ)≠ｆ(ａ)且 ｆ(-ａ)≠ - ｆ(ａ) ,∴ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .2 )由题设知ｘ|ｘ -ａ|≥ 2ａ2 ,∴原不等式等价于　　 ｘ <ａ-ｘ2 +ａｘ≥ 2ａ2 (1 )　　 ｘ≥ａｘ2 -ａｘ≥ 2ａ2 (2 )由 (1 ) ,得 ｘ <ａ ,ｘ2 -ａｘ +2ａ2 ≤ 0 .　　无解 .由 (2 ) ,得 …     

课外练习

高一年级1 .已知集合Ａ ={ｍ ,ｎ},问集合Ｂ ={ｘ|ｘ∈Ａ},Ｃ ={ｘ|ｘ Ａ}中的元素分别是什么 ?(贵州开阳县教育局教研室 (5 5 0 3 0 0 )　张廷均 )2 .已知ａ—→ 与ｂ—→不共线 ,试判断关于ｘ的方程ａ—→·ｘ2 +ｂ—→·ｘ+ｃ—→=0—→ 的实数解的个数 .(河北石家庄四十二中 (0 5 0 0 61 )　于润兴 )3 .设函数ｆ(ｘ) =1 -2ｘ1 +ｘ ,若将ｙ=ｇ(ｘ)的图像与函数ｙ =ｆ- 1(ｘ +1 )的图像关于直线ｙ =ｘ对称 ,求ｇ(2 )的值 . (山东沂水县第二中学 (2 7640 0 )　沈　韦华)高二年级1 .已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ-2 -ｘ,数列 {ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2 …     

课外练习

高一年级1 .当函数 ｙ =2ｃｏｓｘ - 3ｓｉｎｘ取最大值时 ,求ｔａｎｘ的值 . 2 .求证 :ｔａｎ5=ｔａｎ2 +ｔａｎ3 +ｔａｎ2·ｔａｎ3·ｔａｎ5.3 .函数 ｆ(ｘ)是定义在 {ｘ|ｘ≠ 0 ,ｘ∈ｋ}上的奇函数 ,且 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )上为减函数 ,又ｆ( 3 ) =0 ,ｇ(θ)=ｃｏｓ2θ - 2ｍｃｏｓθ + 4ｍ ,θ∈ [0 ,π2 ] .若集合Ｍ ={ｍ| ｇ(θ) >0 },Ｎ ={ｍ| ｆ[ｇ(θ) ] <0 }.求Ｍ∩Ｎ .高二年级1 .已知不等式 1ｎ + 1 + 1ｎ + 2 +… + 12ｎ>11 2 ｌｏｇａ(ａ -1 ) + 23 对一切大于 1的自然数都成立 ,求实数ａ的取值范围 .(2 .已知 :△ＡＢＣ的顶…     

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题 5 9　已知可导函数ｆ(ｘ)对任意实数ｘ1,ｘ2都有 ｆ(ｘ1+ｘ2 ) =ｆ(ｘ1)·ｆ(ｘ2 ) ,若存在实数ａ ,ｂ ,使 ｆ(ａ)≠ 0 ,且 ｆ′(ｂ) >0 .证明 :1) ｆ(ｘ) >0 ;2 ) ｆ(ｘ)在 (-∞ ,+∞ )上单调递增 .解　 1)ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ2 +ｘ2 ) =ｆ(ｘ2 )·ｆ(ｘ2 )=[ｆ(ｘ2 ) ]2 .又∵ｆ(ａ) =ｆ[ｘ2 +(ａ - ｘ2 ) ]=ｆ(ｘ2 ) ｆ(ａ - ｘ2 )≠ 0 ,∴ｆ(ｘ2 )≠ 0 ,[ｆ(ｘ2 ) ]2 >0 ,∴ｆ(ｘ) >0 .(2 )∵ｆ′(ｂ) =ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ +Δｘ) - ｆ(ｂ)Δｘ=ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) ｆ(Δｘ) -ｆ(ｂ)Δｘ ,∴ｌｉｍΔｘ→ 0ｆ(ｂ) (ｆ(Δｘ) - 1)Δｘ =…     

上期课外练习解答

高一年级1 .∵　 11 0 1 +1 0 01 0 1 =1 ,又ｆ(11 0 1 ) +ｆ(1 0 01 0 1 ) =1 ,∴　ｆ(11 0 1 ) +ｆ(21 0 1 ) +… +ｆ(1 0 01 0 1 ) =5 0 .2 .任取ｘ1、ｘ2 ∈ (-∞ ,ａ)且ｘ1<ｘ2 ,则 -ｘ1>-ｘ2 >-ａ 2ａ -ｘ1>2ａｘ -ｘ2 >ａ .∵　ｙ =ｆ(ｘ)在 (ａ ,+∞ )上是减函数 ,∴　ｆ(2ａ -ｘ1) <ｆ(2ａ -ｘ2 ) .又∵　ｘ∈Ｒ都有ｆ(ａ +ｘ) =ｆ(ａ -ｘ) ,∴　ｆ(2ａ -ｘ1) =ｆ[ａ +(ａ1-ｘ1) ]=ｆ[ａ -(ａ -ｘ1) ]=ｆ(ｘ1) ,同理得ｆ(2ａ -ｘ2 ) =ｆ(ｘ2 ) ,∴　ｆ(ｘ1) <ｆ(ｘ2 ) ,∴　ｙ=ｆ(ｘ)在 (-∞ ,ａ)上是增函数 .3 .若ｘ∈ [-1 ,1 ]…     

养成良好的审题习惯

本文列举一系列结构相同、形式相近、解法迥异的题组 ,在剖析题意的基础上 ,以期引起同学们的注意 ,旨在提醒大家养成良好的审题习惯 .题组 1　( 1 )已知函数 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ12 (ｘ2 +ｋｘ + 2 )的值域为Ｒ ,求实数ｋ的取值范围 ;( 2 )已知函数 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ12 (ｘ2 +ｋｘ + 2 )的定义域为Ｒ ,求实数ｋ的取值范围 .分析　题 ( 1 )、( 2 )中 ｆ(ｘ)的解析式完全相同 .题 ( 1 )中值域为Ｒ时 ,必须有 ｇ(ｘ) =ｘ2+ｋｘ + 2取尽所有正数 ;题 ( 2 )中定义域为Ｒ时 ,是指对ｘ∈Ｒ ,ｇ(ｘ) =ｘ2 +ｋｘ + 2 >0恒成立 ,但对ｘ∈Ｒ时 ,ｘ2 +ｋｘ + 2…     

y的范围就是函数的值域吗?

在解有关函数值域问题时 ,不少同学误将函数 ｙ所应满足的一个不等式的取值范围当作函数的值域 .下面举例予以剖析 .例 1　已知函数 ｆ(ｘ)的值域为 [- 1 ,2 ],求函数 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 2 - ｆ(ｘ)的值域 .错解 :∵ - 1≤ｆ(ｘ)≤ 2 ,　　　 1≤ ｆ(ｘ) + 2 ≤ 2 ( 1 )　　　 - 2≤ - ｆ(ｘ)≤ 1 ( 2 )∴ - 1≤ ｆ(ｘ) + 2 - ｆ(ｘ)≤ 3,即函数 ｇ(ｘ)的值域是 [- 1 ,3].剖析　这里利用不等式的性质推导得ｇ(ｘ) 的取值范围 .但是 ,( 1 )式在 ｆ(ｘ) =2时取最大值 2 ,而 ( 2 )式当 ｆ(ｘ) =- 1时取最大值 .所以 ,( 1 ) ,( 2 )式同时取最大值…     

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题 4 3　已知 ｆ(ｘ) =-ｘ3+ａｘ在 (0 ,1)上是增函数 ,1)求实数ａ的取值范围Ａ ;2 )当ａ取Ａ中最小值时 ,定义数列 {ａｎ}满足ａ1=ｂ∈ (0 ,1) ,且 2ａｎ +1=ｆ(ａｎ) ,试比较ａｎ 与ａｎ +1的大小 .3)在 2 )的条件下 ,问是否存在正实数ｃ ,使得 0<ａｎ+ｃａｎ-ｃ<2对于一切ｎ∈Ｎ恒成立 ?若存在 ,求出ｃ的取值范围 ,否则说明理由 .解　 1)设 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则　ｆ(ｘ1) - ｆ(ｘ2 ) =-ｘ31+ａｘ1+ｘ32 -ａｘ2=(ｘ2 -ｘ1) (ｘ21+ｘ1·ｘ2 +ｘ22 -ａ) .由题意知　ｆ(ｘ1) - ｆ(ｘ2 ) <0且ｘ2 -ｘ1>0 ,∴ｘ21+ｘ1·ｘ2 +ｘ22 -ａ <0而ｘ21+ｘ1…     

变换思维角度解题

在解题过程中 ,我们会发现有的题若按一般解法往往比较繁锁或较难入手 ,如果变换一下思维角度 ,立刻给人柳岸花明的感觉 .现举例如下 :例 1　已知函数 ｆ(ｘ) =3ａｘ + 1 -2ａ在[-1 ,1 ]上存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 (ｘ≠± 1 ) ,则ａ的取值范围是 (　　 ) .解法一　 (常规解法 :对函数进行讨论 .)( 1 )若ａ =0 ,则ｆ(ｘ) =1 ,在 [-1 ,1 ]上不存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 .( 2 )若ａ≠ 0 ,要使一次函数ｆ(ｘ) =3ａｘ+ 1 -2ａ在 [-1 ,1 ]上存在ｘ0 ,使 ｆ(ｘ0 ) =0 ,必须满足ｆ( 1 ) ｆ( -1 ) <0 ,即　 ( 3ａ + 1 -2ａ) ( -3ａ + 1 -2ａ) <0 ,∴…     

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题 5 6　已知 ｆ(ｘ) =ｌｏｇ2 ｘ ,当点Ｍ (ｘ ,ｙ)在ｙ =ｆ(ｘ)的图象上运动时 ,点Ｎ(ｘ - 2 ,ｎｙ)在函数 ｙ=ｇｎ(ｘ)的图象上运动 (ｎ∈Ｎ) .1)求 ｙ =ｇｎ(ｘ)的表达式 ;2 )求集合Ａ ={ａ|关于ｘ的方程 ｇ1(ｘ) =ｇ2 (ｘ - 2 +ａ)有实根 ,ａ∈Ｒ} ;3)设Ｈｎ(ｘ) =(12 ) ｇｎ(ｘ) ,函数Ｆ (ｘ) =Ｈ1(ｘ) - ｇ1(ｘ) (0 <ａ≤ｘ≤ｂ)的值域为 [ｌｏｇ252ｂ +2 ,ｌｏｇ24 2ａ +2 ],求实数ａ ,ｂ的值 .解　 1)由 ｙ =ｆ(ｘ) ,ｎｙ =ｇｎ(ｘ - 2 ) 得 ,ｇｎ(ｘ - 2 ) =ｎｆ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 ｘ ,∴ ｇｎ(ｘ) =ｎｌｏｇ2 (ｘ +2 )　 (ｘ >- 2 …     

挖掘隐含条件,巧解综合试题

我们知道 ,综合性命题一般都具有隐含条件 .初看比较困难 ,难以入手 ,若能用心思考 ,认真分析 ,隐含条件一旦发现 ,问题便迎刃而解 ,这里仅举二例 ,供同学们借签 .例 1　 (1992年上海高考试题 )已知二次函数 ｙ =ｆ(ｘ)在ｘ =ｔ+ 22 处取得最小值- ｔ24 (ｔ>0 ) ,且 ｆ(1) =0 .1)求 ｙ =ｆ(ｘ)的表达式 ;2 )若对任意实数ｘ都有等式 ｆ(ｘ)·ｇ(ｘ) +ａｎｘ +ｂｎ=ｘｎ +1(ｇ(ｘ)为多项式 ,ｎ∈Ｎ) ,试用ｔ表示ａｎ 和ｂｎ.分析与解答 1)由已知条件可知二次函数开口向上 ,故设ｆ(ｘ) =ａ ｘ - ｔ+ 222 - ｔ24 (ａ >0 ) .∵ ｆ(1) =0 ,∴ 0 =…     

结构优美的“两道题”

当阅读 2 0 0 2年全国高考试卷理科 1 6题时 ,立即联想《中学生数学》2 0 0 1年 1 0月上第3 7页课外练习高一年级第 2题 ,借此机会 ,把高考试题与本刊课外练习题即简称“两题”进行赏析 .试题　已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ21 +ｘ2 ,那么ｆ( 1 ) + ｆ( 2 ) + ｆ( 12 ) + ｆ( 3 ) + ｆ( 13 ) + ｆ( 4) +ｆ( 14) = .解析　先运用直觉洞察ｆ( 1 ) =11 + 1 2 =12 ,ｆ( 2 ) =2 21 + 2 2 =45 ,ｆ( 12 ) =( 12 ) 21 + ( 12 ) 2=15 ,∴　ｆ( 2 ) + ｆ( 12 ) =1 .观察函数式 :ｆ( 2 ) + ｆ( 12 )与 ｆ( 3 ) +ｆ( 13 )及ｆ( 4) + ｆ( 14)中 ,数式具有相同的结…