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编者按：从本期开始，本刊每期辟专栏连载“数学奥林匹克讲与练”，刊登国内、外数学竟赛优秀试题．每期详细讲解4个例题，并附4个习题．习题于次期给出扼要的解答．所有例习题题型新颖、典型，富有启发性．我们希望这个专栏能为有志于数学奥林匹克的广大学生和教练员提供一份学习和培训的好资料，并成为其良师益友．例题讲解1．一组水平线和一组竖直线将平面分成｜x｜的正方形小方格，一只象棋“马”处于一个格点（即小正方形的顶点）且按下面的规则运动：每走一步，马可以由小方格组成的一个Pxq的矩形的一条对角线的一个端点跳到另一端点… 相似文献
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例题讲解2 1 7.以 Sn 表示前 n个质数之和 :S1=2 ,S2 =2 3=5 ,S3=2 3 5 =1 0 ,…求证 :对每个自然数 n,在 Sn 和 Sn 1之间必有一个完全平方数 .证明 因为任意两个奇质数之差不小于2 ,故我们只需证明下面更一般的命题 :“设数列 {an}满足 :a1=2 ,a2 =3,an 1- an ≥ 2(n =2 相似文献
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例题讲解８１．能否将长方形方格纸的每个格子着上黑色或白色,使黑色和白色的格子各占一半,而每行及每列中同色的格子多于３４？解不能．证明如下．若一行中黑色（白色）的格子占多数,则称之为黑（白）行,黑列（白列）的意义类似于此．设此表格的大小为ｍ×ｎ,其中有... 相似文献
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例题讲解１２１．将２ｎ－１个由０和１组成的、长度为ｎ的序列排成一个２ｎ－１行、ｎ列的数表．已知此表的任意３行中都存在一列,这３行处于此列的３个数同为１,并且这些序列两两互不相同．求证：这个数表中存在唯一的一列,这列中的每个数都等于１．证明设ｘ＝（ｘｉ... 相似文献
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例题讲解１６１．空间中有８个点,其中任何４点不共面,在这些点之间连结１７条线段．求证：（１）至少存在一个由这些线段所构成的三角形;（２）由这些线段构成的三角形实际上不少于４个．证明 （１）由一个已知点所引的已知线段的数目,我们称为这点的“度”．取度最大的一点,设其度为ｎ,则有ｎ条线段由这点引出．如果不存在由已知线段构成的三角形,则这ｎ条线段的另外ｎ个端点之间均无已知线段相连．此外尚余（７－ｎ）个点,每点的度不超过ｎ,故每点至多引出ｎ条已知线段,因而由它们引出的已知线段不超过ｎ（７－ｎ）条,于是已… 相似文献
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例题讲解49．来证：在以正n边形的顶点为顶点的三角形中，互不全等的三角形的数目等于与最接近的整数．证明在以正n边形的顶点为顶点的三角形中，设有N1种不同的正三角形，N2种不同的非正等腰三角形，N3种不等边三角形，则N1=1或0（视n是否3的倍数而定）（1）（视n的奇偶性而定）（2）易知每个正三角形与1个含固定顶点A的正三角形全等；每个非正等腰三角形与3个含固定顶点A的这种三角形全等；每个不等边三角形与6个含顶点A的不等边三角形全等．但含顶点A的三角形的数目为50．20队参加比赛，问最少要安排多少场比赛，才能使每3队中至少有… 相似文献
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例题讲解１６９．ｎ个不同的实数组成一个递增序列写在第１行．将此序列的各项重排后写在第１行的下面,使各项依次对齐,作为第２行．再将这两行的各项分别相加,得到的ｎ个和数写下作为第３行．结果发现第３行的数也排成了递增的序列．求证：第１行与第２行的序列完全一致．证明 设第１行为ａ１＜ａ２＜…＜ａｍ＜ａｍ＋１＜…＜ａｎ,第２行为ｂ１,ｂ２,…,ｂｎ,它是ａ１,…,ａｎ的重排,则第３行为ａ１＋ｂ１＜ａ２＋ｂ２＜…＜ａｎ＋ｂｎ．若ａ１≠ｂ１,则有ａ１＝ｂｍ（２≤ｍ≤ｎ）．于是对每个ｉ：１≤ｉ≤ｍ－１,ａ１＋ｂ… 相似文献
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例题讲解9．设n、k为自然数，k＜n．求作集合A_1，A_2，…，A_n，使其中任意k个集合之交非空，而任意（k＋1）个集会之交为空集，并使并集A中含元素最少．解1）设则对任意的，而对任意的，这时且A中恰含C_n个元素．2）设有n个集合B_1，B_2，…，B_n，其中任k个集合之交非空而任（k＋1）个集合之交为空集．对某个成，B_j，从其余的（n－1）个集合中任取（k－1）个与B_j之交非空，故此交中至少含有一个元素；因为从（n－1）个集合中取（k－1）个集合的方式有C_n种，故此可得B_j的个元素；又因为B_1，…，B_n中任意（k＋1）个集合之交必… 相似文献
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例题讲解33考察由数字0和1组成的有序组，我们称之为"元"；元中所含数字（0和1）的个数称为元的长度．由若干元组成的集合A称为基本的：若任意一个由0和1组成的无穷序列中总存在一段（即存在若干相邻的项），此段恰是A中的一元．求证可选出不多于n个长度为8的元，它们组成的集合是基本的证明我们先取定51个长度为8的元，然后证明由它们组成的集合是基本的取a1＝11111111，a2＝00000000，a3＝10101010；又取b1＝100βi，其中βi历尽长度为5的元，共有25＝32个，故1≤i≤32；再取cj＝1101rj，其中rj历尽长度为4的元，共有24＝16个，故1≤j≤1… 相似文献
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例题讲解１３７．在一条公共汽车的线路上有１４个车站（其中包括起点站和终点站）,一辆汽车限载２５名乘客．求证：公共汽车在从起点到终点的运行时间内：（ｉ）一定存在８个车站Ａ１、Ｂ１;Ａ２、Ｂ２;Ａ３、Ｂ３;Ａ４、Ｂ４,使对所有的ｋ＝１,２,３,４,没有任何一个乘客是从Ａｋ乘车到Ｂｋ．（ｉｉ）有可能不存在１０个车站Ａ１、Ｂ１;…;Ａ５、Ｂ５具有类似的性质．（乘客从Ａ乘车到Ｂ,系指他在Ａ站上车而在Ｂ站下车）证明 先证明以下引理：“在一个由４９个１×１的小方格组成的７×７的正方形中任意标记出２４个小方格,… 相似文献
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例题讲解１０５．设Ｎ为自然数,将Ｎ的各位数字按相反的次序写出,所得的数称为Ｎ的反序数,记为Ｎ←（例如,１９４５←＝５４９１,４５００←＝５４,等等）．设自然数ｋ具有性质：当Ｎ是ｋ的倍数时,Ｎ←也是ｋ的倍数．求证：ｋ必是９９的因数．证明首先我们注意到,... 相似文献
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例题讲解１４５．给定实数ａ１,…,ａｍ;ｂ１,…,ｂｎ及正数ｐ１,…,ｐｍ;ｑ１,…,ｑｎ,组成一个ｍ×ｎ的数表,其位于第ｉ行、第ｊ列的一个数为ａｉ＋ｂｊｐｉ＋ｑｊ（ｉ＝１,２,…,ｍ;ｊ＝１,２,…,ｎ）．求证：在此数表中存在一个数,它不小于与其同行的任意一个数,又不大于与其同列的任意一个数．证法１ 我们要在ｍ×ｎ的数表中找出一数ｘ＝ａｋ＋ｂｌｐｋ＋ｑｌ,满足条件ａｋ＋ｂｊｐｋ＋ｑｊ≤ｘ （１≤ｊ≤ｎ）ａｉ＋ｂｌｐｉ＋ｂｌ≥ｘ （１≤ｉ≤ｍ）（１）将两式变形为ｐｋｘ－ａｋ≥－ｑｊｘ＋… 相似文献
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例题讲解１５３．在黑板上写下２０个数１,２,…,１９,２０,甲、乙两人轮流在这些数的前面添上“＋”、“－”号（每人每次在一个尚未添上符号的数的前面添上一个符号,称为一步）．甲先添并力图使在２０个数都添上符号之后其代数和的绝对值最小,而乙则希望此绝对值尽可能大,问乙能保证此绝对值达到的最大值是多少？解 乙能保证此绝对值达到的最大值为３０．（Ⅰ）乙有一种策略,可使和的绝对值不小于３０．他将２０个数分成１０组：（１,２）,（３,４）,（５,６）,…,（１９,２０）,甲先着一步,每次当甲在前９组数中某一… 相似文献
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例题讲解９７．甲、乙两人进行乒乓球比赛．在一局比赛中,得分不少于４分且领先２分时获胜;在整个比赛中,胜局不少于６局且领先２局时即成为比赛的优胜者．（１）求证：若甲是优胜者,则甲在整个比赛中所得的总分,不少于甲、乙两人所得的总分之和的４０％．（２）若甲... 相似文献
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例题讲解１２９．一个国家的国王打算建ｎ个城市且修（ｎ－１）条道路,使每条道路连结两个城市而不经过其它城市,每两个城市都可以互相到达,其间的最短距离恰是１,２,…,Ｃ２ｎ＝１２ｎ（ｎ－１）这些数,问在下列情况下,国王的打算能否实现：（ｉ）ｎ＝６;（ｉ）... 相似文献
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例题讲解１１３．给定正数的集合｛ａ１,ａ２,…,ａｎ｝,算出其每个非空子集中所含有的各数之和．求证所得的各和数可分为ｎ组,使每组中的最大数与最小数之比不超过２．证明不妨设ｎ个数已排成上升的次序：０＜ａ１≤ａ２≤…≤ａｎ．令ｂｋ＝ａ１＋ａ２＋…＋ａｋ,... 相似文献
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例题讲解17．证明：从任意200个共数中，总可以取出100个数，使其和为100的倍数．证明用Pk表示命题：“从（2k—1）个整数中总可以取出足个数，使其和为足的倍数．”证明分以下四步：（I）P。成立：任意三数中必有两数同奇仍性，其和是2的倍数；（1）PS成立：设给定9个整数，其被5除的最小非负剩余为0＜rl＜rZ＜…乓r。＜4．1）若（i：f一1，…，9）中有5个相同，则其对应的5个数之和是5的倍数；2）若（i：f一1，…，9）中无三个相同，则其中必含有0、1、2、3、4，它们所对应的五数之和是5的倍数；3）若（n：i—1，…，9）中有三个或四个… 相似文献
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例题讲解73．已知rtABC的三边a、b、c成等差数列，又rtAIBICI的三边也成等差数列且／A一／AI，求证：rtABCOOAAIBICI．证明记。一／A，。1一／AI，／一LC，yi。＜CI，HAAIBICI的三边为11、hi、CI．由＿。。，；＿。a＋cal＋c；已知条件知。—。1；L十上一一一一一一一一一一一（1）利用正弦定理容易求得由（3）易得化简（4）得但。－1，故由（5）有’gY一但o、r；均为三角形的内角，故o这说明y74．求方程组的全体实数解．解首先，易知工I，工2，…，一同号，并且若｛x，，i＝1，2，…，n｝是方程的解，则｛一工，，i—1，… 相似文献
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例题讲解2 2 5.在圆周上依逆时针方向排列着 n个数 a1,a2 ,… ,an,一次操作是指 :将相邻的三个数 x、y、z分别用 x y,- y,y z代替 .如果开始时圆周上排列的数依次是 1,2 ,… ,9,10 ,- 1,- 2 ,… ,- 9,- 10 ,问能否通过有限次操作 ,使圆周上的数改变成依次是10 ,9,… ,2 ,1,- 相似文献
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例题讲解57．求正整数k，使其满足（a）、（b）两个条件：（。）对任意正整数n，不存在j，0＜j＜n—kMI，使数列C；，C；”，…，Q”‘－’为等差数列．（b）对某些正整数n，存在j，0＜j＜。一kM2，使数列C：，C：”’，…，C：“‘’为等差数列．解试讨论对于怎样的n及k，C士，C二，Cf”’恰成等差数列．欲CS’、C二、CY‘成等差数yu，应有于是（n＋2）应为完全平方，设为u’（u＞0），则卜一Zki—u，n一u‘一2（2）又由C：随厂变化的规律，可设由上面的结果可知，仅对形如（u’一2）（u＞3）的自然数n，当j一会（u‘一u一2）一1时… 相似文献