“因式分解”教案一则

课题:可化为x~2 (a b)x ab型的二次三项式的因式分解教学目的:使学生掌握x~2 (a b)x ab型的二次三项式的因式分解的方法,掌握根据x~2 bx q中P、q的符号确定a、b的符号的规律,能较熟练地判断所给多项式能否使用所学方法分解,并通过一定数量的练习,形成技巧,培养学生分析能力和抽象概括的能力。教学方法:启发引导、讲练结合。教学过程: 一、课题引入: 回顾多项式乘法可知: (x a)(x b)=x~2 (a b)x ab(1) 此等式右边是一个关于x的二次三项式,其中二次项系数为1。一般地,当x的二     

2011年北京市中学生数学竞赛高一年级决赛试题及参考解答

试题 一、选择题（满分40分,每小题8分） 1．二次三项式x^2＋ax＋b的根是实数,其中a、b是自然数,且ab=2^2011,则这样的二次三项式共有____个。     

判别式的应用

一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac,不仅可以判定方程实根(实解)情况,还可以用它判别二次三项式ax2 bx c因式分解的方法与范围、求抛物线y     

对一元二次不等式教材处理的意見

过去每次讲到一元二次不等式的时候,就会遇到这样两个难点:第一,一元二次不等式的解法需从实系数二次三项式的討論中导出,而对二次三项式进行討論时,首先需要把二次三項式进行恆等变形,这种恆等变形涉及到很多问题,例如涉及到配方法则、二次方程根的求法以及二次三項式的因式分解等內容。在恆等变形过程中,学生总是感到繁琐和对变形的目的不理解,变形后进行討論学生也感到抽象。第二,根据二次三项式討論的結果,再去推导出一元二次不等式的解法,有的学生不易拐过这个弯来,把两者互相混淆。这次在高中二年級(提前一年毕业班)一元二次不     

初三代数第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .关于x的方程 6mx2 +3nx +2 =0和 2 4mx2 +1 0nx+7=0有公共根是 12 ,则m =,n =.2 .关于x的二次三项式 (m -1 )x2 +4 (m -1 )x +2m +2是一个完全平方式 ,则m的值等于3 .若x1,x2 是方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根 ,则二次三项式ax2 +bx +c在实数范围内可分解为.4.已知方程 3x2 -4x =-1的两个根为x1,x2 ,不解方程 ,代数式 x2x21+x1x22=.5 .关于x的二次方程 (x+2 ) 2 =2 -n(n <5 )无实数根 ,则n的最大整数值是 .6.在平面直角坐标系内 ,已知点 ( 1 -2a ,a -2 )在第三象限 ,且a为整数 ,则a =.7.设P(x ,y)是平面直角坐标系中…     

记一次歪打正着的研究性学习

<正>在因式分解的公式法中,有两种公式.一是平方差公式,二是完全平方公式.但当我们遇到一些二次三项式,它们既不能提取公因式,又不能套用公式时,就可以尝试用十字相乘法来分解因式.所谓十字相乘法就是把二次三项式分解因式如下:x~2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),在这一过程中往往需要多次试验才能成     

具有二次代数极限环线的方程——(dy)/(dx)=(a_(10)x+a_(01)y+a_(30)x~3+a_(31)x~2y+a_(12)xy~2+a_(03)y~3)/(b_(10)x+a_(01)y+b_(30)x~3+b_(31)x~2y+b_(12)xy~2+b_(03)y~3)

自从秦元勋始出了二次代数方程,具有二次代数极限环线一文后,作者考虑了(E)_3这个三次方程,具有二次代数极限环线的情形。本文中首先给出了此方程在全平面上奇点的分布,进而解决了只有一个奇点时,二次代数极限环线存在的充分及必要条件,周期解的唯一性(在较特殊的情形下)及其稳定性。 (作者对秦元勋老师热情的鼓励和帮助,表示衷心感谢。)     

求代数式的值

<正>1.与代数式有关的求值问题例1若关于x的多项式(a-4)x3+x b+x-b是二次三项式,求a-b的值.解析既然这个多项式是二次三项式,其中就不应有三次项,并且最高次项是二次,因此a-4=0,b=2,解得a=4,b=2.所以a-b=4-2=2.例2若关于x的代数式-3x2+mx     

高中阶段二次函数的再学习

在初中教材中,对二次三项式,一元二次方程,一元二次函数以及一元二次不等式作了较为详细的研究。但在高中讲解与它们有关的一些问题时,遇到很多意想不到的麻烦,主要原因     

活的“ax~2+bx+c”—“双基”教学点滴

ax~2+bx+c是一个x的二次三项式(a、b、c为常数,且a≠0)。若ax~2+bx+c=0(a≠0)则表示一个x的二次方程。本人在数学复习的教学实践中,把二次三项式、二次方程的一些常用结论与因式分解,不等式的证明,解三角问题以及处理一些解几问题结合起来,引导学生学活ax~2+bx+c,启发学生注重“双基”训练,收到了较好的效果。一因式分解对于含几个字母的多项式的因式分解,往往需要通过恰当的分组。而如何分得恰当又无一般规律,因而学生较难把握。我选了以下三个例题     

韦达定理变形后的发现

设一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根为x1 、x2 ,则x1 +x2 =-ba ,　x1 x2 =ca.这就是著名的韦达定理 ,如果将其稍作如下变形 :ax1 +ax2 =-b ,　ax1 ·ax2 =ac,就会发现 ,以原方程各根的a倍为根的一元二次方程是x2 +bx +ac=0 .可看出此方程是把原方程的二次项系数a乘到常数项c上得到的 .我们不妨称x2 +bx +ac =0为ax2 +bx +c =0的衍变方程 .由于衍变方程的二次项系数是 1,一般情况下较原方程求解容易些 ,尤其当各项系数的绝对值较小或具有某些简算特征、两根为有理根时 ,利用二次三项式因式分解的规律公式x2+ (p + q)x + pq =(x +p…     

三项式xn-bx+a的二次不可约因式

本文研究了三项式f(x)=xn-bx a的二次不可约因式,利用Lucas数本原素因数的存在性的结果,对于n≥max(30,(|b| 1)/2)的情况,得到了所有含有首项系数等于1的二次整系数不可约因式的f(x).     

判别式的常见用法错误举例

“△”是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠ 0)的根的判别式:△=b2-4ac．它的作用是不解方程即知一元二次方程根的情况．在二次三项式ax2 bx c,一元二次不等式ax2 bx c(?) 0,二次函数f(x)=ax2 bx c中,也常见到它的身影．因此△在解题中有广泛的应用,但又常见同学们不能正确地应用它,有时该用不用,有时不该用却用了,有时使用不当．现举几例说明之．     

有限域上一类三项式的研究

利用有限域理论,按照扩张次数k的奇偶性,研究了p~k元域上一类三项式的可约性判定问题,并在一定的条件下给出了该类三项式的一个分解式,最后给出了两种利用此类三项式构造新的不可约多项式的方法.     

求解一元二次方程整数根问题的若干思路

有关一元二次方程的整数根问题是近些年来数学竞赛中常出现的一种题型,也是中考的一种新趋向,要解决这类问题,必须学习好一元二次方程的基础知识,掌握整数、完全平方数的性质,结合分类讨论等数学思想,选择合适有效的解题方法.现举例说明解决这类问题的一些常用方法与思路。 一、因式分解法 对于整理成一般形式的一元二次方程,如果方程左边的二次三项式能因式分解(如十字     

一元二次方程根的判别式的应用

<正>一元二次方程根的判别式是初中数学学习的重点,是重要的基础知识,也是解数学题的重要工具,它能用于判定方程根的情况,证明二次三项式为完全平方式,利用其构造一元二次方程,进行代数恒等式或不等式的证明;与几何知识相联系时,还可以解决判断三角形的形状;解决二次函数相关问题等.一元二次方程根的判别式是中考必考内容.本文通过近年各地中考题探讨其应用,供读者学习参考.     

一类两种群随机生态系统的稳定性

利用构造广义二次三项式作为随机李雅普诺夫函数的方法讨论了两种群随机Volterra生态系统的全局渐近稳定性，并对一类特殊情形给出了全局渐近稳定性的充分判据，推广了常微系统已有结果．     

“Δ”的作用

一看到符号“△”,我们就会想到一元二次方程根的判别式.判别式都有哪些作用呢?并不是每个同学都能很好地回答这个问题.事实上,判别式除了判断一元二次方程根的情况外,还有很多作用.例如,求最大(小)值;证明等式(或不等式);求特殊方程(组)的解等.下面举出几例予以说明.例1关于x的二次三项式x2-ax+2a-3是完全平方式,求a的值.解设x1、x2是方程x2-ax+2a-3=0     

初三代数第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题3分,共36分)1.方程7x2-(x+3)2=(x+1)2的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.2.如果x2=0.81,那么x1=,x2=.3.分解因式x2+3x-4=.4.三个连续偶数的平方和是200;那么这三个偶数是.5.方程mx2+2x-m=0的根的判别式等于8,则m=.6.已知方程3x2+7x-6=0的根是x1=23,x2=-3,则二次三项式3y2+7y-6可分解为.7.方程x2+px+q=0的两根是-1和3,则p=,q=.8.关于x的方程(a-2)xa2-2-x+3=0是一元二次方程,则a=.9.制造某种产品,原来每件的成本是100元,由于连续两次降低成本,现在的成本是49元.如果每次降低成本的百分数相同,则每次降低成本的百分数…     

配方法解题举例

<正>把一个二次三项式通过恒等变形化为完全平方式的过程,叫作配方,用配方解题的方法叫作配方法,它是中学数学中重要方法,应用十分广泛,必须认真掌握,并注意以下三点.一、配方有三种情况(1)由一、三项配第二项;(2)由一、二项配第三项;(3)由第二项配第一、三项.