从直角三角形到直角四面体的类比

<正>类比是一位伟大的引路人,她可以帮助我们提出新的问题,作出新的发现.下面我们运用类比对高中数学选修2—2人教A版课本P₈₃例3作进一步的探究.课本P₈₃例3类比直角三角形的勾股定理c²=a²+b²提出猜想:在直角四面体中有S²= S₁²+S₂²+S₃²,即斜面面积的平方等于三个直角面面积的平方和,但是课本并未给出证明,现证明如下:     

关注模型 妙解中考题

同学们在学习勾股定理时,利用图1～图3中相关图形的面积关系证明了勾股定理.在图1中,S正方形ABCD=4S△ADE+S正方形EFGH,在图2中,S正方形ABCD=4S△AEF+S正方形EFGH,在图3中,S梯形ABCD=2S△ABE+S△ADE.图1图2图3勾股定理的证明是同学们学习过的非常重要的数学模型,利用它可顺利解决相关中考试题.     

勾股定理的逆定理的一个简证

<正>"勾股定理"(在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方)的逆命题(如果在一个三角形中两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形为直角三角形,且这个三角形的第三边所对角为直角)则称其为"勾股定理的逆定理"."勾股定理"被誉为"千古第一定理^[(1)]",其证明方法多达三百余种[(1)]",其证明方法多达三百余种^([2]).尽管勾股定理的逆定理的证明方法远不如勾股定理的证明方法那么多,但也依然有好几种具有鲜明特色的漂亮证明([2]).尽管勾股定理的逆定理的证明方法远不如勾股定理的证明方法那么多,但也依然有好几种具有鲜明特色的漂亮证明^{([3][4][5][6][7])}方法.但这些证明所使用的     

利用矩形一性质巧解一类试题

<正>在初中学习平面几何时,有这样一道课本习题:如图1,已知P为矩形ABCD内一点,求证:PA²+PC2+PC²=PB2=PB²+PD2+PD².该题利用勾股定理可以很快予以证明.事实上,点P为平面上任意一点时该结论仍然成立.给出以下两种证法.证明一用解析法.以AB、AD所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系.设A(0,0),     

勾股定理的证明

关于勾股定理,有很多证法.证法1是欧几里得证法,证法2用的是面积割补的方法. 证法1 如图1所示,在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE、BCHK、ACFG,它们的面积分别是c2、a2、b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形面积之和.     

正方形与勾股定理

<正>我们知道,在平面几何中,古希腊大数学家"欧几里得对于"勾股定理"的最初的证明方法是:利用给定的"直角三角形"的各边的长,在直角三角形的外部作"正方形",同时并巧妙地利用了"面积法",证明了最著名的"勾股定理".欧几里得——欧氏的经典的证明方法和具体过程如下:如图1,已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a.其中在直角三角形ABC的外部,作出的正方形ABDE的边长为c,正方形AFJC的边长为b,     

等腰三角形的一条性质及其应用

<正>一、性质在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点.则AB²=AD2=AD²+BD·DC.证明如图甲所示.作AH⊥BC于点H,则BH=CH.由勾股定理得AB2+BD·DC.证明如图甲所示.作AH⊥BC于点H,则BH=CH.由勾股定理得AB²=AH2=AH²+BH2+BH²=AD2=AD²-DH2-DH²+BH2+BH²=AD2=AD²+(BH2+(BH²-DH2-DH²)=AD2)=AD²+(BH+DH)(BH-DH)=AD2+(BH+DH)(BH-DH)=AD²+BD·DC.注当点D在边BC的延长线上,则     

求两三角形面积比的多种解法

<正>题目四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=BC=5,CD=7,AD=1,求△ABD与△BCD的面积之比.思路一两个三角形的面积之比利用同底(等底)转化为高之比.妙解法一(利用BD为两三角形的公共边,过A,C作高AE,CF.)如图2,连结AC,由勾股定理得AC²=AB2=AB²+BC2+BC²=50,又AD2=50,又AD²+DC2+DC²=50,所以∠ADC=90°.所以A,B,C,D共圆.由AB=BC得,     

有趣的地毯

<正>一、问题提出魔术师找裁缝希望他能将一块边长为13dm的正方形地毯,改成长为21dm,宽为8dm的矩形地毯.裁缝想了半天说:"这怎么可能,第一块面积为169dm²,而第二块的面积168dm2,而第二块的面积168dm²,除非减掉1dm2,除非减掉1dm²."魔术师笑笑说:"你照着我的方法做就好了,我是不会骗你的."裁缝按魔术师的方法改好了地毯,可是为什么少了1dm2."魔术师笑笑说:"你照着我的方法做就好了,我是不会骗你的."裁缝按魔术师的方法改好了地毯,可是为什么少了1dm²,你能帮助他解释这个问题吗?二、问题解决教师在课前给每一位学生一张白纸,目的让学生进行数学实验,利用手中的白纸,将问     

一道正方形习题的证明与变式

<正>题目如图1,B、C、E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形(两正方形边长不等),点G在边DC上,连接AF、DE.试证明AF=2^(1/2)DE.证法一如图2,延长FG与AB交于点H,显然FG⊥AB于H,设正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b(不妨设a>b),在Rt△AHF中,AF(1/2)DE.证法一如图2,延长FG与AB交于点H,显然FG⊥AB于H,设正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b(不妨设a>b),在Rt△AHF中,AF²=AH2=AH²+HF2+HF²,因     

二维Hardy空间维林肯型系统的极大算子（英文）

本文研究二维Hardy空间维林肯型系统的极大算子的有界性.利用原子分解方法,我们证明二维极大算子T_αf:=sup₍2^-α≤n/m≤2^α)|f*P_n,m|是从鞅Hardy空间H^p到L^p有界的,其中0 *f=₍2^-α≤n/m≤2^α)|σ_n,mf|/([(n+1)(m+1)])^1/p-2的有界性证明.通过构造反例,我们证明二维极大算子■不是从鞅Hardr空间H^p到L^p有界的,其中0

相似文献   

用边来判断角的类型

<正>在△ABC中,设∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c,(1)若∠C=90°,则a²+b2+b²=c2=c²;(2)若∠C<90°,则a2;(2)若∠C<90°,则a²+b2+b²>c2>c²;(3)若∠C>90°,则a2;(3)若∠C>90°,则a²+b2+b²2.结论 (1)是我们熟知的勾股定理,现在对(2)、(3)我们来给出证明.证明(2)分三种情况:(1)当∠B=90°时,结论显然成立;(2)当∠B>90°时,如图1,过点A作AD⊥BC交CB延长线于D,     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.(1)解方程■(2)如果a,b,c满足a²+2b²+2c²-2ab-2bc-6c+9=0,那么2021a-2022b+2023c=______.(湖北省麻城市中馆驿中心学校(中驿镇中)(438304)明国华)2．设有大中小3个等腰三角形,它们的底边长相等,腰长成等差,而且底边长就是这个差,分别以各边为一边作正方形,9个正方形的面积之和为2023,这样的3个等腰三角形是否存在?     

初中平面几何基础培优讲座之十一 平行四边形的判定与性质(上)

<正>众所周知,两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形有一系列的性质定理与判定定理,掌握这些定理,是研究平行四边形的基础.性质定理在平行四边形中(1)对角分别相等;(2)对边分别相等;(3)对角线互相平分;(4)对角线的平方和等于四条边的平方之和.其中(1)⁽³⁾是教材内容,可以利用三角形全等的知识证明.(4)可以利用勾股定理证     

对一类最值问题的深入思考

<正>马上轮到我做数学"课前5分钟"了,讲些什么内容好呢?我想起了初中时做过的一道题目:问题1已知02+1)2+1)^(1/2)+(x(1/2)+(x²-6x+18)2-6x+18)^(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x(1/2)的最小值.解析首先将式子整理为y=(x²+12+1²)2)^(1/2)+((3-x)(1/2)+((3-x)²+32+3²)2)^(1/2),因为0相似文献   

“韦达等式”的几何意义

<正>韦达曾在1593年提出2/π=(（1/2）^1/2)(（1/2）+（1/2）（1/2）^1/2)^1/2·(（1/2）+（1/2）(（1/2）+（1/2）（1/2）^1/2)^1/2)^1/2….我对此很感兴趣,曾在本刊2007年7月刊中发表了该等式的代数证明.经过进一步研究我发现该式还具有十分有趣的几何意义.而该式的儿何意义却又与求π最古老的方法.即:"割圆术"有异曲同工之妙.     

利用中线长公式证明三角形重心的一个性质

<正>三角形的重心有许多性质,比如重心是中线的一个三等分点,重心与三角形三顶点的连线把三角形的面积三等分等等.本文将在此基础上利用三角形的中线长公式证明重心的另一个重要性质.三角形的中线长公式:如图1,AD为△ABC的中线,则AD²=1/2AB2=1/2AB²+1/2AC2+1/2AC²-1/4     

对勾股定理推广的应用

<正>在刚刚学习三角形知识时,我们知道了如果给定三条已知长度的线段可以判断它们是否可以组成一个三角形;而当我们学习了勾股定理后,我们发现,如果一个三角形的三条边满足a²+b2+b²=c2=c²的数量关系,就可以判断它是一个直角三角形;后来自习了对勾股定理的推广,我们又可以通过三角形三边的数量关系,来判断一个三角形是锐角三角形或钝角三角形,那么     

漫谈正方形

正方形和其它数学问题的关系,历来都是数学爱好者感兴趣的问题。著名的“几何三大难题”,其中一个就是求作一正方形,使它的面积等于一己知圆的面积.这个化圆为方的古典难题,经过二千多年来很多学者的研究、争论,于1982年,林德曼证明π是超越数后,才肯定尺规作图化圆为方是不行的。关于正方形与中学数学中某些问题的关系,是非常有趣的问题。本文就正方形与无理数2~(1/2)、数列、勾股定理,黄金分割,三等分角线、极值等有关的几个例题作一些介绍。上述的几个方面与正方形有些联系是不足为奇的。正方形的代数表达式是a~2,因此,许多涉及到平方数的问题可以联系正方形。例如1+3+5+7+…+(2n-1)=1/2n〔1+2n一1〕=n~2.故可用正方形表其结果(如图2)。正方形又是计量单位,不但a~2能与之联系,就是代数式ab亦能与正方形联系。例如商高定理的古老证法之一就是如此。如图1。正方形还是矩     

二维Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统光滑解的全局存在性和L2衰减估计

本文研究二维不可压缩Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统.假设初值(u₀,φ₀)∈H^s(R²)×H^s(R²)并且divu₀=0,其中s∈N且s> 1,通过利用能量估计的方法证明该系统存在唯一的全局光滑解.此外,采用Fourier分离方法,研究该系统光滑解及其高阶空间导数的L²-衰减估计.