对《“硬币”滚动随谈》一文的商榷

题目如图1。两枚同样大小的硬币,其中一个固定,另一个沿其圆周滚动,滚动时,两枚硬币始终保持有一点接解,则滚动硬币再回到原来位置时,它自转的周数为( )．(A)1 (B)2 (C)3 (D)4这是山东省济南市2000年的一道中考题,提供的标准答案是(B)．文[1]给出的答案也是(B)．并且文[1]从该题出发,将硬币改成圆环,固定圆A与滚动圆B     

"轴对称"思想的应用——一节解析几何课的探究与联想

上海市高二年级第一学期数学(试验本)第128页,复习题(A)中第五题:图1有一张长为8,宽为4的矩形纸片ABCD,按图1所示方法进行折叠,使每次折叠后点B都在AD边上,此时将B记为B′(注:图中的EF为折痕,点F也可落在CD边上),过B′作B′T∥CD,交EF于点T,求点T的轨迹方程.图21学生探究的思维路径生1:建立如图2所示直角坐标系,则A(0,4),C(8,0),D(8,4).设T(x,y),则B′(x,4).先求出B′B的中点P(2x,2).因为TP⊥B′B,所以kTP·kB′B=-1,所以y-2x-2x·4x--00=-1,所以T点的轨迹方程是:y=-x82 2.生2:如图2,设E(0,b),T(x,y),B′(x,4),因为|B′E…     

一道中考折叠问题的三种解法

<正>原题呈现(2017·潍坊)如图1,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD上,记为B′,折痕为CE;再将CD边斜向下对折,使点D落在B′C边上,记为D′,折痕为CG,B′D′=2,BE=1/3BC.则矩形纸片ABCD的面积为____.分析折叠问题是轴对称变换(或轴反     

硬币悖论问题

<正>1982年5月1日的美国高考试卷中出现了一道数学选择题目如下:如图1所示,圆A的半径是圆B半径的13,圆A沿着圆B滚动,请问圆A滚动回到起始点的话本身一共转了几圈?候选选项:(A)3/2(B)3(C)6(D)9/2(E)9出题者的意图是选择(B)(3圈),但是实际正确答案是4圈,备选项里没有正确答案.据说当时参加考试的30万考生中只有3人做对了,出题者也做错了.这道题目很容易让人掉进陷阱,第一次接触这种题目的学生往往会直接选择(B),得到真正答案后觉得不可思议.由于圆A和圆B像两个大小硬币,因此这个问题后来被人们称之为硬币悖论.     

例谈引入负距离统一命题

1　问题的提出1 995年安徽省中考有这样一道试题 :课本中曾要我们证明 :从平行四边形ABCD的顶点 A、B、C、D的形外的任意直线MN引垂线 AA′、BB′、CC′、DD′,垂足是 A′、B′、C′、D′,如图 1 ,求证 :AA′ CC′=BB′ DD′.现将直线 MN向上移动 ,使得点 A在直线一侧 ,B、C、D三点在直线的另一侧 ,如图2 ,这时从 A、B、C、D向直线 MN作垂线 ,垂足为 A′、B′、C′、D′,那么垂线段 AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系 ?如将直线 MN再向上移动 ,使两侧各有两个顶点 ,如图 3,从 A、B、C、D向直线 MN作的垂线…     

高考压轴题例谈

分析：对于（2）问的解决，参考答案提供了放缩法求解，但根据不等式左边为A=x1，·x3·x5…x2n-1这一形式，因此可构造其对偶式B=x2·x4…x2n，通过A与B的积以及A与B的大小关系达到证明的目的．     

一道课本例题的引伸与探究

1问题提出国标苏科版教材九年级上册24页例6[1]:图1已知:如图1,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′.求证:四边形A′B′C′D′是正方形.2方法探究课本给出的证法经历了三次全等证明:①△ABF≌△BCG,②△AB′B≌△BC′C,③△AA′E≌△BB′F.接下来,要思考的是能否减少证明全等的次数,使得证明更简单、自然?不妨把上述的三次证明全等,定义为三个模块.不难发现,模块①是证明过程必不可少的,通过模块①证∠A′B′C′=90°,同理可证四边形A′B′C′D′其它的各内角也都为90°,从而可证四边形A′B′C′D′是矩形.在此基础上,模块②、③中只需证明其中的一个即可.方法1证明模块②,可得AB′=BC′,BB′=CC′,同理有CC′=DD′=AA′,则AB′-AA′=BC′-BB′,即A′B′=B′C′,从四边形A′B′C′D′的一组邻边相等.因此,四边形A′B′C′D′是正方形.方法2证明模块③,可得AA′=BB′,B′F=A′E,同理有A′E=D′H=C′G,则AF-B′F-AA′=BG-C′G-BB′,即A′B′=B′C′,从...     

相似三角形识别方法的选择和应用

相似三角形的识别方法有好几种 ,如何应用 ,那要看题设或图中欲证的两三角形已具备了什么条件 ,尚缺什么条件 ,是否能补全 证题过程 ,一般思路如下 :①考虑是否有两角对应相等 ②当只寻得一角对应相等时 ,则考虑夹这角的两边是否对应成比例 ③若无一角对应相等时 ,则考虑三边是否对应成比例 例 1　在一次数学活动课中 ,小明画了个∠A′BC′,在BC′边上取点C ,作BC的垂直平分线交A′B于点E ,交BC于点D 再作出DC的垂直平分线交A′B于点A(如图 1 ) ,他给的工具是无刻度的直尺与笔 ,要求在△ABC内画出一个三角形与△ABC相似 ,并且…     

“饮马问题”的拓展

问题如图1,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩A牵出马,到笔直的河岸l去饮马,然后回到帐逢B,走什么样的路线最短?解作A点关于直线l的对称点A′,连结A′B,交l于点P,根据对称性,则有PA= PA′,故有PA PB=PA′ PB．由“两点之     

用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系再探

文[1]介绍了用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系,受文[1]启发,笔者发现用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系的另一种方法,现介绍如下:定理1设椭圆短半轴长为b,长轴为AA′,直线l与过A,A′且垂直于AA′的直线分别相交于两点M,M′,则1)AM·A′M′=b2直线l与椭圆相切;〗2)AM·A′M′b2直线l与椭圆相离.证明设椭圆方程ax22 yb22=1(a>b>0).A(-a,0),A′(a,0),直线l:Ax By C=0.因直线l与过A,A′且垂直于AA′的直线分别相交于两点M,M′,故B≠0,M(-a,aAB-C),M′(a,-aA-CB),AM=(0,aAB-C),A′M…     

三角形内任意点的又一个新的不等式

第37届IMO有一道预选题,设O是△ABC的外心,连OA延长交△BOC的外接圆于A′,类似连OB,OC延长分别交△AOC与△AOB的外接圆于B′,C′,求证:OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·OC·(1)交[1]以△ABC内的内心、垂心、重心来代替不等式(1)中的外心O,证得不等式(1)仍归成立,本人也曾证得对三角形的费马点,勃罗卡点不等式(1)亦成立,此外本人曾企图对三角形另外的一些特殊来证明不等式(1),却屡屡不能得手,功夫不负有心人,近日本人却意外地证得不等式(1)对三角形内任意一点都成立,以下设O是△ABC内任意一点,其余条件不变来证明(1)式成立·…     

角格点一些猜想的统一证明

文 [1 ]给出了文 [2 ]中一些猜想的证明 .在此 ,笔者运用角元形式的塞瓦定理再给出这些猜想统一简捷的证明 .角元形式的塞瓦定理　设 A′,B′,C′分别是△ ABC的三边 BC,CA,AB上的点 ,则三直线 AA′,BB′,CC′共点的充要条件是sin∠ BAA′sin∠ A′AC.sin∠ CBB′sin∠ B′BA.sin∠ ACC′sin∠ C′CB=1 .事实上 ,如图 1 ,由BA′A′C=S△ ABA′S△ AA′C =AB . sin∠ BAA′AC . sin∠ A′AC,CB′B′A=BC . sin∠ CBB′AB . sin∠ B′BA,AC′C′B=AC . sin∠ ACC′BC . sin∠ C′CB.图 1三式相乘 ,再运用…     

一道习题的另一解法

贵刊１９９５年第４期刊出了李宏魁先生用递推方法解决Ｇ·波利亚、Ｇ·舍贵的名著《数学分析中的问题和定理》的第一题的文章．笔者看了之后,有了一个思路,写出来,供同行们参考．原题：一美元能有多少种不同的兑换方法？就是说,你用一分、五分、十分,四分之一元、半元（价值分别为１,５,１０,２５与５０分）的五种不同硬币付出１００分,能有多少种不同的付法？分析：因付出的币值是１００分,所以１分的硬币不会超过１００个,同理,５分的硬币不超过２０个,１０分的硬币不超过１０个,２５分的硬币不超过４个,５０分的硬币不超…     

海南省2007年数学中考试题

(含超量题满分110分,考试时间100分钟)一、选择题(本大题满分20分,每小题2分)在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的.1·-2的相反数是()·A·21B·-21C·-2D·22·参加2007年海南省初中毕业升学考试的学生达到113000人,用科学记数法表示这个人数应记作()·A·113×103B·11·3×104C·1·13×105D·0·113×1063·下列运算,正确的是()·A·a3·a2=a5B·2a 3b=5abC·a6÷a2=a3D·a3 a2=a54·如图1,两条直线a、b被第三条直线c所截,如果a∥b,∠1=70°,那么∠2的度数为()·A·140°B·110°C·70°D·20°5·由几个大小相同的小正…     

椭圆问题的推广

<正>笔者在讲解完一道椭圆习题后,有学生提出:"能否将其推广到一般情形,是否具有某种规律?"课后,笔者做了尝试,现整理成文.1.题目人教A版选修2-1第50页B组第4题(选修1-1P43页B组第3题):如图1,矩形ABCD中,|AB|=8,|BC|=6.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,S,T是线段OF的四等分点,R′,S′,T′是线段CF的四等分点.请证明直线ER与     

一道圆的动态题的解析

<正>传统的圆的动态题是"圆的大小固定、而位置发生变化."现在我编拟一道圆的大小和位置都发生变化的动态题,供大家赏析.题目如图1,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,∠BAD=60°,BC=4cm,对角线AC平分∠BAD.P是BA边上一个动点,它从B点出发,向A点移动,移动速度为每秒1cm;Q是AC边上一个动点,它从A点出发,向C点移动,移动速度为每秒     

梅涅劳斯定理的应用

<正>梅涅劳斯定理作为奥数的入门定理,在解题中可以起到简化解题步骤、优化解题过程的作用,特别是在平面向量和空间向量的求比值问题中应用广泛.梅涅劳斯定理~([1])设A′,B′,C′分别是△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的三点,若A′,B′,C′三点共线,则     

平行线上的等边三角形作图及其他

<正>1如何作已知直线关于某点的旋转直线在利用旋转变换求解问题时,往往都需要将某条已经直线绕某定点旋转一定的角度．如何将过A,B两点的定直线绕定O点逆时针旋转θ呢?作旋转直线有下面的两种方法．方法一如图1,分别将A,B两点同时绕O逆时针旋转θ(假定0°<θ<180°)得对应点A′,B′,这样直线A′B′就是直线AB绕O点逆时针旋转θ后的对应直线．     

拓广的Wietzenboeck不等式

在三角形ABC中,三边为a,b,c,面积为S,则有 a~2+b~2+c~2≥4 3~(1/2)S.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.这就是Weitzenboeck不等式. 对于两个三角形ABC和A′B′C′,其边分别为a,b,c,和a′,b′,c′,面积分别为S和S′,则有     

由硬币自转几周引发的思考

一、实验明辨是非题目有两个大小相同的硬币,其中一个硬币固定不动,另一个硬币在其外侧相切滚动一周,且不发生滑动,则这个滚动的硬币自转几周? (江西省2003年中考样卷试题) 很多同学首次解答这道题时,都认为这个