Zur Theorie der Schwingungen

Ohne ZusammenfassungUnter diesem Titel soll eine Reihe von aufeinanderfolgenden Aufsätzen erscheinen, die hauptsächlich die Theorie der periodischen nichtlinearen erzwungenen Schwingungen mit Hilfe der Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen aufbauen sollen. Die dabei zu verwendenden Methoden werden natürlich auch außerhalb dieses speziellen Anwendungsgebietes, insbesondere in der Variationsrechnung, von Nutzen sein. Auch für die Theorie der Randwertaufgaben allgemeiner nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung wird sich mancher Beitrag ergeben.     

Nonlinear vibration of beams and rectangular plates

Zusammenfassung Der Einfluss von Vorspannungen auf die freien und erzwungenen nichtlinearen Schwingungen von Balken und rechteckigen Platten wird mittels einer einfachen Erweiterung der Lösungen für Fälle ohne Vorspannung untersucht. Es wird eine einzige Koordinatenfunktion benützt; es werden einfach aufgelegte und eingespannte Fälle betrachtet; und die Diskussion wird auch auf den überkritischen Bereich ausgedehnt.     

Experimental investigation of energy dissipation in a resonance tube

Zusammenfassung An einem wassergekühlten Resonanzrohr wurde die Leistung gemessen, die in Wärme umgesetzt wird, wenn das Rohr durch Anblasen der Mündung mittels eines Überschallluftstrahls in intensive Schwingungen versetzt wird. Mittels eines Hitzdrahtanemometers wurden auch die Temperaturschwankungen am geschlossenen Rohrende gemessen. Zusätzlich zur bereits beobachteten Grundschwingung wurde eine Oberschwingung höherer Frequenz gefunden, welche innerhalb des Rohres eine qualitativ verschiedene Dissipationsverteilung ergibt. Es wurde festgestellt, dass der gemessene Energieumsatz viel grösser ist, als Berechnungen aus einem einfachen Stosswellenmodell für die Strömung im Rohr ergeben.     

The variational method of Djukic and Vujanovic and its relation to classical variational methods

Summary The variational methods are classified into different types according to their Lagrangians, namely, classical-, limit-, adjoint- restricted- and Djukic, Vujanovic (DV)-Lagrangians. For some types, the existence of a Lagrangian to a given equation is discussed and examples are listed. Rules for a general application of the DV-method are presented and the equivalence of the DV-method to other variational methods is shown. This guarantees the identity of the corresponding Euler-Lagrange equations and their (exact) solutions. In special cases, even the approximate variational solutions become identical.

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Zusammenfassung Variationsverfahren werden je nach Lagrange Funktion in verschiedene Typen eingeteilt; nämlich in klassische-, limes-, adjungierte-, eingeschränkte- und Djukic, Vujanovic (DV)- Lagrange Funktionen. Für einige Typen wird die Existenz einer Lagrange Funktion zu einer vorgegebenen Gleichung diskutiert und es werden Beispiele angeführt. Regeln für eine allgemeine Anwendung des DV-Verfahrens werden angegeben. Die Aequivalenz der DV-Methode mit anderen Variationsverfahren wird nachgewiesen. Sie garantiert die Identität der Euler-Lagrange Gleichungen und ihrer(exakten) Lösungen. In Sonderfällen kann sogar die approximative Variationslösung identisch werden.

     

Large deflections of point loaded cantilevers with nonlinear behaviour

Summary Thin beams, being flexible, form a curve with large deflections when subjected to sufficiently large transverse loads. Therefore, geometrical nonlinearity occurs, and the problem must be formulated in terms of the nonlinear theory of bending. In this paper, the beam is constructed from nonlinear elastic material, and subjected to several transverse concentrated loads. Due to the large deflection of the beam, the exact expression of the curvature of the deflected shape is used in the Bernoulli-Euler relationship. Therefore, this leads to a second order nonlinear differential equation for the transverse deflection. The solution of this equation is obtained by using the fourth-order Runge-Kutta method, and the arc length is evaluated using Simpson's Rule. The results obtained from this procedure are compared with previously published results for thin beams of linear elastic materials in order to verify the theory and the method of analysis.

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Zusammenfassung Dünne, flexible Träger formen eine stark gekrümmte Kurve, wenn sie genügend großen Querkräften ausgesetzt sind. Deshalb tritt geometrische Nichtlinearität auf, und das Problem muß mit Hilfe nichtlinearer Biegetheorie formuliert werden. Dieser Aufsatz handelt von einem Träger aus einem nichtlinearen, elastischen Material, der mehreren konzentrierten Querkräften ausgesetzt ist. Wegen der großen Durchbiegung des Trägers wird der exakte Ausdruck für dessen Krümmung in dem Euler-Bernoullischen Gesetz benutzt. Dies führt daher zu einer nicht-linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Durchbiegung. Die Lösung dieser Gleichung erhält man, indem man die Runge-Kutta Methode vierter Ordnung benutzt; die Bogenlänge wird mit Simpsons Regel bestimmt. Die auf diese Weise erhaltenen Resultate werden mit bereits veröffentlichten Resultaten für dünne Träger aus linearen, elastischen Materialien verglichen, um die Theorie und Berechnungsmethode zu prüfen.

     

Helical flow of an idealized elastico-viscous liquid (I)

Zusammenfassung Es wird die stationäre Spiralströmung einer Klasse von idealisierten zähelastischen Flüssigkeiten untersucht. Diese Strömung wird zwischen zwei unendlich langen koaxialen Zylindern erzeugt, wenn im Spalt ein Druckgradient parallel zur Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelge-Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten um ihre gemeinsame Achse rotieren. Es werden exakte Lösungen für das Geschwindigkeits- und Druckfeld angegeben, wobei Mittelwert und Maximalwert der Axialkomponente der Geschwindigkeit ebenfalls berechnet sind. Ferner wird die Berechnung des Durchflussvolumens pro Zeiteinheit und des notwendigen Drehmomentes pro Längeneinheit, um die Relativbewegung der Zylinder zueinander aufrechtzuerhalten, durchgeführt. Schliesslich wird noch die Gleichung der Spirale aufgestellt, die ein Flüssigkeiteilchen beschreibt. Die Diskussion des Geschwindigkeits- und Druckfeldes zeigt einige interessante Resultate im Vergleich zu einer ähnlichen Strömung einer rein zähen Flüssigkeit. Die Couette-Strömung und die koaxiale Rohrströmung werden als Spezialfälle der Spiralströmung diskutiert.     

Application of the Galerkin and Ritz methods to nonconservative problems of elastic stability

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden nichtkonservative Probleme der elastischen Stabilität mittels des Galerkin- und des Ritz-Verfahrens behandelt.Zuerst wird bewiesen, dass die Resultate vonLeipholz bezüglich der Konvergenz des Galerkinschen Verfahrens für solche Probleme auf eine grössere Klasse zulässiger Versuchsfunktionen erweitert werden können. Danach wird das Hamiltonsche Prinzip für nichtkonservative mechanische Systeme so formuliert, dass die Ritzsche Methode auf nichtkonservative Probleme der elastischen Stabilität angewendet werden kann, im Gegensatz zur Ansicht, dass eine solche Anwendung nicht möglich ist. Zum Schluss werden einige angenäherte Lösungen des Beckschen Problems angeführt und verglichen, um die Begriffe zu erklären, die am Anfang dieser Arbeit dargestellt wurden.     

On the concept of transmissibility for randomly excited elastic structures

Zusammenfassung Der Vergrösserungsfaktor (auch Transmissibilität oder Resonanzfunktion genannt) ist eine wohldefinierte Grösse bei deterministisch erregten Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad. Die begriffliche Deutung dieser Grösse kann jedoch nach dem Permanenzprinzip erweitert werden. Es ist somit möglich, diesen Begriff auch auf zufallserregte Schwingungen von Systemen mit einer unendlichen Zahl von Freiheitsgraden anzuwenden. Im allgemeinen führt aber eine solche Erweiterung auf zwei verschiedene Arten von Transmissibilität: spezifische Transmissibilität und Gesamt-Transmissibilität. Bei akustischen Problemen wird danach die Quadratwurzel des Quotienten aus Ausgangs-Energiespektraldichte über Eingangs-Energiespektraldichte als spezifische Transmissibilität bezeichnet, wohingegen die Gesamt-Transmissibilität gegeben ist durch das Verhältnis der quadratischen Mittelwerte von Ausgangs-Druck zu Eingangs-Druck.Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einigen analytischen und experimentellen Konsequenzen dieses Konzepts.     

Initial condition solutions of the generalized feller equation

Summary Solutions for given initial conditions are established for the generalized (autonomous parabolic) Feller equation in one positive space variable and one positive time variable. The coefficients of this equation are power functions of the space variable and depend on four parameters. In general, the equation is singular at the origin and at infinity. It contains as special cases the special Feller equation, the Kepinski equation, and the heat equation. Areas of application include biology, superradiant emission processes, heat propagation in solids (with special applications in the area of heat shield and ablation material design), and certain chemical reaction-diffusion processes. It is noteworthy that, for particular values of the parameters, the equation allows an evolution theoretic derivation of the fundamental distribution laws of Wien, Maxwell, Poisson, and Gauss. The general initial condition solution will be derived from a fundamental solution and will be given in terms of an integral transform for locally summable functions (singular integral). It is also shown that, for admissible parameter values, there always exist nontrivial solutions which approach zero as the time variable goes to zero and that, for particular parameter ranges, there exist singular solutions, conservative solutions, and delta function initial condition solutions.

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Zusammenfassung Es werden Lösungen für gegebene Anfangsbedingungen für die verallgemeinerte (autonome, parabolische) Fellersche Gleichung in einer positiven Raumvariablen und einer positiven Zeitvariablen aufgestellt. Die Koeffizienten dieser Gleichung sind Potenzen der Raumvariablen und hängen von vier Parametern ab. Die Gleichung ist im allgemeinen singulär am Ursprung und im Unendlichen. Sie umfasst als Spezialfälle die spezielle Fellersche Gleichung, die Kepinskische Gleichung und die Wärmegleichung. Anwendung findet sie in der Biologie, in superstrahlenden Emissionsprozessen, in der Theorie der Wärmeausbreitung in Festkörpern (besonders beim Entwurf von Hitzeschilden und Abschmelzmaterialien) und im Gebiet gewisser chemischer Reaktions-Diffusionsprozesse. Est ist bemerkenswert, dass die Gleichung für besondere Parameterwerte eine evolutionstheoretische Herleitung der grundlegenden Verteilungsgesetze von Wien, Maxwell, Poisson und Gauss ermöglicht. Die allgemeine Lösung für gegebene Anfangsbedingung wird aus einer Grundlösung entwickelt und in der Form einer Integraltransformation gegeben für lokal summierbare Funktionen (singuläres Integral). Es wird weiterhin gezeigt, dass für zulässige Parameterwerte stets nichtriviale Lösungen existeren, die nach Null streben, wenn die Zeitvariable nach Null geht, und dass es für besondere Parameterbereiche singuläre und konservative Lösungen gibt und solche, die einer Deltafunktion als Anfangsbedingung entsprechen.

     

An isoperimetric problem for sloshing in a shallow convex container

Zusammenfassung Es wird die Aufgabe der freien Flüssigkeitsschwingungen in Behältern geringer Tiefe untersucht, und zwar für ebene und axial-symmetrische Schwingungen. Insbesondere wird die Frage beantwortet, welchen Wert die zweite harmonische Schwingungsfrequenz höchstens annehmen kann, wenn zwar der Inhalt des Behälters vorgegeben ist, dagegen nicht seine Gestalt. Im Gegensatz zu einer früheren Untersuchung werden jedoch für dieses isoperimetrische Problem nur konvexe Behälter zugelassen. Mathematisch lässt sich das Ergebnis etwas weiter fassen: Es wird eine obere Schranke für den niedrigsten (nicht trivialen) Eigenwert einer Klasse von Sturm-Liouville Aufgaben ermittelt, wobei sich herausstellt, dass zur Abgrenzung dieser Klasse zwei feste Punkte im Integrationsintervall eine ausschlaggebende Rolle spielen.

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Dedicated to Professor H. Ziegler on his 60th birthday

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The work presented here was supported in part by the National Science Foundation under grant GP-7522.     

On axisymmetric stokes flow past a torus

A method is presented for determining the exact solution of the Stokes equation for axisymmetric streaming flow past a torus. By solving directly for the velocity and pressure fields rather than introducing a stream function, the problem is reduced to the solution of a second order difference equation for a coefficient sequence. The force acting on the torus is evaluated for a number of values of the parameter defining the torus geometry.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird eine Methode entwickelt um die exakte Lösung der Stokes' schen Gleichung für einen axisymmetrischen Fluss um einen Torus zu erhalten. Indem man direkt Geschwindgkeits- und Druckverteilung ausrechnet (statt eine Stromfunktion einzuführen) wird das Problem auf die Lösung einer Differenzengleichung zweiter Ordnung für eine Folge von Koeffizienten reduziert. Die am Torus wirksame Kraft wird dann für mehrere Parameterwerte der Torusgeometrie bestimmt.

     

Unsteady energy transfer in a layer of gray gas by thermal radiation

Zusammenfassung Das Aufheizen oder Abkühlen einer ruhenden Schicht eines strahlenden Gases wird analysiert. Streuung der Strahlung wird dabei vernachlässigt, und der Wärmetransport durch Leitung und Konvektion wird als vernachlässigbar klein im Vergleich zum Strahlungsaustausch betrachtet. Ein Schema wird entwickelt für die numerische Lösung der nichtlinearen Integral-Differentialgleichung der Energie. Von einer beliebig angenommenen Anfangsverteilung der Temperatur ausgehend werden Temperaturen und Strahlungs-Wärmestromdichten als Funktion der Zeit ermittelt. Weiterhin werden für konstante und sich ändernde Stoffgrössen die Einflüsse der optischen Dicke, der Anfangstemperaturverteilung und der einfallenden Strahlung auf die Temperaturverteilung und den Wärmetransport dargestellt.     

Saturated-unsaturated flow in unconfined aquifers

An asymptotic theory is developed for the saturated-unsaturated flow in unconfined aquifers. It is found that in the first approximation the flow is governed by a nonlinear parabolic equation which reduces to the Boussinesq equation when the terms associated with the unsaturated zone are omitted. By assuming certain hydraulic properties of the porous medium it will be shown that the effects of the unsaturated zone are significant in most practical cases of interest.

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Zusammenfassung Eine asymptotische Theorie für die gesättigte-ungesättigte Strömung in porösen, wassertragenden, auf der Landfläche sich befindenden Schichten wird entwickelt. Wir fanden, daß in der ersten Annäherung die Strömung von einer nicht linearen parabolischen Gleichung bestimmt wird, die zur Gleichung von Boussinesq zurückgeführt werden kann, wenn die Glieder für die ungesättigte Zone ausgelassen werden. Wenn man dem porösen Material gewisse Eigenschaften zuschreibt, dann läßt sich zeigen, dass der Einfluß der ungesättigten Zone in den meisten in der Praxis auftretenden Fällen von Bedeutung sind.

     

Steady state oscillations in a buoyant fluid

In this article we consider small steady forced oscillations induced by immersed bodies moving at frequencies above the buoyancy frequency in stratified fluids. The model we treat takes the buoyancy frequency and the density to be constant, and consequently the governing differential equation is the same as for small steady oscillations in a uniformly rotating fluid.Our treatment of this problem has several aspects. The first is the formulation and transformation of the problem for quite arbitrary bodies and general boundary motions. The second is the solution of a number of simple problems in two and three dimensions. The solutions are given explicitly and in some detail and their limiting behavior for high frequency and at the buoyancy frequency is derived. This leads to some new observations and to a conjecture about the velocity field at the buoyancy frequency. We also give sequences of graphs of streamlines of some of the examples. These show in a striking way the changes in the flow field as the frequency varies.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit behandeln wir kleine Schwingungen, die durch bewegte Körper in geschichteten Flüssigkeiten erzwungen werden. Die Schwingungsfrequenzen liegen oberhalb der Auftriebsfrequenz. In unserem Modell werden Auftriebsfrequenz und Dichte als konstant vorausgesetzt. Somit wird die massgebliche Differentialgleichung hier identisch mit derjenigen für kleine Schwingungen in einer gleichförmig rotierenden Flüssigkeit.Wir betrachten das Problem unter verschiedenen Gesichtspunkten: Zunächst wird das Problem für willkürlich gestaltete Körper und allgemeine Randbedingungen bezüglich der Bewegungen formuliert, Sodann werden explizite Lösungen für eine Reihe von einfachen zwei- und dreidimensionalen Problemen in Einzelheiten angegeben. Ihr Grenzverhalten bei hohen Frequenzen und für die Auftriebsfrequenz wird abgeleitet. Dies führt zu einigen neuen Beobachtungen und Vermutungen über das Geschwindigkeitsfeld für die Auftriebsfrequenz. In einigen Fällen fügen wir eine Folge graphischer Darstellungen der Stromlinien bei. Diese zeigen sehr eindrucksvoll, wie sich das Strömungsfeld mit der Frequenz ändert.

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This work supported by the Department of the Navy, Naval Sea Systems Command under Contract No. N00017-72-4401.     

Development of flow in the inlet length of a circular tube starting from rest

Zusammenfassung Auf der Grundlage linearisierter Navier-Stokes-Gleichungen wird die instationäre laminare Strömung einer reibungsbehafteten, inkompressiblen Flüssigkeit im Einlaufbereich eines kreisförmigen Rohres behandelt. Es wird angenommen, dass sich die Flüssigkeit zum Anfangszeitpunkt im Ruhezustand befindet und dass die Geschwindigkeitsverteilung im Einlaufquerschnitt eine bekannte Funktion der Zeit und des Radius ist. Es werden Formeln für die Längskomponente der Geschwindigkeit sowie für den Druckgradienten angegeben.     

Thermally driven acoustic oscillations,part V: Gas-liquid oscillations

Summary Thermally driven gas oscillations are considered which drive a liquid column at the cold open end. The frequency of the oscillations is lowered by the inertia of the liquid and the Stokes boundary layer is thick. Optimal conditions for thermal driving in the gas occur at correspondingly big tube radii. Experiments conducted inN ₂ confirm the theoretically calculated stability limits. With hot air driving a water column, a low critical temperature ratio for the oscillations of about 1.5 was observed.

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Zusammenfassung Thermisch getriebene akustische Schwingungen werden untersucht die eine Flüssigkeitssäule am kalten offenen Ende antreiben. Die Frequenz der Schwingungen wird durch die Trägheit der Flüssigkeit vermindert und die Stokes'sche Grenzschicht ist dick. Die optimalen Bedingungen für thermisch getriebene Schwingungen im Gas werden bei entsprechend höheren Rohr-Radien auftreten. Experimente mitN ₂ haben die theoretisch berechneten Stabilitätsgrenzen bestätigt. Bei einer Anordnung, in der heisse Luft eine Wassersäule angetrieben hat, wurde ein tiefes kritisches Temperaturverhältnis von etwa 1.5 beobachtet.

     

Numerische Schwingungssimulation: Modellierung und Algorithmen

Zusammenfassung. Diese Arbeit stellt die allgemeine Vorgehensweise der Numerischen Modellierung exemplarisch vor und führt bei (relativ) elementaren Voraussetzungen an den Leser in die numerische Simulation linearer und nichtlinearer Schwingungen ein. Im Zentrum steht eine direkte diskrete Modellierung und deren algorithmische Realisierung; in der Umgebung werden aber auch mathematische Fragestellungen aus der h?heren Analysis motiviert. Die Darstellung wird als Kern interdisziplin?rer Projekte zur Angewandten Mathematik und Physik in der gymnasialen Oberstufe vorgeschlagen. Lernziele sind dabei die Modellierung und Algorithmik von nichtlinearen Schwingungen elastischer Medien. Eingegangen am 21. M?rz 2001 / Angenommen am 30. Mai 2001     

NewK-band superheterodyne electron spin resonance spectrometer

Zusammenfassung Ein neuartiges Elektronenspinresonanz-Spektrometer für 24 GHz wird beschrieben. Das Instrument benützt als wesentliches Merkmal einen auf den Mikrowellenoszillator phasenstabilisierten Lokaloszillator. Hierbei kann der erstere mittels eines Peter-Strandberg-Phasenstabilisators entweder auf den Holraumresonator für ESR-Experimente oder auf die Harmonischen eines Kristalloszillators stabilisiert werden. Für die Mikrowellenbrücke wird eine Zirkulator-slidescrew tuner-Kombination verwendet, mit welcher leicht eine Isolation von 70 db erreichbar ist. Das Mischersignal von Lokal- und Hauptoszillator wird als Referenz für den Zwischenfrequenz-Phasenstabilisator verwendet. Die damit erzielte Kohärenz zwischen Referenz und Signal erlaubt eine weitgehende Elimination des Lokaloszillatorrauschens und der durch den Hohlraumoszillator verursachten nichtlinearen Amplituden- und Phasenverzerrungen. Die Wahl der Phase des Elektronenresonanz-Signals wird im Gegensatz zu bekannten Verfahren mittels Verzögerungsleitungen im Zwischenfrequenzkanal vorgenommen. Dadurch können Absorptions- und Dispersionssignal willkürlich gewählt werden, und die üblichen Schwierigkeiten der Phasenwahl im Mikrowellensystem fallen weg.Die bisher übliche Theorie der Empfindlichkeit des Instruments wird in einigen wichtigen Punkten eingehender dargestellt und speziell die Effekte der nichtlinearen Phasen-und Amplitudenverzerrungen durch den Hohlraumresonator auf das Verhältnis von Signal nahmen praktisch eliminiert werden können. Die dadurch mit dem Instrument bei sehr niedriger Mikrowellenleistung erzielbare hohe Empfindlichkeit von 2·10¹⁰ spins bei Zimmertemperatur wird an einem Beispiel demonstriert.

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Contains part of PromotionsarbeitP. Schmid, ETH, 1966.     

Forced oscillations in a rotating liquid (I)

Zusammenfassung Der vorliegenden Analyse liegen die linearisierten Gleichungen für die achsensymmetrischen Störungen einer gleichförmig rotierenden Flüssigkeit zugrunde. Dabei wird aber keine Annahme hinsichtlich einer Zeitabhängigkeit der erzwungenen Bewegungen gemacht und die Entwicklung der Störungen vom Beginn der erzwungenen Bewegung an studiert. Ungeachtet der sich zeigenden analytischen Schwierigkeiten können über die allgemeinen Störbewegungen Aussagen gemacht werden.Für die relativ schnellen harmonischen Schwingungen (mit einer Störfrequenz grösser als die doppelte Rotationsfrequenz) findet man, nachdem die Einwirkung zeitlich genügend dauerte, dass die Bewegung der Flüssigkeit und jene des erzwungenen Mechanismus — wie in den früheren Arbeiten angenommen — überall phasengleich ist. Demgegenüber wird für Schwingungen mit kleinerer Relativfrequenz ein System fortschreitender Wellen vorausgesagt. Spezielle Aufmerksamkeit wird hier dem früheren Falle geschenkt; mit Hilfe einer Ähnlichkeitsbetrachtung kann die Analyse einer breiten Klasse der durch kleine harmonische Schwingungen erregten Bewegungen auf ein Problem der Potentialtheorie reduziert werden. Als Beispiele werden die axial schwingende und die radial pulsierende Kugel kurz erörtert.     

Laminar-film condensation on a flat plate in the absence of a body force

Zusammenfassung Die laminare Strömung von gesättigtem Dampf über eine gekühlte ebene Fläche wird untersucht für den Fall der Kondensation eines Films an der Oberfläche. Es wird angenommen, dass keine Gravitationskraft vorliegt und dass die Bewegung des Kondensats lediglich durch die Reibung am strömenden Dampf hervorgerufen wird. Ergebnisse für die Scherkraft und die Wärmeübertragung an der Oberfläche werden mitgeteilt. Die wesentlichen Rechenergebnisse konnten in zwei Diagrammen zusammengefasst werden: Figur 2 gibt die zu erwartenden Schubspannungen wieder, Figur 3 den Wärmeübergang.