一道高考题的反思及结论探究

(2007年天津卷(理)22题)设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为1/3| OF1 |.(1)证明a=√(2b);(2)设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.这里的D点轨迹是一个圆:x2+y2=2b2/3,是本题中由于a,b关系的特殊性决定了存在这样的圆,还是对于一般的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)皆有这样的结论呢?     

椭圆和双曲线的其它形式方程

1.椭圆和双曲线的其它形式方程直线与x轴交于点(a,0),则称a为直线在x轴上的截距;直线与y轴交于点(0,b),则称b为直线在y轴上的截距.直线在x、y轴上的截距分别是a和b,且ab≠0时,直线有截距式方程:x/a+y/b=1.椭圆标准方程为x~2/a~2+y~2/b~2=1,a>b>0时,椭圆与x轴交于点(±a,0),与y轴交于点(0,土b),与直线的截距式方程类比,不妨也称椭圆的标准方程为椭圆的截距式方程.但根据不同的已知条件,直线还有以下     

“设且求”寻求一类解析几何题求解新途径

1 困惑 2012年江苏高考第19题: 如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和e,√3/2)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.     

2015年高考北京卷19题的解法、背景与推广

题1 (2015高考北京-19)已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为(21/2)/2,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M. (Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示); (Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.     

与椭圆相关的四个平行命题

对于椭圆,我们有如下命题1如图1,点A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴的下顶点和上顶点,C为椭圆的左顶点,M为椭圆上不同于椭圆顶点的动点,直线AM交x轴于点P,直线BM交x=a于点Q,则PQ∥CB.■证明由题意,设直线BQ的方程为y=kx+b,则Q(a,ka+b).     

第1628号数学问题的推广与探究

最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2.     

2008年安徽卷(理)题22探幽

1 探秘 　　(08安徽,理22) 设椭圆C: x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)过点M((2),1),且左焦点为F1(-(2),0). 　　(Ⅰ)求椭圆C的方程; 　　(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A、B时,在线段AB上取点Q,满足|(AP→)|·|(QB→)|=|(AQ→)|·|(PB→)|,证明点Q总在某条定直线上.……     

2008年福建卷文科压轴题的引申

题目如图,椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0). 　　(I)求椭圆C的方程.……     

探究解法“促”理解 追根溯源“亮”本质——对2012年高考数学安徽卷理科第20题别解与探源

一、问题展示(2012年高考数学安徽卷第20题)如图1,F(1-c,0),F(2c,0)分别是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a2/c于点Q;     

2007年高考天津卷(理)22题的简解及拓广

1.问题的简解2007年全国高考天津卷(理)22题:设椭圆ax22 by22=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.A是椭圆上的一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为31|OF1|.(Ⅰ)证明a=2b;(Ⅱ)设Q1,Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.对于第(Ⅱ)小题,参考答案提供了两种解法.但这两种解法都比较繁琐,下面提供一种简便的解法.解设直线Q1Q2的方程为mx ny=1,由(Ⅰ)知a=2b,故椭圆方程为x2 2y2=2b2.设Q1(x1y1),Q2(x2,y2),则Q1,Q2的坐标是方程组xm2x 2nyy2==21b2,的解.由xm2x 2nyy2==21b2,分别消…     

对一道高考解析几何题的深度探析

题目(2013江西高考文-20)椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率e=√3/2,a+b=3. (1)求椭圆C的方程; (2)如图1,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:2m-k为定值.     

斜率定值竞赛题的探究与引申

<正>题目(2018年全国高中数学联赛黑龙江预赛)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,并且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的方程;(2)如图1,设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),若直线PQ平分     

椭圆一性质的证法研究及推广应用

性质如图1,已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),若直线l与椭圆相交于A,B,且OA上OB(O为坐标原点).则直线l与一个定圆相切. 1 解法探讨 解法1:根据椭圆的对称性以及△AOB绕原点旋转一圈都与椭圆有两个不同的交点,合理猜想所求定圆的圆心一定在原点,从而把问题转化为“原点到直线l的距离为定值”.     

椭圆切线方程的两种巧妙求法

<正>问题求椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程.求椭圆上某点处的切线方程,通常是设出过切点的直线y-y0=k(x-x0),联立直线与椭圆方程,由判别式Δ=0求解,往往计算量较大,容易望而却步;不少资料书上虽然给出了结论x0x/a2+y0y/b2=1,但鲜有推导结论的方法,很多同学一知半解.授人以鱼,不如授人以渔,数学中不少结论和公式的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方法,它们是我们进行研究性     

由一道期末试题说开去

例1 (2014鄞州区期末-16)已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点,且和其中一条渐近线垂直,若(→AF)=4(→FB),则该双曲线的渐近线方程为____.     

试题研讨(6)

题 1　 (2 0 0 2年广州市高三测试题 )已知椭圆 C的中心在原点 ,焦点在 x轴上 ,离心率 e= 12 ,且经过点 M(- 1 ,32 ) .( )求椭圆 C的方程 :( )若椭圆 C上有两个不同点 P、Q关于直线 y =4x m对称 ,求 m的取值范围 .命题溯源　此题根据 1 986年广东省高考试卷末题改编而成 ,主要考查学生求曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系 ,以及综合运用数学知识解决问题的能力 .原解思路　 ( )依题意 ,设椭圆的方程为　 x2a2 y2b2 =1 (a >b >0 ) ,则1a2 94b2 =1 ,ca =12 ,a2 - b2 =c2 .解得　 a =2 ,b =3 ,c =1 .∴　椭圆 C的方程为　 x24 y23 =…     

椭圆切线的尺规作法

在研究椭圆问题时 ,得到以下椭圆切线的一个尺规作法 :已知椭圆方程为x2a2 + y2b2 =1 (a>b >0 ) ,过椭圆上一点Q(x0 ,y0 )的切线方程为x0 xa2 + y0 yb2 =1 .设Q(x0 ,y0 )为椭圆上任一点 ,下面给出切线的作法 .作法 :( 1 )若Q为椭圆的顶点 ,则切线垂直于所在的轴 ;( 2 )若Q在任一非顶点处如图 ,过Q作QA ⊥x轴 ,垂足为A ,反向延长QA ,①以O为圆心 ,a为半径画弧交射线AQ的延长线于P点②过P点作OP的垂线PN交x轴于N点③连结NQ ,即为过Q点的切线 .　　证明　不妨设Q在第一象限 ,Q(x0 ,y0 ) ,则A为 (x0 ,0 )因为OP =a ,x0 2a2 + y0 2b2…     

圆锥曲线的几个有趣轨迹

本文介绍圆锥曲线的几个有趣轨迹,供同学们学习参考．轨迹1 设A,B是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b >0)的左、右顶点,垂直于x轴的直线与椭圆相交于P,Q两点,则AP与BQ交点的轨迹是 x2/a2-y2/b2=1(y≠0)．     

有心圆锥曲线切线的一个性质

经研究发现,椭圆有如下的一个与切线有关的优美而简捷的性质。性质1若A1,A2为椭圆x2/a2＋b2/y2=1（a〉b〉0）的左、右顶点,P为椭圆上任意一点（不同于A1,A2）,直线PA1,PA2分别交直线l：x=t于点M,N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点。     

运用几何画板对一道高考题的推广

1问题呈现2012年江苏高考数学第19题:如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和(e,(3(1/2))/2)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.