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根据某些条件若能构造出直角三角形,利用直角三角形的性质,可使某些无理不等式得到直观巧妙的证法,下举几例以说明之: 例1 设a≥c,b≥c,c≥0,求证并确定等号成立的条件。证明:如图1,在长度为c~(1/2)的线段BC上作Rt△ABE和Rt△ECD,使AB=b-c~(1/2),CD=a-c~(1/2) ,BE=EC=c~(2/1)则AE=,b~(1/2),DE=a~(1/2),连AD,则 S梯形ABCD=S△ABB+S△CDE+S△AED。 相似文献
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高中《数学》第二册 (上 )第六章不等式中涉及到一类无理不等式的证明 ,本文先给出它们的一种巧证 ,然后将其作统一推广 .1 巧证引理 如果x≥ 0 ,那么x =x2 .例 1 (P15例 1)求证 :3+ 7<2 5.证明 3+ 7=( 3+ 7) 2=10 + 2 2 1<10 + 2 2 5=2 5.例 2 (P16题 1)求证 :6 + 7>2 2 + 5.证明 6 + 7=( 6 + 7) 2=13+ 2 4 2>13+ 2 4 0=( 8+ 5) 2 =2 2 + 5.例 3 (P17题 4 )求证 :1) 3+ 5<4 ;2 ) 13+ 2 >5- 2 .证明 1) 3+ 5=( 3+ 5) 2=8+ 2 15<8+ 2 16 =4 .2 ) 13+ 2 =2 - 3=( 2 - 3) 2=7- 43>7- 45=( 5- 2 ) 2 =5- 2 .说明 不等式 1)与 2… 相似文献
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设a,b,c∈R,且a+b+c>0,ab十bc ca>0,abc>0,柬:a>0,b>0,c>0.此题在分种参考书中曾出现过,原证法都是用反证法证明的.这里结出一种简捷的巧证.设f(x)=(x+a)(x+b)(x+c)=x‘+(a+b+c)x3+(ab bc ca)x+abc从尾舟式来看,显然当X>ow人X)>o.意味着y一八X)的图象更X轴的正半细无交点,而y一人x)弓xs青三个交点(-a,0),(-b,0),(-C,0),所以必有一a<0,一b<0,-c<0即a>0,b>0,c>0.一个不等式的巧证@周满庭$安徽省宣城中学!242000… 相似文献
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<正>题目已知a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a2+1)1/2+(b2+1)1/2≥51/2.《中学数学》《中学数学教学参考》等数学杂志曾用放缩法、几何法、向量法、不等式法等十多种方法对此题作了精彩证明,读后令人折 相似文献
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这里首先给出一个余弦不等式的新证法,并由此推证若干个三角不等式。其次阐明《一个不等式的证明及其应用》(详见《中学数学》1984年第3期)中的重要三角不等式是本文的一个推论,最后谈谈它的应用. 定理若A、B、C是△ABC的三内角,则cosAcosBcosC≤1/8成立。证明当△ABC是非锐角三角形时,则A、B、C中有且仅有一个直角(或钝角),不妨设A是直角(或钝角),有cosA=0(或<0),cosB>0,COSC>0,由此cosAcosBcosC=0(或<0),所证不等式显然成立. 相似文献
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文[1]给出了猜想:设α,b〉0,n≥2且,n∈N,0〈λ≤n则
n√α/α+λb+n√b/λb+α≤2/√1+λ本文给予证明。 相似文献
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文[1]给出了如下不等式:设a,b>0,0<λ≤2,则aa λb bλa b≤21 λ(1)本文给出(1)式的一个类比.定理设a,b>0,0<λ≤3,则3aa λb 3bλa b≤231 λ.(2)证令f(x)=311 λx 131 λx(x>0),则f′(x)=-λ3(1 λx)-43-13(1 λx)-43(-λx2)=-λ3(1 λx)-43 λ3(x λ)-43·x-23,于是,f′(x) 相似文献
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郭要红老师在文[1]中提出如下猜想:“a,b>0,n≥2,n∈N,0<λ≤n,则n√a/a+λb+n√b/b+λa≤2/n√1+λ.”文[2]对此猜想给出了一个初等的证明方法.笔者拜读此文受到启发,类比推理并修正获得三个一般性的结论,并且探索到了简明的初等证明方法. 相似文献
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本文介绍下列一个无理型柯西不等式的应用. 定理设x1,x2,…,xn;y1,y2,…,yn∈R+,则当且仅当x1:y1=x2:y2=…=xn:yn 时,等号成立. 相似文献
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在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1 已知a、b、c、d∈R ,求证 :(ac+bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .证明 构造向量m—→ =(a ,b) ,n—→=(c ,d) ,设m—→ 与n—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则 m—→·n—→ =ac +bd , |m—→| =a2 +b2 , |n—→| =c2 +d2 ,∵ m—→·n—→ =|m—→|·|n—→|cosθ≤ |m—→|·|n—→| ,∴ (ac+bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .例 2 设x ,y∈R+ ,且x + y =1 ,… 相似文献