Identification of rain cells from radar and stochastic modelling of space-time rainfall

We discuss two problems related to the utilization of weather radar: the automated identification of rain cells and the extension of cluster models to include the random variability of space-time rainfall within and between cells. The need for such extension emerges from visual inspection and formal analysis of radar reflectivity images. The algorithm proposed for the identification of cells is based on statistical techniques for the estimation of probability density mixtures. The algorithm does not assign pixels to cells deterministically; rather, it calculates the probability with which each pixel belongs to the different cells. Through an iterative procedure, the cell parameters and pixel probabilities are updated until the final identification of cells is reached. The second part of the paper deals with a generalization of cluster rainfall models in space and time. The models studied here combine an arbitrary birth point process with arbitrary random fields generated by the cells. Second-moment properties of these processes are derived.

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Sommario Vengono descritti i primi risulati di un lavoro in corso su due problemi legati all'uso del radar meteorologico: l'identificazione automatica delle celle di pioggia e l'estensione dei modelli a cluster per includere la variabilità casuale delle precipitazioni nello spazio e nel tempo all'interno e fra le celle. La necessità di tale estensione sorge sia dall'esame visivo, sia da un'analisi formale delle immagini della riflettività radar. L'algoritmo proposto per l'identificazione delle celle è basato sulle tecniche statistiche per la stima delle miscele di distribuzioni di densità di probabilità. L'algoritmo non assegna in maniera deterministica i singoli pixels alle celle, bensì calcola la probabilità con cui ogni pixel appartiene alle diverse celle. Attraverso una procedura iterativa si calcolano di volta in volta i parametri delle celle e le probabilità dei pixels, fino a che si raggiunge un assetto finale e le celle vengono identificate. Nella seconda parte del lavoro si tratta della generalizzazione dei modelli a cluster nello spazio e nel tempo. I modelli qui studiati combinano un processo arbitrario di occorrenza delle celle con un campo casuale arbitrario generato dalle celle. In particolare, sono derivate le proprietà generali dei secondi momenti di tali processi.

     

A real time forecasting model for landslides triggered by rainfall

The FLaIR model has been developed for the simulation and the forecasting of landslide movements activated by rainfall. It is composed of two modules. The first, rainfall-landslide module, correlates precipitation and landslide occurrence. The second, stochastic rainfall module, provides synthetic generation of rainfalls, giving a probabilistic representation of future precipitations. A mobility function, schematised as convolution of the rainfall intensity and a filter function, is related to the probability of landslide occurrence. The forecasting consists of the estimation at time of the value that the mobility function may attain to, at time t. Such a value depends on both the observed rainfall intensity, measured before , and the estimated one, derived from the stochastic rainfall module in the interval ], t]. Then the mobility function is composed of a deterministic and a stochastic part. In the paper a parameter, variance index, is introduced in order to describe the roles of the two components. For two very general classes of filters the analytical form of the variance index is determined providing an easy evaluation of the weights of the two components. The behaviour of different types of landslides is finally emphasised by two case studies.

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Sommario Nel presente lavoro viene presentato un modello, denominato FLaIR, per la simulazione e la previsione dei movimenti franosi innescati dalle precipitazioni. Esso si compone di due moduli: il primo correla le piogge con gli eventi franosi; il secondo effettua, invece, una generazione sintetica di dati di precipitazione, fornendo una rappresentazione probabilistica delle piogge future. La probabilità del verificarsi dell'evento franoso è messa in relazione con una funzione di mobilizzazione, schematizzata come convoluzione tra le intensità di pioggia e una funzione filtro. La previsione consiste nella stima, al tempo , del valore che la funzione di mobilizzazione potrà attingere al tempo t. Tale valore dipenderà sia dalle intensità di pioggia osservate, misurate prima di , sia da quelle stimate, nell'intervallo ], t], derivanti dal modello stocastico di precipitazione. Il modello risulta, dunque, formato da due componenti: una di natura deterministica e l'altra di natura stocastica. Al fine di descrivere il ruolo di ciascuna delle due componenti viene introdotto un parametro, detto indice di varianza, per il quale viene determinata l'espressione analitica per due classi, molto generali, di funzioni filtro. Tali espressioni consentono una facile valutazione del peso di ciascuna componente. Viene, infine, analizzato il comportamento di frane di diversa tipologia tramite lo studio di due casi reali.

     

An analytical approach to the dynamics of rotating shafts

An analytical procedure, based on the dynamic stiffness method, is proposed for the study of rotor dynamics problems. On the grounds of the governing differential equations of a continuous beam, the dynamic stiffness matrix of the rotating Timoshenko beam is derived, including the effects of translational and rotational inertia, gyroscopic moments and shear deformation of the shaft. Concentrated disks and isotropic, elastic bearings are taken into account in the element formulation. The results obtained by the proposed method are compared with both classical closed form solutions and finite element analyses taken from the literature.

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Sommario Nel presente lavoro viene esposto un procedimento analitico, basato sul metodo della rigidezza dinamica, per lo studio del comportamento dinamico dei rotori. In particolare, è ricavata la matrice di rigidezza dinamica della trave di Timoshenko rotante, che consente di tenere conto degli effetti dell'inerzia alla traslazione e alla rotazione, del momento giroscopico distribuito e della deformazione a taglio della trave. Nell'ambito della formulazione proposta, è possibile considerare, mediante inserimento diretto nella matrice di rigidezza dinamica, gli effetti dovuti alla presenza di dischi e di supporti elastici isotropi. Il metodo proposto è applicato alla determinazione delle velocità critiche di sistemi rotanti, con riferimento sia a casi semplici, per i quali è nota la soluzione analitica, sia al caso piu' complesso di un rotore già studiato in letteratura; per quest'ultimo esempio, in particolare, è presentato un confronto con i risultati delle analisi agli elementi finiti svolte da altri autori.

     

Stability,buckling, and postbuckling of elastic structures

Summary This paper is the continuation of a research on the stability and postbuckling behaviour of elastic structures; in the first Part [n. 4, Vol. X, 1975 of this Journal], the potential energy of elastic tridimensional bodies has been defined in a suitable configuration space, and its properties of regularity have been studied. According to the program given in the previous Paper, we examine now the potential energy functional for some monodimensional and bidimensional structural models. Then the Part II of this research is developed so that the Liapunov stability of the equilibrium configuration of continuous elastic structures is analyzed by means of suitable energy criteria.

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Sommario Questo lavoro costituisce il proseguimento di uno studio sulle stabilità e comportamento postcritico delle strutture elastiche; nel precedente lavoro, pubblicato sul n. 4, vol. X, 1975 di questa rivista, è stato esaminato il problema della definizione dell'energia potenziale di un corpo elastico tridimensionale in un opportuno spazio funzionale delle configurazioni, e sono state esaminate le proprietà di regolarità di questo funzionale. Proseguendo il programma formulato nel lavoro precedente, viene ora innanzitutto completato lo studio del funzionale energia potenziale con riferimento a modelli strutturali mono e bidimensionali. Viene poi sviluppata la Parte II e cioè l'analisi della stabilità secondo Liapunov di una configurazione di equilibrio attraverso opportune formulazioni dei criteri dell'energia.

     

Plane slider bearings: The effect of inlet pressure

The present work deals with the problem of determing the influence of pressure at the bearing entry on load capacity and on the position of the resultant of the pressure forces in the case of a plane slider bearing; this work shows how a centrally pivoted pad may be employed where a shaft is also to be rotated in the reverse direction.

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Sommario Scopo del presente lavoro è quello di determinare l'influenza che la pressione in ingresso ha sulla capacità di carico e sul punto di applicazione della risultante delle forze di pressione nel caso di un accoppiamento piano lubrificato; viene inoltre messo in evidenza il fatto che un pattino orientabile con cerniera di articolazione posta in mezzeria possa funzionare correttamente.

     

Accurate solutions and stability criterion for periodic oscillations in hysteretic systems

Summary The study of the periodic response of hysteretic oscillators is reduced to that of nonlinear elastic oscillators by assuming an incremental formulation for the constitutive relationship. The harmonic balance method with many components allows for accurate periodic solution computation. The Floquet theory can be used to check stability. Developed equations are applied to the study of frequency response curves of a hysteretic oscillator that, although simple, shows both degrading and non degrading behaviour. The results reported clearly show the shortcomings of traditional methods; the influence of higher harmonics is far from negligible.

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Sommario Nello studio della risposta periodica degli oscillatori isteretici si incontrano difficoltà dovute alla natura non olonoma del legame costitutivo. Nel presente lavoro queste difficoltà vengono superate in parte adottando una formulazione incrementale che riconduce il caso isteretico a quello elastico non lineare seppure al prezzo di un allargamento dello spazio delle variabili di stato. Le soluzioni periodiche sono determinate seguendo il metodo del bilancio armonico con molte componenti; la stabilità viene analizzata con la teoria di Floquet. Le equazioni sviluppate sono utilizzate per determinare le curve di risposta in frequenza sotto una forzante sinusoidale, di un oscillatore che, benchè semplice, presenta una notevole varietà di comportamento. I risultati ottenuti mostrano chiaramente le lacune dei metodi tradizionali; l'influenza delle armoniche superiori in molti casi è ben lungi dall'essere trascurabile.

     

Elastic stability of rectangular shells in membrane equilibrium

Summary This study furnishes an algorithm for determining, in accordance with Dirichelt's (energetic) principle, the critical load of rectangular membranes of any shape. The algorithm is formulated with reference to an extrinsic system of orthogonal Cartesian coordinates, that is the system used in statics for Pücher's method. This involved obtaining the expressions of the deformation characteristics and of the curvature variations of the shell up to the second order in the displacement components. These quantities yielded the final expression of the deformation energy and the second order work of internal stresses. In view of the applications, possible displacement terns are proposed characterizing the unstability secondary buckled lines, which are further detailed for the rectangular plan paraboloid. Finally, some numerical applications are given for the square plan shell.

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Sommario Col presente studio viene fornito un appropriato algoritmo per la determinazione, secondo il principio energetico del Dirichlet, dei moltiplicatori critici per le membrane di forma qualsiasi su pianta rettangolare. La formulazione è fatta con riferimento ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali estrinseco e cioè lo stesso adottato per il metodo di Pücher nella statica. Allo scopo è stato necessario ricavare le espressioni delle caratteristiche della deformazione e delle variazioni di curvatura della volta sino al secondo ordine nelle componenti dello spostamento. Tali quantità hanno permesso di dare in forma esplicita l'espressione dell'energia di deformazione ed il lavoro del secondo ordine degli sforzi interni. In vista delle applicazioni sono proposte delle possibili terne di spostamenti caratterizzanti le deformate secondarie instabilizzanti, particolarizzandole infine per il caso del paraboloide su pianta rettangolare.Si riportano infine alcune applicazioni numeriche relative alla volta su pianta quadrata.

     

A numerical solution of the nonlinear wave resistance problem for simple shaped submerged bodies

Summary This paper presents a numerical method to compute the nonlinear wave resistance of a body, submerged in a free stream of infinite depth. The solution is given in the form of a potential of single layer and the nonlinear boundary conditions on the free surface are fulfilled by means of an iterative procedure. Results are shown for the 2-D case of an elliptical cylinder and for the 3-D case of prolate spheroids. All the presented results are discussed taking into account some experimental data and analytical solutions available in literature.

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Sommario In questo lavoro viene sviluppato un metodo per il calcolo della resistenza ondosa di corpi immersi bidimensionali e tridimensionali, tenendo conto della non linearità delle condizioni sulla superficie libera. La soluzione cercata è posta nella forma di potenziale di strato semplice e la non linearità presente nelle condizioni al contorno viene trattata con un procedimento iterativo. Vengono presentati dei risultati numerici relativi al caso bidimensionale di un cilindro ellittico ed al caso tridimensionale di sferoidi prolati di diversa eccentricità. I risultati vengono discussi in relazione a soluzioni analitiche e dati sperimentali ottenuti dalla letteratura.

     

Nonstationary nonplanar free motions of an orbiting string with multiple internal resonances

The paper discusses the nonlinear free dynamics of an orbiting string satellite system. The focus is on the transversal oscillations, which are governed by two partial integro-differential equations in two transversal displacement components with quadratic nonlinearities. The system is weakly nonlinear but in practice works in conditions of simultaneous internal resonance. The investigation focuses on nonstationary motions arising from perturbed steady-state nonplanar oscillations. A four-mode model is used to study the problem: two modes are necessary to describe the basic oscillation and at least two other modes are involved in the resonance phenomena when the motion is perturbed. The multiple time scales method is used to obtain the equations that govern the amplitude and phase modulations. For increasing levels of system energy, fundamental and bifurcated paths of fixed points of the seven first-order differential equations are determined and their stability is investigated. The trajectories of motion of periodically modulated amplitude solutions and their stability are also studied. A model with a higher number of modes is used to evaluate the accuracy of the stability analysis of two-mode nonplanar oscillations perturbed by a two-mode disturbance.

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Sommario Nel presente lavoro si studia la dinamica libera nonlineare di un sistema filo-satellite. L'attenzione è rivolta alle oscillazioni trasversali, governate da due equazioni integro-differenziali, con nonlinearità quadratiche, nelle due componenti di spostamento. Il sistema è debolmente nonlineare ma praticamente lavora in condizioni di risonanza interna. Lo studio è concentrato sui moti nonstazionari generati da perturbazioni delle oscillazioni stazionarie spaziali. Per studiare il problema è stato sviluppato un modello con quattro modi: due sono necessari per descrivere il moto base mentre almeno altri due sono interessati dai fenomeni di risonanza interna quando il moto viene perturbato. Per ottenere le equazioni nelle ampiezze e fasi è stato utilizzato il metodo delle scale multiple. Del sistema di sette equazioni differenziali del primo ordine ottenuto, sono stati studiati i percorsi fondamentali di equilibrio e i rami biforcati, prendendo come parametro il livello di energia totale. È stata inoltre esaminata la stabilità di questi rami. Sono state studiate le traiettorie dei moti periodicamente modulati e la loro stabilità. Infine, è stato utilizzato un modello con un numero più alto di modi per valutare l'accuratezza dell' analisi di stabilità delle oscillazioni bimodali spaziali, nella quale la perturbazione è stata descritta da due soli modi.

     

Rainstorm statistics conditional on soil moisture index: Temporal and spatial characteristics

Soil moisture is the primary hydrological state variable that controls and it is controlled by land surface processes. Assessment of feedback mechanisms between land surface and the atmosphere must involve soil moisture. The Midwestern region of the United States is used as a case example in the preliminary investigations on the hypothesis that the structure and development of storm events are influenced by soil moisture conditions. In particular we deal with the antecedent soil moisture condition influence on storm precipitation amounts and interstorm durations. The analysis based on observations indicates that when the soil moisture is low, the ensuing interstorm duration and drying period is anomalously long. We also show that storm precipitation amounts are larger when the antecedent soil moisture is anomalously high. This finding supports the hypotheses that the Summer 1993 floods over Midwestern United States were partially forced by moist antecedent conditions.

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Sommario L'umidità del suolo è la variabile idrological di stato primaria che controlla ed è a sua volta controllata dai processi sulla superficie del terreno. La quantificazione dei meccanismi di retroazione fra superficie del terreno ed atmosfera deve comprendere l'umidità del suolo. La regione centro-occidentale degli Stati Uniti è usata come esempio in uno studio preliminare sull'ipotesi che la struttura e lo sviluppo di eventi di precipitazione siano influenzati dalle condizioni di umidità del suolo. In particolare, viene considerata l'influenza delle condizioni antecedenti di umidità del suolo sulle quantità di precipitazione e gli intervallamenti dei vari eventi. Le analisi basate sulle osservazioni indicano, che quando l'umidità del suolo è bassa, il periodo secco di attesa della pioggia successiva è più lungo del normale. Viene anche mostrato che le quantità di precipitazione sono maggiori quando l'umidità del suolo nel periodo antecedente è più alta del normale. Questo risultato supporta l'ipotesi secondo la quale le alluvioni dell' estate del 1993 negli Stati Uniti centro-occidentali furono parzialmente causate dalle condizioni antecedenti di umidità del suolo.

     

Simulation of Correlated Non-Gaussian Pressure Fields

Abstract. Among a host of techniques developed for the analysis and prediction of nonlinear structural response, simulation methods are gaining popularity as computational efficiency increases. Implementation of time domain methods require simulated load time histories with case-specific statistical and spectral characteristics. When the assumption of Gaussian wind loading is inappropriate, techniques for simulating non-Gaussian loading must be sought. Over a larger expanse of building surface, simulation of correlated loads at several spatially separated locations is required. This work introduces a multi-variate non-Gaussian simulation method capable of producing realizations with a wide range of spectral and probabilistic characteristics. The correlation between multiple locations is accurately simulated simultaneously, while retaining the appropriate spectral and probabilistic content at each location.Sommario. Tra la varie tecniche per l'analisi e la previsione della risposta structurale non lineare, stanno acquistando grande popolarità i metodi di simulazione poiché incrementano l'efficienza computazionale. L'implementazione dei metodi nel domino del tempo richiede la simulazione di storie temporali di carico con specifiche caratteristiche statistiche e spettrali. Quando l'ipotesi di gaussianità dell'azione del vento non risulta adeguata puòessere necessario ricorrere a techniche di simulazione di carichi non gaussiani. Per superfici di edifici più estese è richiesta la simulazione di carichi correlati in diverse posizioni separate spazialmente. La presente memoria introduce un metodo di simulazione multivariata non-gaussiana capace di riprodurre realizzazioni con un ampio campo di caratteristiche spettrali e probabilistiche. La correlazione tra le molteplici posizioni viene simulata simultaneamente in modo accurato mantenendo in ciascuna posizione caratteristiche spettrali e probabilistiche appropriate.     

Whirl and critical speeds of flywheel-container systems aboard vehicles

Summary Container-flywheel systems for road vehicles can be mounted in a variety of ways on the vehicle's body, thus allowing large or small displacements. In the case of steady precession kinematic conditions are here obtained for both large and small displacements. Dynamic analysis in the small displacement case is then tested against a complete nonlinear simulation model, previously used for studies on flywheel bus dynamics. Whirling and critical speeds are obtained and discussed.

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Sommario I sistemi contenitore-volano possono essere montati sui veicoli terrestri in vari modi, tali da permettere spostamenti relativi al veicolo più o meno grandi.Nel presente lavoro viene studiata la cinematica del moto precessionale uniforme, nel caso sia di grandi sia di piccoli spostamenti.Nel caso di piccoli spostamenti si ottiene una soluzione analitica per la dinamica precessionale del sistema; viene approfondito il caso della precessione sincrona concorde con la rotazione del volano, detta «velocità critica».La soluziòne analitica è verificata per confronto con la soluzione numerica effettuata mediante un modello non lineare a sei gradi di libertà.

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Dynamic analysis of the ball-racket impact in the game of tennis

A new approach to the study of the impact phase in tennis is presented. It allows, in particular, an analysis of the forces transmitted to the arm joints from the racket and calculation of the speed variation of ball and racket subsequent to their impact.

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Sommario In questo lavoro viene proposto un nuovo approccio allo studio della fase d'urto racchetta-pallina nel gioco del tennis. Esso consente, in particolare, di analizzare le sollecitazioni trasmesse dalla racchetta alle articolazioni del braccio, e calcolare la variazione delle velocita' della pallina e della racchetta provocate dal loro impatto.

     

Coupled free,torsional and axial vibration of pre-twisted bars

Summary The present paper deals with the calculation of natural frequencies in a pre-twisted solid with constant cross-section.The axial and torsional displacements of cross-sections are taken into account, as well as the relative inertia forces and couples.The differential equations of the vibration are integrated and their general solution is given.In the paper, by such solution, among the possible cases only the three simplest ones are considered (free-free, fixed-fixed, fixed-free ends) and a numerical example is carried out which enables to evaluate the several orders of magnitude. Other more complex cases will be treated in other papers.

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Sommario Nel presente lavoro viene affrontato il problema della determinazione delle frequenze proprie di vibrazione di un solido svergolato a sezione uniforme.Il problema viene risolto tenendo conto degli spostamenti assiali e torsionali di ogni sezione e delle relative forze e coppie di inerzia.Le equazioni differenziali del moto vengono integrate e ne viene fornita la soluzione generale.Mediante tale soluzione vengono esaminati, fra tutti i diversi casi possibili, i tre casi pratici più semplici (estremità del solido entrambe libere, entrambe incastrate, una libera e l'altra incastrata) e viene inoltre svolto un esempio numerico che consente di ottenere i diversi ordini di grandezza.I casi di maggiore complessità verranno esaminati in successivi lavori.

     

Alternative energy techniques for equilibrium stability problems

Summary The paper is concerning the equilibrium stability of elastic solids under dead loads.Some relationships between the well known potential energy criterium and alternative energy techniques, among which the complementary energy technique, are presented.Various properties of these techniques are demonstrated; particular emphasis is given to problems characterized by multiple load parameters.

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Sommario La ricerca riguarda la stabilità dell'equilibrio dei solidi elastici sottoposti a carichi morti.Vengono esposte alcune relazioni fra il noto criterio della energia potenziale e tecniche energetiche alternative, fra le quali quella dell'energia potenziale complementare.Diverse proprietà di tali tecniche sono dimostrate; l'applicazione ai problemi caratterizzati da più parametri di carico è trattata con particolare dettaglio.

     

Absence of turbulence in a unidimensional model of fluid motion (Burgers model)

Summary We study a quasilinear partial differential equation which is a classical unidimensional model of fluid motion (Burgers equation). We consider the problem in a finite interval with stationary boundary conditions. The aim is to see whether the model shows transitions in the asymptotic behaviour as viscosity varies. We show that there is always a unique stationary solution, which is explicitely exhibited, and, by using the Hopf-Cole transformation, that it is globally attractive for any value of the viscosity, both in the homogeneous and inhomogeneous case.

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Sommario In questo lavoro si considera un classico modello unidimensionale della fluidodinamica, consistente in un'equazione alle derivate parziali parabolica quasilineare (equazione di Burgers). Si considera il problema in un intervallo con condizioni al contorno stazionarie. L'intento è quello di indagare se il modello presenta transizioni nel comportamento asintotico al variare della viscosità. Facendo uso della trasformazione di Hopf-Cole si trova che la soluzione stazionaria (che viene calcolata esplicitamente) è globalmente attrattiva per ogni valore della viscosità, sia nel caso omogeneo che in presenza di una forza.

     

Higher Order Alongwind Response Statistics of Linear SDOF Structures Including the Quadratic Term of the Fluctuating Wind Velocity

Abstract. A method evaluating the response correlations of a SDOF system subjected to the wind action, once that the first order statistics and the transition matrix of the system are known, is presented. The method does not require further integrations and allows to take into account the presence of the quadratic term of the velocity in the expression of the wind action. This fact makes the response a non-Gaussian process as it really is. The application of the method to some examples shows both the good accuracy of the results, if compared with those obtained by Monte Carlo simulations, and that neglecting the quadratic term may lead to relevant errors even for the correlations, as well as for the first order statistics.Sommario. In questo lavoro viene presentato un metodo che consente la valutazione delle funzioni di correlazione di qualunque ordine della risposta di un sistema strutturale soggetto all'azione del vento. Tale metodo richiede la conoscenza delle caratteristiche statistiche del primo ordine della risposta e della matrice di transizione. Il metodo non richiede ulteriori integrazioni rispetto a quelle eventualmente necessarie per determinare le statistiche del primo ordine, e consente di tenere conto della presenza del termine quadratico della parte fluttuante della velocità del vento nell'espressione dell'eccitazione sulla struttura. Ciòrende la risposta strutturale non Gaussiana, come realmente è L'applicazione del metodo ad alcuni esempi mostra, da un lato, la buona accuratezza dei risultati ottenuti, confrontandoli con quelli ottenuti tramite simulazioni alla Monte Carlo, e dall'altro che trascurare il termine quadratico nella forzante può condurre ad errori rilevanti nella valutazione delle correlazioni della risposta, coscome era stato mostrato in altri lavori per le statistiche del primo ordine.     

Dynamics and impact in a system with unilateral constraints the relevance of dry friction

Summary The aim of the present work is to investigate the impact and the dynamics of a rigid system, subject to unilateral constraints. The problem is particularly interesting to understand the mechanical behaviour of stone structures subject to external forces and to give informations about the dynamical evolution; such informations are basic for a stability study.

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Sommario Scopo del presente lavoro è quello di indagare sulla dinamica e sull'urto di un sistema rigido, soggetto a vincoli unilaterali. Tale problema è particolarmente interessante per la comprensione del comportamento meccanico delle strutture monumentali costituite da blocchi lapidei, in presenza di forze esterne variabili. L 'analisi fornisce informazioni sulla evoluzione dinamica del sistema; tali informazioni sono indispensabili per uno studio sulla stabilità.

     

Non-Linear Self-Excited Random Vibrations and Stability of an SDOF System with Parametric Noises

Abstract. The paper presents the solution to the properties of stochastic response of a system with random parametric noises, which is prone to the loss of aerodynamical stability. The system is described by an equation of van der Pol type with the negative linear, and with the positive cubic dampings. The coefficients of the linear damping and of the stiffness include the multiplicative random perturbations, the external excitation being given as a sum of a deterministic function and of an additive perturbation. All three input random processes are supposed to be Gaussian and centered, with the non-zero mutual stochastic parameters, as it corresponds to the properties of real systems. The solution has been based on the method of stochastic linearisation and of the subsequent solution of the Fokker–Planck–Kolmogorov equation in the sense of the first and second stochastic moments for the transient and stationary states. There have been demonstrated several effects, which are typical for systems with parametric noises, differentiating them from the systems with constant coefficients. The principal attention has been devoted to the properties of the spectral density of the response, the character of which changes abruptly with the degree of non-linearity of the damping and of the level of random perturbations.Sommario. La presente memoria studia le proprietà della risposta stocastica di un sistema con eccitazione casuale parametrica, che tende alla perdita della stabilità aerodinamica. Il sistema è descritto mediante un'equazione del tipo di van der Pole con il termine lineare dello smorzamento negativo e il termine cubico positivo. Poichá l'eccitazione esterna è la somma di una funzione deterministica e di una perturbazione additiva, i coefficienti dello smorzamento lineare e della rigidezza comprendono le perturbazioni casuali moltiplicative. I tre processi stocastici di eccitazione sono assunti gaussiani e a media nulla con parametri stocastici incrociati diversi da zero, come si verifica per le proprietà dei sistemi reali. La soluzione è basata sul metodo della linearizzazione stocastica e della successiva soluzione dell'equazione di Fokker-Planck-Kolmogorov studiando i primi e i secondi momenti statistici per gli stati transitori e stazionari. Vengono mostrati diversi effetti, tipici dei sistemi con eccitazione parametrica, differenziandoli dai sistemi a coefficienti costanti. Particolare attenzione è rivolta alle proprietà della densità spettrale della risposta le cui caratteristiche cambiano bruscamente con il grado di non linearità dello smorzamento e del livello di casualità delle perturbazioni.     

Particular aspects of the forced response of finite-dimensional modular structures

Summary The paper analyzes, from an engineering point of view, a problem strictly connected to the Large Space Structures dynamics, precisely the dynamics of modular structures of arbitrary length, arbitrarily constrained at either end and arbitrarily subject to external loads at the boundaries of each repetitive element. In particular the attention is focused on the relation between the propagation characteristics of an indefinite structure and the forced response of a finite-dimensional one; this relation is established in closed form for a periodic beam in transverse vibration. A detailed numerical investigation on the same structure confirms the analytical results and shows the peculiar dynamic properties of finite-dimensional modular structures.

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Sommario Viene presentata una analisi ingegneristica di un problema estremamente attuale delle grandi strutture spaziali, ovvero lo studio della dinamica di strutture modulari di lunghezza arbitraria, soggette ad arbitrary vincoli alle estremità e ad arbitrari carichi esterni applicati in corrispondenza delle giunzioni tra due moduli adiacenti. In particolare l'interesse del lavoro è rivolto alla determinazione di una relazione tra le caratteristiche di propagazione di una struttura indefinita e la risposta forzata della omologa struttura di lunghezza finita; tale relazione viene ricavata in forma chiusa per una trave periodica. Una serie di simulazioni numeriche sulla medesima struttura conferma i risultati analitici, mostrando le peculiarità del comportamento dinamico di strutture periodiche di lunghezza finita.

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Paper presented as Particular Aspects of the Dynamics of Finite-Dimensional Modular Structures at the ESA Workshop on Modal Representation of Flexible Structures by Continuum Methods, ESTEC, Noordwijk, The Netherlands, June 1989.