浅谈猜想论证法

对数学命题的结论或问题关键步骤的结论作合理的猜想 ,然后执果索因 ,作出严格论证 (可以是肯定的 ,也可以是否定的 ) ,这是数学解题的一种重要方法———猜想论证法 .1　归纳猜想归纳猜想是指通过对部分对象的研究 ,归纳出共性特征 ,最后提出猜想的方法 .此法在数学中用得很多 ,特别是在解有关数列问题时常常用到 .例 1　已知ｘ∈Ｎ ,3位于 ｘ + 3ｘ 和ｘ + 4ｘ + 1之间 ,求ｘ的所有可能值 .解　分别对ｘ =1 ,2 ,3,4计算 ｘ + 3ｘ 和ｘ + 4ｘ + 1 的值 :当ｘ =1时 ,ｘ + 3ｘ =4 ,ｘ + 4ｘ + 1 =52 ;当ｘ =2时 ,ｘ + 3ｘ =52 ,ｘ + 4ｘ + 1 …     

例谈恒成立问题的求解方法

探索性数学问题中有这样一类问题：含有参变量的数学关系式在某种限制条件下恒成立，要求参变量的取值范围．本文介绍解决这类问题的方法与若干技巧．1用特殊值探路，先猜后证复杂的数列问题，其条件与结论的关系往往不很明朗，直接探求难以见效，于是，我们将问题退到特殊情形中来，通过特殊的引路，探索、发现规律，制定解题方案．例1设a1＝1，a2＝4，当n≥3时，an－4an-1＋4an－2＝0，是否存在等差数列{bn}，使an＝b1对一切自然数n都成立？并证明你的结论．解∵an－2an-1＝2（an-1－1－2an-2），是首项为a2－2a1＝2、公比为2的等比数列，…     

用整体思想解数列题

整体思想在数学解题中有其重要应用．某些数列问题若从整体着眼、由整体入手，进行整体变形、整体代入、整体求值等着．可以化繁为简、事半功倍，下面以例说明．1整体求值将待求的式子看成一个整体，根据数列性质进行运算，可以迅速产生结论．例1设数列（a。）是以q（a一1）为0比的等比数列，推导前。顶和8式．例2数列h．｝为着差数列，日本a。OI＋。。02＋…＋a300的倡．由等差数列的性质知②一①一③一②，即12O—80—t—120，梧t—160．0201＋aZOZ＋…＋a33＝160．Zt体交量涉及通顶自动n顶租的题，往往导解历程有关，根据特点精特殊式…     

解数列问题不妨就用归纳猜想证明法

<正>归纳猜想证明是一种由特殊出发,经过观察探求、归纳、猜想出可能的结果再加以论证的解题方法.猜想可使我们跃过常规思维的步骤,直接感知那些未曾出现过的东西,找到解题方法.数列中的一些问题,比如求数列的通项、前n项和问题等,往往可以利用归纳猜想并加以证明的方法来解决,在近几年高考中多多少少都有所体现,下面就以2014年高考中与其相关的两道数学试题进行求解,以飨读者.     

数列综合问题

[复习说明 ]数列综合问题的背景新颖、能力要求较高、内在联系密切、思维方法灵活 ,因此倍受命题者青睐 .解答数列综合题 ,要求熟练掌握数列的基础知识 ,灵活运用基本的数学思想方法 ,善于转化 .本专题复习的重点是 :数列各部分知识的融汇贯通 ;难点是 :数列与函数、不等式的综合运用 .[内容提要 ]1 .求解数列综合题的思维模式 :观察—归纳—猜想—证明 .2 .求解数列综合题的基本方法 :定义法、待定系数法、消去法、综合法、分析法、比较法、放缩法和数学归纳法 .3.求解数列综合题的解题策略 :变换求同、模式识别、等价转化、分类讨论和正反…     

W·Janoux猜想的演变与统一证法

设，则这个不等式被称为著名的W·Janoux猜想它曾经引起了众多数学爱好者的关注，人们从各种不同的角度，采取了不同的思考方法，证明了这个猜想是正确的．本文首先给出这个猜想的一种简单证法，然后谈谈它的各种演变形式和统一证法．1W·Janoux猜想的简单证法2W·Janoux猜想的演变形式形式1设x，y，z＞0，k1，k2≥0，k＝k1＋k2则证明，则y十Z多＞uH马上上u工子F在形式IG出的不署式中，令k；＝k。＝1，k＝2，x＝xl＞0，y-12＞几2＝23＞0，就见到《数学通报》95迁3同乌数学问题944题：工0十幻XZ十匆匆十工＞0在形式ig出的不等式中，令k…     

“猜想先行”破解圆锥曲线问题

一代科学巨匠牛顿曾说过“没有大胆的猜想，就没有伟大的发现”。是的，数学上的重大发现离不开大胆的猜想。同样在数学解题中若能根据实际情况先给出大胆的猜想，则往往能直达题目结论，收到事半功倍的效果．但多数同学仅在求解递推数列的通项公式时会想到使用这一招式，事实上，“猜想先行”也是破解高中数学中有关非数列问题的良方，本文以几道圆锥曲线综合题为例，体验一下“猜想先行”的好处．     

例析构造数列解题

构造法是一种富有创造性的解题方法,它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想,也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法.在中学数学学习中加强构造法解题训练,这对培养多元化思维和创新精神,提高分析问题和解决问题的能力大有裨益.在解决某些非数列问题时,若能恰当、巧妙地构造数列,则可使求解过程化繁为简,曲径通幽,现举例说明,供参考.一、构造等差数列解题     

变换题目形式 培养学生能力

“问题是数学的心脏”．数学研究，数学学习都离不开解题．因此，在数学教学过程中，运用不同的知识与方法，变换题目的形式，让学生在解题过程中发展智力、提高解题能力，这样既可使学生学得生动活泼，又可减轻学生负担．本文谈谈自己在教学过程中的点滴体会与作法．１　把个别题目或引伸、或扩充，探究，应用，归纳出这一类问题的解法例１　在△ＡＢＣ中，求证：ｔｇＡ＋ｔｇＢ＋ｔｇＣ＝ｔｇＡ·ｔｇＢ·ｔｇＣ．证明　∵　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，∴　　　Ａ＋Ｂ＝π－Ｃ，∴　　　ｔｇ（Ａ＋Ｂ）＝－ｔｇＣ．即　　　ｔｇＡ＋ｔｇＢ１－ｔｇＡ…     

设置增量证明不等式

等与不等是对立与统一的一对矛盾，在某种意义下又常常是可以相互转化的．例如在证明不等式的过程中，我们可用设置增量的方法将不等关系转化为相等关系，以达到证明不等式的目的．例1已知a＞2，b＞2．求证：ab＞a＋b．（根据1993年湖北省初中数学竞赛题改编）证明∵a＞2，b＞2可设a＝2＋m，b＝2＋n，m＞0，n＞0．∵ab－（a＋b）＝（2＋m）（2＋n）－（2＋m＋2＋n）＝mn＋m＋n＞0ab＞a＋b．例2设a＞2，给定数列{Xn}，其中证明（用数学归纳法）当n＝1时，x1=a＞2成立．若n＝k时，有Xk＞2，不妨设Xk＝2＋m，m＞0．即，因此对一切自然数n都有…     

关于科拉兹猜想的一个结论

1序言每个人都听说过太空中的黑洞，同样的，在数学上也有许多的黑洞，比如西西弗斯串、自恋性数字、卡普雷卡尔常数等等，它们的特点是对某些或全体的自然数无限地重复某个程序，最终总会得到某一定数，并且总是得到这一定数，永远无法摆脱．科拉兹猜想就可归结为一个数学黑洞，此猜想始于本世纪30年代，至今仍是一个悬而未决的问题．本文下面给出一个与科拉兹猜想相近的结论．2有关定义和性质定义2·1设a，bEN，分别对它们无限地重复程序P，产生两个序列｛an｝、｛bn｝，其中a1＝a，b1＝b，n＝1，2，3，......．如果i，j，使得ai=bj，则…     

数列

等差数列、等比数列在内容上是完全平行的，宜对比学习以进一步认识它们之间的联系与区别．数列起着承前启后的作用，是培养自己数学能力的好题材，它可以促使我们经常地进行观察、分析、归纳和猜想．     

运用方程思想解三角中的一类求取值范围问题

本文旨在运用方程思想解决三角中的一类求取值范围的问题，从中可见数学思想在解题中的运用．1构造方程组，利用函数的有界性解题要点：通过构造关于shu、c。s。，等的方程组，并根据卜un4＜l，DcosyS＜1，使问题获解．例1已知sin。＋Zcosy—2，求ZSlll十COSy的取值范围．解设Zslnx上cosy—a，与sin：r＋Zcosy—2联立解得故Zsi。＋cosy的取值范围是［，：］．N2已知sl。cosy—a（一1＜a＜1），求COSSSiny的取值范围．解设cosxslny＝b，即由①，②解得于是，当a＞0时，a—l＜b车一a＋l；当a＜0时，一a—l＜b＜a＋l．综上，可知cosxsin…     

关于Smarandache问题中逆序排列的偶数数列的性质

主要研究了Sm arandache问题中逆序排列的偶数数列的算术性质,采用递推,归纳,猜想的办法,得出了Sm arandache问题中逆序排列的偶数数列的递推公式、通项的精确表达式以及几个相关的性质.引理和定理的证明主要用了递推和数学归纳法.解决了文[1]中的部分问题,对于Sm arandache问题中的数列有推动作用.     

a_(n+1)=p(n)a_n~2+f(n)a_n+r(p(n)≠0)型数列的求解方法

数列问题的背景新颖 ,能力要求高 ,内在联系密切 ,思维方法灵活 ,因此倍受命题者的青睐 .解答数列问题要求熟练掌握数列基础知识 ,灵活运用基本数学思想方法 ,善于转化 .an+1 =p( n) .a2n+ f ( n) .an+ r ( p( n)≠0 )型数列是数列和二次函数、不等式相结合的典范 ,难度较大 .求解此类问题的思维模式是 :观察—归纳—猜想—证明 .求解的主要方法是 :分析法 ,比较法 ,消去法 ,综合法 ,放缩法 ,数学归纳法 .例 1　数列 x1 ,x2 ,… ,由 x1 =12 ,xn+1 =x2n + xn( n =1,2 ,… )给出 ,Sn与 Pn 分别是数列 y1 ,y2 ,y3 ,… ,前 n项的和与积 ,这里 y…     

让猜想融入解题

有人说过：没有猜想就没有思维,没有思维就没有发展,没有发展就没有数学的未来．可见,数学猜想在数学发展过程中起着不可忽视的重要作用．我们解题,并不只是就题解题,还要对所解的题目有所想法,有所思考,有所引申,有所猜想,这样才能体会到解题中的乐趣,感受到证实自己猜想后的喜悦．才能真正起到锻炼思维与能力的效果．下面列举几例解题中的猜想,以抛砖引玉,让我们有意识的培养自觉猜想的能力．     

用不动点性质解非线性问题

我们常把映射x→y=f（x）中满足a=f（a）的a称为不动点，它是研究映射时一个很重要的性质，由于中学数学中函数、数列等都与映射有关，因而若存在不动点a，可借助a来研究许多数学问题，特别是非线性问题，下面笔者介绍一些用不动点来解非线性问题的方法，可供大家参考．     

适时选例,加强数形结合的训练

高中代数必修本（上）P62例5：求方程x＋1gx＝3的近似解．解在同一坐标系内画出函数y＝1gx及y=3-x的图象．求得交点的横坐标x≈2．6，这个x值近似地满足1gx=3-x，所以它就是原方程的近似解（图1）．这是高申课本给出的利用数形结合解题不多见的第一个实例，同时课本还配备了相应的习题，如P66习题五的第12、13题．这说明教材的编写者有意识地要求要加强这方面的训练．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且更是一种重要的数学思想方法，它在高中数学中占有重要的地位．为了培养和强化学生的数形结合思想，在平时的教学中，我不失的机地…     

用函数思想方法处理含参数的不等问题

在历年高考数学试题中，有不少含参数的考题这类问题既考查了学生“三基”掌握的程度，又考查了分类思想、转化思想等数学思想方法的运用能力因试题中的参数对解题干扰较大，容易引起学生思维混乱，导致解题不得法，甚至半途而废本人研究多年来高考含参数的方程与不等式问题，发现用函数思想方法可有效地解决，阐述成文，供同仁参考1将变量表示成参数的函数，求参数的取值范围转化为在约束条件下考察函数定义域例1已知a＞0，a一1，试求使方程IOgtl（。－ah）＝IOgtlZ（。’－a2）有解的k的取值范围（1959年全国高考题）解隐含在对数概念中…     

平均值不等式的证明及其应用

n n n设 a1，a2，…，an为正数，若∏i＝1 ai ＝1或∑i＝1 ai ＝1，借助数学归纳法可相应地证明∑ai ≥ n或i＝1 n nn∏ai ≤1．这两个不等式可用于证明平均值不等式，并由此得出三者相互等价．实例说明平均值不等式在求数列极限方面的应用． i＝1