非Fuchs型方程的新理论——树级数解的表现定理(Ⅰ)

在微分方程的解析理论中非Fuchs型方程的严格显式解至今并未求得(Poincaré问题),本文提出的新理论首次给出非正则积分的一般求法和显式的精确解. 本法与经典理论的根本不同在于摈弃形式解的假定,从方程本身建立对应关系,应用留数定理自动给出非正则积分的解析结构.它由无收缩部和全、半收缩部组成.前者是通常的递推级数,后者则表为树级数.树级数是类新颖的解析函数,通常的递推级数只是它的特例而已. 本文的目的是建立非正则积分的一般理论,为此需要阐明Poincaré问题(1880T.I.P.333)的实质[1]:无法求出非正则积分的显式.根据以下证明的表现定理, 非正则积分是类新颖的解析函数,其中系数D_nk是方程参数的常项树级数.     

非Fuchs型方程的新理论——树级数解的表现定理(Ⅱ)

本文的主要结果是证明表现定理:非正则积分是类新颖解析函数,它表成Taylor-Fourier混合型树级数,其中Fourier级数的每一系数本身都是Taylor级数,而所有Taylor系数则是方程参数的常项树级数,每一系数的高阶修正项具有树结构的无穷繁衍性. 证明此树级数解在原方程的系数定义域中解析,收敛条件是方程的结构因子小于1,直接代入可以验证树级数解逐代满足已知方程. 与经典理论相对比,本法的优点不仅可以给出非正则积分的显式,从而解决Poincaré问题,并能统一处理具有多种奇点的方程,扩大解析理论的研究范围. 利用树图法可得非正则积分的严格解析表述.据此易证树级解的收敛性,并满足方程. 树级数具有自守性,这与Poincaré猜测完全符合.     

对应函数D(z)和广义非正则方程

推广Riemann P函数的思想(用方程的参数表示方程所定义的函数),引入(?)函数统一表示正则积分和非正则积分.利用显式解讨论非Fuchs型方程的单值群.得到Floquet解的指标展开系数的显式.根据对应函数法统一研究广义非正则方程的求解问题,包括具有正则和非正则极点,本性奇点,代数,对数和超越奇点以及奇线的方程.利用(?)函数表示基本解系,从而推广解析理论的研究范围.指出(?)函数的自守性,并讨论Poincaré猜测的意义.     

关于多复变数的积分变换公式及其应用

利用整体分析方法,给出了一个多复变数的整体积分变换公式,获得了C^n中一闭逐块光滑可定向流形上的Bochner-Martinelli型积分高阶偏导具有Hadamard主值的Plemelj公式和相应奇异积分的合成公式,拓广的Poincaré-Bertrand公式.作为应用,我们还讨论了一类高阶Cauchy边值问题和一类多复变数线性高阶奇异微积分方程的正则化问题.     

Poincaré非线性振动理论在连续介质力学中的推广(Ⅰ)——基本理论与方法*

本文将离散介质的Poincaré非线性振动理论[1]向连续介质力学推广,做了初步尝试。首先讨论在非共振与共振情况下,连续介质线性强迫振动周期解,及其周期解存在条件。进而运用线性理论结果,将Poincaré理论中的主要结论推广到连续介质非线性振动问题中去。此外,本文提出并建议用偏微分方程直接摄动与加权积分方法,计算共振区内的周期解。     

具x/ζ型卷积核的奇异积分方程的求解

讨论了具x/ζ型卷积核的奇异积分方程的求解问题.通过Fourier积分变换,将所讨论的积分方程转化成在一定可解条件下与其同解意义下等价的Riemann边值问题.利用Riemann边值问题理论,分别讨论了在正则和非正则两种情况下的Riemann边值问题,进而得到相对应的x/ζ变量比型卷积核的积分方程一般解及可解条件.     

线形振子散射或辐射问题的严格解

本文应用时序展开法和Wiener-Hopf技术求得圆管(或圆柱)状振子的脉冲散射或辐射问题的严格解。在单脉冲激励下,振子的电流响应是一脉冲系列。系列中每一个脉冲依次用时序递推积分方程来确定。递推方程有两类:一类是全区间积分方程。它可以用富氏积分变换来求解;另一类是带约束的半区间积分方程。除了应用富氏变换外,还采用了Wiener-Hopf技术来求解。本文求得两类递推方程的严格显式解并验证了解的正确性。对于长振子,在引入描写相邻脉冲间关系的传输函数后,代表总电流的无穷级数可以求和,并得到形式十分简单的总体解,后一结果可以推广到连续波情形电流响应的计算。     

拓扑定理及其在超线性脉冲方程中的应用

本文研究一类含脉冲的非保守超线性方程的周期振动问题.通过详细刻画跳跃映射的角度函数,并应用相平面分析方法,本文证明方程的Poincaré映射有无穷多个不动点,而这些不动点对应了方程的无穷多个2π周期解.由于本文考虑的Poincaré映射不是同胚,所以,本文重新构造并证明了一个拓扑定理用于替代经典的Poincaré-Birkhoff扭转不动点定理.     

脉冲条件下Liénard方程周期解的保持性

本文研究带有脉冲的Lienard方程的周期解的存在性问题.我们通过分析Poincaré映射在脉冲点处的变化特征,利用Poincare-Bohl不动点定理证明:在一串脉冲点于时间轴上具有周期分布特征的情况以及适当的脉冲条件之下,如果位势函数满足Lipschitz条件,而强迫项又是周期函数,则Lienard方程x″+f (x)x′+g(x)=p(t)仍然保持周期解的存在性.另外,我们给出了一个具体的Liénard方程例子,来佐证本文中主要结果的有效性.     

常微分方程解的存在区间和周期解

讨论解的存在区间,说明周期函数如何是周期解以及它和Poincaré映射的关系.对周期的Riccati方程研究了周期解的个数,是文[8]中的定理1的一个补充,同时也研究了周期捕获的人口方程解的存在区间和周期解问题.     

求解第一类积分方程的正则化—小波方法及其数值试验

1 方法的描述 第一类(Fredholm)积分方程是指形如 (1.1)的积分方程,其中核k(x,y)和右端函数f(x)给定,u(x)是未知函数.许多物理、化学、力学和工程应用问题都能导致第一类积分方程.求解第一类积分方程的一个本质性困难是方程的不适定性,即解的存在性、唯一性和稳定性遭到破坏.常用的数值方法有奇异值分解(SVD)方法、Tikhonov正则化方法、投影方法、正则化-样条方法、再生核方法等.本文提出一种新的正则化-小波方法,在第一类积分方程有多个解时,可以求出具有最小范数的数值解;如果原积分方程有唯一解,则所得的数值解收敛于准确解.数值试验表明,该方法是可行的. 我们在L~2[a,b]中考虑第一类(Fredholm)积分方程,即假设方程(1.1)中积分算子K∈L~2([a,b]×[a,b])及右端f(x)∈L~2[a,b]给定.为保证数值求解算法的稳定性,我们先用正则化方法处理该方程,将不适定问题化为泛函极值问题来求解,然后利用多重正交样条小波基构造求解格式.由于我们给出了直接计算低阶的多重正交样条小波基函数的一般公式,使得解法可以在计算机迅速实现.     

三维与二维晶体生长控制方程的精确解

本文通过将未知函数展开成复数形式的Fourier级数,求出了一类二阶偏微分方程的三角级数形式的解析解,并严格证明了其收敛性．三维稳态与二维稳态和二维非稳态晶体生长控制方程都是这类二阶偏微分方程特例．利用这一特点,本文求出了三维稳态与二维稳态和二维非稳态晶体生长控制方程的解析解．理论结果有助于揭示稳态晶体生长的本质特性．本文还给出了三维非稳态晶体生长控制方程的解析解．     

多Clifford分析的Cauchy-Riemann方程

多Clifford变量的分析理论是多复变函数论在非交换领域的推广.本文给出了非齐次Cauchy-Riemann方程具有紧支集解的微分相容条件及解的具体积分表达式,并证明了多Clifford分析理论中的正则函数具有Hartogs现象.这些结果将推广多复变中相应结果.     

一类带修理工休假可修系统解的存在唯一性及正则性分析

考虑一类修理工可多重延误休假的n部件串联可修复系统解的存在唯一性及正则性问题.通过将系统模型方程转化为一组算子积分方程,利用不动点理论讨论该系统局部解的存在唯一性问题,再由一致先验估计和连续延拓讨论系统整体解的存在唯一性问题,继而分析解的正则性问题.为解决复杂可修复系统解的存在唯一性及正则性提供了可行性方法,并且方法同样适用于排队论系统和其他类似系统.     

弹性薄板弯曲问题的等价的边界积分方程

用非解析开拓数学方法建立平面弹性薄板弯曲问题理论中具有间接变量的等价边界积分方程,并采用变分法进行了严格的说明.以往出现的三种间接变量边界积分方程,它们都不是等价的,对此我们进行了深入的讨论.     

四元数分析中无界域上正则函数的带位移非线性边值问题

讨论了四元数分析中无界域上正则函数的一类带位移非线性边值问题.利用积分方程方法和Schauder不动点理论证明了问题解的存在性,并给出了解的积分表达式.     

半线性退化发展方程的混合初边值问题

本文研究一类高阶多维退化和非退化半线性发展方程的混合初边值问题:利用 Galerkin 方法和能量积分估计,我们建立了该问题的正则解的整体存在性和唯一性.     

含有时滞的固定资产投资模型解的性质

给出带有时滞的一类固定资产投资模型,此模型为含有非局部和时滞边界条件的分布参数系统.运用泛函分析和积分方程理论,证明了系统解的存在唯一性,得到解的解析表达式,进而讨论了解的稳定性.     

Lévy噪声驱动的非对称耗散随机系统的Poincaré-型不等式和分部积分公式（英文）

研究了Lévy噪声驱动的非对称耗散随机系统的mild解的存在唯一性以及不变测度的存在性,随后得到了关于不变测度的Poincaré-型不等式和分部积分公式.     

Ramm积分方程的数值解（Ⅱ）

本文提出了解如下三维的Ramm积分方程的一种新的数值方法:采用带滤子的奇异值分解方法计算上述方程的近似解,并取得了令人满意的数值结果。此外,本文还讨论了解这类积分方程的吉洪诺夫正则方法.