一道不等式证明题的多种解法

<正>一、问题求证:若实数a,b,c满足ax+x,则有(f(b)-f(a))/(b-a)<(f(c)-f(b))/(c-b).二、问题求解思路1利用中间量过渡证明不等式.方法1要证(f(b)-f(a))/(b-a)<(f(c)-f(b))/(c-b),只需证(f(b)-f(a))/(b-a)b+1<(f(c)-f(b))/(c-b).思路:根据f(x)=eb+1<(f(c)-f(b))/(c-b).思路:根据f(x)=e^x+x的图像特征(如     

数形结合巧解一题(三)

问题若.求证: |f(a)-f(b)|<|a-b|. 分析利用双曲线(如图),的图像是等轴双曲线y2-x2。=1的上面的一支,两渐近线的倾斜角分别为π/4, (3π)/4;A(a,f(a)),B(b,f(b))(a≠b),则直线AB     

一道习题的多种精彩解法

新课程理念指导我们在数学学习中,勇于实践探索,善于合作交流．在解决问题的过程中,我们能体验到数学的美妙和战胜困难后的愉悦．下面这道习题就给我们美的享受．习题已知函数f(x)=(1 x2)~(1/2)当a≠b时,比较|f(a)-f(b)|与|a—b|的大小．解法1 (1 x2)~(1/2)与|a-b|和平面上两点     

拉格朗日中值定理的一个证明

拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献   

综合题新编选登

题158已知函数f(x)的导数f′(x)满足0α时,总有f(x)α,在α与β之间存在一点c,αα,所以f′(c)=1,与已知0相似文献   

用不等式解特殊的绝对值方程

不等式:(Ⅰ)|a b|≤|a| |b|,(Ⅱ)|a-b|≥|a|-|b|,(Ⅲ)||a|-|b||≤|a-b|是大家所熟知的。但这些非严格不等式在什么时候等号成立?下面看等号成立的条件。     

PHASE RETRIEVAL OF TIME-LIMITED SIGNALS

The problem of reconstructing a signal ψ(x) from its magnitude |ψ(x)| is of considerable interest to engineers and physicists.This article concerns the problem of determining a time-limited signal f with period 2π when |f(eix)| is known for x ∈ [-π,π].It is shown that the conditions |g(eix)| = |f(eix)| and |g(ei(x+b))-g(eix)| = |f(ei(x+b))-f(eix)|,b = 2π,together imply that either g = wf or g = vf,where both w and v have period b.Furthermore,if 2bπ is irrational then the functions w and v reduce to some constants c1 and c2,respectively;if 2bπ is rational then w takes the form w=eiαB1(eix)B2(eix) and v takes the form ei(x2πN/b+α)B1(eix)B2(eix),where B1 and B2 are Blaschke products.     

|a-b|≥||a|-|b||的几何意义

若·,。。*,贝。}一。.、{}一}。.},它是有广泛应用的不等式,下面给出它的一个有趣的几何解释,}一。,、){一,”,…当一“时显然成立· 于是构造函数f(x)一}x卜从图像上易见线段MN所在直线的斜率Ik删}簇1,不等式得证.当a共b时,它等价于 }1 al一lb}a一b簇1(责审张思明)|a-b|≥||a|-|b||的几何意义@齐行超$山东省单县二中!274300~~     

双变元不等式解法探究

<正>证明含有双变元的不等式,直接做往往比较麻烦,有些甚至无从下手.本文通过对几道典型例题探究,总结其中规律.1构造函数,将证明不等式等价转化为证明函数单调性例1已知函数f(x)=1/2x~2-ax+(a-1)lnx.求证:若1-1.证明不妨假设0相似文献   

问题征解

一、本期问题征解 1.求证对于所有正整数m,不等式 1/(m 1) 1/(m 2) … 1/ (2m 1)m>1成立。2. 求证不等式,(2-(2 (2 (2 … 2~(1/2))~(1/2))~(1/2))~(1/2))/(2-(2 (2 … 2~(1/2))~(1/2))~(1/2))>1/4(其中分子有n个根号,而分母包含有n-1个根号) 以上二题由汉川刘之英译供 3.已知f(x)=x~2-2mx b, (1)求抛物线y=f(x)的顶点轨迹方程; (2)说出l_1:f(x)-f(y)=3, l_2:y=f(x 1)-f(x)的形状; (3)当l_1与l_2相切时,求m的值。 4.某校先后举行数、理、化三科竞赛,学     

例说函数构造法解题

一、证明不等式.例1设a、b、c为绝对值小于1的实数,求证ab+bc+1>0.证明:构造函数f(a)=(b+c)a+(bc+1)(|a|>1).若b+c=0,则由|bc|<1,知f(a)>0;若b+c≠0则f(a)为单调函数,f(a)的值在f(1)与f(-1)之间,但f(1)=(1+b)(1+c)>0,f(-1)=(1-b)(1-c)>0,f(-1)与f(1)均大于0,∴f(a)>0.例2证明:(1+1)(1+31)(1+51)…(1+2n1-1)>2n+1(n=1,2,…)(98年高考)证明:构造函数f(x)=(1+1)(1+31)…(1+2x1-1)2x+1当x∈N*时,f(x+1)f(x)=(1+1)(1+13)…(1+2x1-1)(1+2x1+1)2(x+1)+1·2x+1(1+1)(1+31)…(1+2x1-1)=2x+2(2x+3)(2x+1)=(22xx++22)2-1>1·∴f(x)为增函数∴f(x)≥f(1…     

一种神经网络算子及其逼近阶估计

讨论了一种神经网络算子f_n(x)=sum from -n~2 to n~2 (f(k/n))/(n~α)b(n~(1-α)(x-k/n)),对f(x)的逼近误差|f_n(x)-f(x)|的上界在f(x)为连续和N阶连续可导两种情形下分别给出了该网络算子逼近的Jackson型估计.     

代数替换证不等式

证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x     

斜率公式与两个不等式

关于绝对值不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的另证.当b=0时,不等式显然成立.当b≠0时,它等价于-|b|≤|a b|-|a|≤|b|-1≤|a |b|b|-|a|≤1-1≤||(aa b|b)--|aa||≤1|(aa b|b)--|aa|≤1.图1 y=|x|于是作y=|x|的图象如图1.易见MN所在直线的斜率k满足|k|≤1,故不等式得证.2不等式1 x≤1 21x(x>0)的“斜率”表示.此不等式等价于1 x-1(1 x)-1≤21.它表示过P(1 x,1 x),Q(1,1)两点的斜率不小于y=1 x在Q(1,1)点的切线的斜率.3如何比较23与32大小.令f(x)=lgxx则f(x)=lgxx--00,它可视为y=lgx图象上的动点(x,lgx)与原点连线的斜率,作出y=lgx的图象易…     

利用导数证明不等式

读了贵刊今年第3期上刊登的“证明不等式的初等方法”等文章受益不浅。这几篇文章结合一些具体实例从各个不同角度对用初等方法证明不等式进行了较系统地归纳和总结,于教于学都是大有裨益的。但有些不等式运用微分法来进行证明思路清晰、方法简便、具有独到之处,而从近年来全国高考及各地高考予选情况来看,对于这方面的知识学生掌握得并不理想,本文试图就统编高中数学课本第四册“导数和微分的应用”一章对用导数证明不等式的方法作点归纳。一用微分中值定理证不等式定理1 如果函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点§,使得 f′§=(f(b)-f(a))/(b-a)。(见教材P114) 根据这个定理,我们可以依导函数f′(x)的变化范围(如有界等)及a<§相似文献   

用“互叠法”证明分式不等式

对于一类分式不等式的证明题,如果大胆将左、右两边“互相叠加”,兴许产生意料不到的奇迹! 定理1 欲证明不等式：P＞Q, 只须证明不等式：P Q＞2Q。这个定理1太浅显了。例1 设a＞b＞c,求证：a~2/(a-b) b~2/(b-c)＞a 2b c。(第32届乌克兰数学竞赛试题) 证明设P=a~2/(a-b) b~2/(b-c),Q=a 2b c；考察新不等式：P Q=(a~2/(a-b) a-b) (b~2/(b-c) b-c) (2b 2c)＞2a 2b (2b 2c)=2(a 2b c)=2Q,显然,P Q＞2Q,依定理1,知P＞Q,故原不等式获证。 (注：此处不能取“=”,因为a~2/(a-b) a-b≥2a,b~2/(b-c) b-c≥2b等号不能同时成立)     

一道高考试题的常规解法

2012年高考浙江理科卷第22题:已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,(ⅰ)函数f(x)的最大值为|2a-b|+a;(ⅱ)f(x)+|2a-b|+a≥0;(Ⅱ)若-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.本题主要考察不等式、导数、单调性、线性规划等知识点及综合运用能力.官方给出的答案中,对(Ⅰ)(ⅱ)的解答中运用了"放缩法",有一定的     

一类振荡积分算子在Wiener 共合空间上的有界性

假设a,b0并且K_(a,b)(x)=(e~(i|x|~(-b)))/(|x|~(n+a))定义强奇异卷积算子T如下:Tf(x)=(K_(a,b)*f)(x),本文主要考虑了如上定义的算子T在Wiener共合空间W(FL~p,L~q)(R~n)上的有界性.另一方面,设α,β0并且γ(t)=|t|~k或γ(t)=sgn(t)|t|~k.利用振荡积分估计,本文还研究了算子T_(α,β)f(x,y)=p.v∫_(-1)~1f(x-t,y-γ(t))(e~(2πi|t|~(-β)))/(t|t|~α)dt及其推广形式∧_(α,β)f(x,y,z)=∫_(Q~2)f(x-t,y-s,z-t~ks~j)e~(-2πit)~(-β_1_s-β_2)t~(-α_1-1)s~(-α_2-1)dtds在Wiener共合空间W(FL~p,L~q)上的映射性质.本文的结论足以表明,Wiener共合空间是Lebesgue空间的一个很好的替代.     

抽象函数证明中的巧妙“设”法

<正>例1已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.(1)证明函数y=f(x)是R上的单调性;(2)讨论函数y=f(x)的奇偶性.思路一设元、凑已知.证明任取x_10)(设法为凑形),而f(a+b)=f(a)+f(b),∴f(x_2)-f(x_1)=f(x_1+t)-f(x_1)=f(x_1)+f(t)-f(x_1)=f(t).     

国外试题选登

<正> (苏)(1)求极限(2)设x>0时,f(x)=(1+x)~(1/(?)),证明当x→0~+时,f(x)-e+Ax+Bx~2+o(x~2),并求A、B两常数. (3)证明不等式(sinx)~(-2)≤x~(-2)+1-(4/(π~2))x∈(0,(π/2)).