初中平面几何教学中添輔助綫的問題

在初中平面几何教学中,学生最感困难的是添輔助綫的問題。他們遇到一个需要添輔助綫的題目,就不知从何着手。有的学生因为輔助綫添不出来,完成不了作业,就感到几何难学,因而丧失了学习的信心。因此,我在教学初中平面几何时,特別注意培养学生添輔助綫的能力。下面談談我的一些体会。 1.在讲添輔助綫时,应該启发学生根据图形和題中的条件、結論来分析,找出需要的輔助綫来。例如,“在四边形ABCD中,AB∠C(图1),由于在图中AB和BC、AD和CD都不是一个三角形的两条边,为了利用三角形的边角关系,从已知条件AB相似文献   

数学问题解答

下面的問题,提供读者解答,但答案不必寄来。本期問題的答案将在下次发表。欢迎讀者提出适合中学数学水平的問題。來信請寄至北京德胜門外北京师范大学数学系轉数学通报問題解答栏。 1964年第1期問題 512.求方程 x+x/(x~2-1)~(1/2)=35/12的实数根。 513.cos x~(1/2),是不是周期函数? (以上二題系雷耀波提) 514.設a,b,c都是正数,且a~(1/n)+b~(1/n)=c~(1/n),n是自然数。証明a+b≥c/2~(n-1)。     

关于方程x~2+x-2y~2=0的解法

在1963年第7期的数学通报上刊登了吳方同志的“化三角为方形”一文,提出了关于不定方程n(n+1)/2=m~2的解法問題,本文介紹一个新的方法。求不定方程 x_(?)(x+1)/2=y~2的一切自然数解的問題相当于求不定方程 x~2+x-2y~2=0 (1)的一切自然数解(为叙述方便起見,下面举凡“自然数解”一律写为“解”)。首先,我們注意到x_1=1,y_1=1是方程(1)的解,下面我們証明不定方程(1)的所有自然数解皆可由     

几何教学經驗

在六年級和七年級里,学生还沒有充分通曉几何証明的方法,而且常常使他們特別感到困难的是这样的証明:在証明过程中需要添引这样的或那样的輔助綫。因此,在六至七年級,我通常是在提出每一个需要在証明时添引輔助線的定理之前,便專門給这个定理选择了一个預备習題。在高年級,对於这种方法,我运用得極其迅速——仅在定理特別困难时运用。     

关于几何作图的几点意見

我脫离中学教学多年,对于中学教学已不大熟悉了。不过我还愿意对几何作图的教学提出几点意見,并提出几个問题与大家商榷,并希指正。一、把证題和作图題密切結合起来几何問題虽属千差万別,但要按性质来区分,不外証明題和作图題两大类。給出图形,証明它适合某种条件,这是証明題;給出条件,求作一图使适合某种条件,这是作图題。作图之后,照例应有証明,証明題中也少不了作图。这两件事是互相联系,互相启发,原无先后之分的。有时在寻找或証明充分必要条件时,更是难舍难离,所以除非为了特殊目的(例如着重讲作图方法、讲制图术),不宜把証明题和作图題割裂开来,使互不相干。因此对每一章的証明題应該配合以适当的作图題。作图題与証明題如果配合得好,可使学过的定理益加巩固,理解更为深刻,而作图因有理論作根据,也可以減少差錯或弥补不足。二、把几何作图与制图課密切结合起来这一点也应該是努力实現的目标。大家知道,几     

談談农、林生产上“三角形法”的种植問題

我們知道,在农业播种和林业造林中,很多地方已經用“三角形法”代替“四角形法”进行点(穴)播种(如学校里种油菜王、新开果园等按正三角形的三个角頂种植)。这样种法不但提高密植程度,还可以为植物創造更适宜生长的营养面和空間位置。我在数学教学中向同学們介紹了这种方法并作初步的分析,引起了大家对这問題的注意和研究,并企图用正五角形、正六角形、…、任意凸的正n角形来种植。下面談談我对这問題的认识。定理有一公共頂点,以該頂点为角頂的所有頂角之和等于一周角的全等凸正n边形,有且只有正三边形、正四边形、正六边形。 証.设符合定理条件的正n边形用m个頂角可以围成一周角(m≥3),因为正n边形的一个內角等于     

韦达定理及其应用

在中学的代数課里,曾讲授过二次方程的根与系数的关系,那就是大家所熟悉的韦达定理。它的逆定理也是成立的。这两个定理运用得很广泛,有关二次方程討論的许多問題,都可以用到它們。本文主要想給予逆定理以两个証明方法,并将这两个定理的运用作一些系統的敍述。 (一) 一般概念 設二次方程 ax~2+bx+c=0 (1)的根是x_1和x_2,那么根据求根公式有: 从这两个等式可得这就証明了下面的定理(韦达定理): 定理1.如果二次方程ax~2+bx+c=0有根,則这两根之和等于一次項的系数b除以二次項的系数a所得之商的相反数;这两根之积等于常数項c除以二次项系数a所得之商。     

数学问題解答

下面的問題,提供讀者解答,但解答不必寄來。本期問題的答案将在下期发表。欢迎讀者提出适合中学数学水平的問題。来信請寄至北京德胜門外北京师范大学数学系轉数学通报問題解答栏。 1964年第7期的問題 542.解方程組 (x(1-y))~(1/2)+(y(1-x))~(1/2)=m, (x(1-x))~(1/2)+(y(1-y))~(1/2)=n,其中m,n是实数。 (許熾雄提) 543.証明对于1到100的任意整数k来說,1/k都不能表成循环节有四个数碼的循环小数。     

多面角的面角性質

在“三面角的面角性貭”一文里(見本通报1958年8月号),証明了三个面角构成一个三面角的充要条件是:三个面角和小于360°,且任一面角小于其他两个而角之和。最近有讀者提問:对于任意多面角是否也有类似的命題成立?在現行立体几何課本里已証明构成多面角的必要条件是“各面角和小于:360°,且任一面角小于其他各面角和”。这一条件是否也是充分的呢?回答是肯定的,即要証明定理符合下列两条件的n个(n≥3)面角可以构成一个凸n面角: 各面角和小于360°; (A) 任一面角小于其他各面角和。 (B) 让我們用数学归納法进行証明。 設此命題对于n=k(k≥3)时成立,即符合条件     

关于充分条件和必要条件

充分条件和必要条件是在构成許多数学命題时要用到的最重要的概念。不了解它們的邏輯关系,学生就不能透彻地理解定理的含义,不能深刻地認識定理的証明和解題过程。因此,为提高学生数学知識的貭量以及对他們加强邏輯推理和分析問題的訓练,就不得不要求学生对同一个命題中的前提和結論之間的关系以及命題与命題之間的关系有清楚的認識。本文就我們在这方面教学实践中得到的点滴体会来談一談,以供同志們参考并請指教。     

提高初二学生証題能力的体会

初学几何証明題的困难究竟在哪里?从学生的反映,作业中发現的問題以及平时观察了解,不外有下列几点: 1.缺乏叙述問題的能力。当学生初接触几何証明,就会感到这种証明的叙述过程不同子在算术或代数里的解題方法,不习慣于层层推理論証,叙述吋詞語不通,例如把“以A点为圓心,4cm为半径作弧交CE于B”。叙述成:“以A点为圆心,半径4cm为弧到B”。往往用冗长的文字叙述代替用数学符号来表达問題。对于常用的詞,如相同与相等、平分与平均、含有与具有等往往区别不清。 2.概念不清,表达錯誤。我們常見学生把△ABC三内角和等于180°写成△ABC=180°;把图1中的∠BDC和∠CEB写成∠D和∠E,或写成∠1和∠2(图中未标∠1,∠2);分不清三角形的高与垂綫;     

S型空間的广义函数論与展論

<正> §1. 广义函数构造的研究是广义函数論的一个課題.不少广义函数是有限級的(如S广义函数),就可以通过連續函数(或L_2可积函数)的某阶广义微商表出,从而很多問題的处理都变得簡单了.但是还有很多广义函数是无限阶的,它們的表示怎样?作为S′的推广,我們将研究空間的一个表示問題,証明它們也可以看成是一个     

实数的連續性

在高中代数課本第二册83。“关于极限的定理”这一节中,列举了关于极限的六个定理。除了第二个定理外,其余五个定理,在任何一本数学分析課本中,都可找到証明。但是,对于第二个定理,通常的数学分析課本上,有着不同的处理方式:有的采取作为不加証明的基本命題;有的从实数的連续性出发,当作一个定理来証明它。由于对实数連續性的叙述,有各种不同方式,因而,对这个定理的证明,也是各式各样的。这里,我們将从高中代数課本第一册的实数字义出发,介紹这个定理的証明。实数是什么?可以有各种不同方式来回答这个問題:中学代数是用无限小数来作为实数定义的。而在高等数学中,最常见的有两种方式:按照德得金(Dedckind)的实数理论,实数是有理数的分划;按照康脱(Cantor)的实数理論,实数是有理数的正則序列的类。可以証明,这几种定义是等价的。由于定义实数     

关于因式分解的克郎湼克定理

将带整系数或有理系数的多項式分解为带整系数或有理系数的不可約多項式的乘积,是中学里因式分解教学中的主要問題,也是一般中学师生感到困难的問題。困难主要是两个“心中无数”:第一,是否已經分到不能再分,心中无数;第二,分解方法是否合理,心中无数。其实对于这两“无数”,下面的克郎湼克定理可以完全解决的。克郎湼克定理。設f(x)是任意一个带有理系数的次数≥1的多項式,那末經过有限次有理运算之后,永远可以将f(x)分解为一些带有理系数的不可約多項式的乘积。单从定理的陈述来看,只能說这个定理肯定了整数系数和有理系数多項式因式分解的可能性,但这个定理的証明过程,也給出了找f(x)的不可約因式的具体途径。所以說这个定理能够解决上述的两个問題。可是这个定理在高等学校代数教科书中很少提到。原     

1956年北京、天津数学競賽試題及解答

(1) 証明:对任何正整数n n~3+(3/2)n~2+(1/2)n-1都是整数,並且用3除时余2, 証明1.n~3+(2/3)n~2-1=(n(n+1)/2)(2n+1)-1==(2n(2n+1)(2n+2)/8)-3+2。对任何整数n說來,(n(n+1))/2是整数,所以原式为整数。在相鄰的三个整数2n,2n+1,2n+2中至少有一个是3的倍数,因为3与8互質,8除得尽分子,分子提出3后还能被8除尽,所以(2n(2n+1)(2n+2)/8)-3是3的倍数,原式用3除时余2。 証明2.用f(n)代表原式,現在用数学归納法証明我們的問題。在n=1时,     

数学问題解答

下面的問題,提供读者解答,但解答不必寄来。本期問題的答案将在下期发表。欢迎讀者提出适合中学数学水平的問題。来信請寄至北京德胜门外北京师范大学数學系轉数学通报問题解答栏。第11期解答(解答由提出人給出) 503.从1至n和mn+1至(m+1)n这2n个自然数中任取n+1个数,則在所取数中必有一数是另一数的因子。 証.用w_(p,q)表示一切适合p相似文献   

运用輔助未知量法则的几个实例

在三角測量应用題,运用三角解几何題,以及解三角形的其他应用上,常常遇到較复杂的、其中已知量与未知量不易直接运用概念与定理建立联系的問題,初学者往往因此不得其解。回忆过去学习时,受到在解析几何中用参变数法則求轨迹方程的启发,逐步摸索探討,面形成了“輔助未知量法则’。以后在长期的教学实践中,又不断磨鍊,不断使其完善,以至使其武装学生,对于突破这一难点,颇具成效,因而把它提出来     

数学问題解答

下面的问题,提供读者解答,但答案不必寄来。本期问题的答案将在下期发表。欢迎读者提出适合中学数学水平的问题。来信请寄至北京德胜门外北京师范大学数学系转数学通报问题解答栏。 1965年第3期問題 581.令φ(n)表示不超过n且与n互质的自然数的个数。証明n≥2时φ(n)是偶数。 582.设p是奇素数,n>p。証明若方程 p~2+m~2=n~2有正整数解,则2n—1必为完全平方。 (以上二题陈克渭提) 583.正方形每边长为a,以各顶点为中心,     

二次方程解法概述

在代数課本中,二次方程一般被认为是簡单熟悉的問題,但是不少教师为了在这一問題上扩大学生的知識范围和培养学生的解題技巧,正在不断的研究和改进着自己的教学方法。本文企图指出在初等数学的教学中进行此一工作仍有着广闊的余地,从而为教师或学生进一步独立钻研打下基础。哈恰多里(巴庫)写道,数年来他坚持在八年級的一节課上进行了利用韦达定理口答带有有理根的完全二次方程的练习。为此目的,他証明了二次方程枳的一个簡单性貭。已知方程 ax~2+bx+c=0, 証明方程 y~2+bx+ac=0的根等于已知方程根的a倍。为了証明此性质,我們应用公式解每一方程     

“關于歸谬法的問题”的意見

在初等幾何的教学上,時常会感到学生們对歸謬法不能很好的理解和掌握,所以看了數学通報1953年12月号墨·墨·李曼“關於歸謬法的問題”觉得提出这一个教學方法問題的商榷是非常有意义的,但对这篇文章有下列幾點意見: 1.“任何三角形裹,等角对等边”的証明採用旋轉的方法是很有趣味的,但是对初学幾何的同学來說是会感到困难的,因为AB一旋轉已离開了原來的位置,突然BC又和它相合,学生一時会搞不清楚的,可以添繪一个反面的圖形來証明: