半质环的一个交换性条件

定理 设R是半质环,则R是交换环的充分必要条件是: 对任意x,y∈R,存在整数n=n(x)>1,s=s(x)>1及t=t(x)>1(或者n=n(y)>1,s=s(y)>1及t=t(y)>1)使得 (xy)ⁿ-x³y^t∈Z(R). 其中Z(R)是R的中心。     

关于半素环交换性的一点注记

Awtar proved that a semiprime ring R in which xy²x-yx²y∈Z(center of R)for every x and y in R is commutative. Guo Yuanchun proved that a semiprime ring satisfying (xy)²-xy²x∈Z for every x and y in R is commutative. In this note the following result is proved:A semiprime ring is commutative if R satisfies one of the following conditions:(1) x²y² -xy²x∈Z for every x and y in R.(2) x²y²-yx²y-y∈Z for every x and y in R.(3) (yx)² -xy²x∈Z for every x and y in R.     

半质环的若干交换性条件

设R表示结合环(可以没有单位元)，Z(R)为环R的中心，对任意x·y∈R，[x，y]=xy-yx，郭元春证明了满足(xy)^2-xy^2x∈Z(R)的半质环是交换环，魏宗宣用类似的方法证明了满足(xy)^2-yx^2y∈Z(R)的半质环是交换环，我们推广上述结果，证明了下面的定理。     

满足x~ny~n,yx〕=0,n有界的环

本文证明满足[x~ny~n,yx]=0的半质环是交换环,这里 n=n(x,y)是有界正整数,作为该定理的一个应用,我们得出当 n=n(x,y)是大于1的有界正整数时,满足(xy)~n-x~ny~n∈Z(R)(R 的中心)的半质环是交换环。     

关于Diophantine 方程xn+2kyn=pz2

设p 为奇素数且对任意的整数m, d, p≠(2^m±1)=/d², 则对任意的素数n > p^8p2, 方程xⁿ+2^kyⁿ=pz², k≥2 没有整数解(x, y, z) 使得x, y, z 两两互素且均不为0.     

半值环的两个交换结果

定理１设Ｒ是半值环，ｎ为固定的正整数，如果Ｒ满足条件：存在依赖于(?)_ｘ，ｙ的两个字ｋ（Ｘ，Ｙ），ｔ（Ｘ，Ｙ），其中｜ｋ｜_X＞１，｜ｔ｜_X＝１，｜ｋ｜_Y≥｜ｔ｜_Y，｜ｔ｜_Y≤ｎ，使ｋ（ｘ，ｙ）－ｔ（ｘ，ｙ）∈Ｉ（Ｒ），则Ｒ是交换环。定理２设Ｒ是半值环，如果Ｒ满足条件：存在正整数ｍ＝ｍ（ｘ，ｙ）＞１，ｎ＝ｎ（ｙ），使得（ｘ^ｎｙ）^m－ｘ     

半素环的几个交换性条件

一个半素环 R是交换环当且仅当 R满足下列条件之一 :( ) (xmy) n+xmy∈ Z(R) ,对任意的 x ,y∈ R。( ) (xmy) n- yxm∈ Z(R) ,对任意的 x,y∈ R。( ) (xmy) n+yxm∈ Z(R) ,对任意的 x,y∈ R。其中 m,n是固定的正整数且 n >1     

环的交换性定理

本文证明了: 定理1 设R是有左单位元e的结合环的而N为其诣零元集合,如果R中恒有。(i) x~(n(x))-x∈N x∈R此处n(x)是大于1的依赖于x的整数;(ii) x≡y(mod N)就导致x~i=y~i x~j=y~j i=i(x,y) j=j(x,y) (i,j)=1是与x,y有关的大于2的整数或者x,y与N中每一元都可交换。则R为交换环. 定理2 若R是kothe半单环,a,b∈R,存在k≥m=m(a,b)≥1;l≥n=n(a,b)》1使得[(ab)~m(ba)~n]∈Z(R)且R之特征为p(素数),则R为交换环。     

关于环模的n-类比

In this paper, we define a kind of the n-versions of R-module, it is an Abelian n-group under the action of an m-ring, where m-1|n-1 or n-1|m-1, and is called a left R(m)-n-module. The category of left R(m)-n-modules is denoted by R_m -M_m¹;Theorem 1 An Abelian n-group M is a left R(n)-n-module with R =Z(n), where Z(n) = {1+s(n-1) :s∈Z}.Theorem 2 R_m - M_n¹ is an n-preadditive category.     

正则局部环的判别法（英）

本文给出了非Artin的Noether局部环(A, m)为正则环的充要条件.设n为正整数，则(A, m)为正则环的充要条件为A/mⁿ的投射维数或mⁿ的内射维数是有限的.