正三角形和正四面体的优美定值

用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下:定理1若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值.证明设正△ABC的中心为O,由正三角形的性质,以O为原点,以OA为y轴,如图建立平面直角坐标系,则A(0,33a),特别地,若此圆为正三角形的外接圆,则r=33a;若此圆为正三角形的内切圆,则r=63a,因此有:推论1.1若正三角形ABC的边长为a,P是其处接圆上任意一点,则PA2 PB2 PC2=2a2,PA4 PB4 PC4=2a4.推论1.2若正三角形ABC的边长为a,P是其内切圆上任意一点,则PA2 PB2 …     

赏析 溯源 推广——一道数学试题的探究与思考

2009年高考理科数学(湖北卷)20题:过抛物线y~2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M_1,N_1.(Ⅰ)当a=p/2时,求证:AM_1上AN_1;(Ⅱ)记△AMM_1,△AM_1N_1,△ANN_1的面积分别为S_1,S_2,S_3.是否存在λ,使得对于任意的a     

巧证几何不等式

<正>在△ABC中,D、E分别为边BC和CA上的点,T是DE上的点,S_1、S_2、S分别表示△ADE、△BDT、△ABC的面积,则(S_1/S)^(1/3)+(S_2/S)(1/3)+(S_2/S)^(1/3)≤1.     

Weisenbck不等式在三维空间中的推广

设△ABC的三边分别为a、b、c,面积为S,则 a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2)S)当且仅当a=b=c时等号成立,这就是著名的Weisenbock不等式。对此不等式,本文将其推广到三维空间中的四面体,六面体,八面体,十二面体和二十面体中去。定理1 若S_1,S_2,S_3,S_4,V分别表示四面体ABCD的四个面的面积和体积,则     

格菲德构图的应用

美国总统格菲德利用一个构图,巧妙地证明了勾股定理。这个构图是这样的:将一个直角梯形划分成三个直角三角形,通过面积关系去证明问题。如图,是三个直角三角形拼成的一个直角梯形,其边长如图所示。∵S梯形=1/2(a+b)(a+b) S_△ABC=1/2ab=S△ADE,S△ABE=1/2c~2 ∴1/2(a+b)(a十b)2×1/2ab+1/2c~2 a~2+b~2=c~2。利用这个构图,我们同样可以巧妙地证明一些代数和三角的有关问题。例1 已知:a、b、c、d∈R~+,且a~2+b~2=1,c~2+d~2=1,     

再谈“母子三角形”的性质和应用

本刊91年第4期介绍了“母子三角形的性质和应用”,本文就“母子三角形”之间存在的其它重要面积关系再作一介绍。在这里,我们不妨将所有存在于三角形内部的各个小三角形,称为子三角形,而原三角形称为母三角形。一般地,我们有下列重要结论: 命题如图1,在△ABC中,DE∥BC,F为BC边上的任意一点,则有: (1)若记△AOE的面积为S_1,△ABC的面积为S,则S_(△ABE)=S_(△ACD)=S_(四边形ADFE)=(S_1S)~(1/2)     

一类三角形面积最大问题

<正>先看下面题目及其解法:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,A=60°,求△ABC面积的最大值.解法一由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC可得b=4/3^(1/2)sinB,c=4/3(1/2)sinB,c=4/3^(1/2)sinC.S_(△ABC)=1/2bc sinA=3(1/2)sinC.S_(△ABC)=1/2bc sinA=3^(1/2)/4bc=4/3(1/2)/4bc=4/3^(1/2)sinBsinC=     

1992年四川省初中数学联赛试题及解答

1 初赛试题(1992年11月15日上午9:00～11:00) 一、选择题(满分36分,每小题6分) 1若|a|=-a,则|2a-(a~2)~(1/2)|等于( ) (A)a (B)-a (C)3a (D)-3a 2 在△ABC中,AC:AB=1:2,∠A的内、外角平分线分别为AE和AF,则面积S_(△ABC):S_(△ABE):S_(△ABF)等于( )     

sin(A+60°)为何大于零?

题 在△ABC中,三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知b=1,c=2,且S△ABC等于以a为边长的正三角形的面积,求sin(A 60°)的值.     

一道最值问题的解法探究

<正>题目已知椭圆C的方程为x²/(10)+y2/(10)+y²/9=1,F为C的右焦点,A为C的上顶点,P为C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF(其中O为坐标原点)的面积最大值为().(A)3/2(B)3/2(11)2/9=1,F为C的右焦点,A为C的上顶点,P为C上位于第一象限内的动点,则四边形OAPF(其中O为坐标原点)的面积最大值为().(A)3/2(B)3/2(11)^(1/2)(C)3/2(10)(1/2)(C)3/2(10)^(1/2)(D)1解法1(坐标法)因为S_(四边形OFPA)=S_(△AOF)+S_(△AFP),其中S_(△OAF)为定值.若使四边形面积最大,则需S_(△AFP)     

正多边形的一条性质

平几中,有这样一个命题:过正△ABC中心的任一直线分别交AB、BC、CA三边所在的直线于点M、N、P,则1/OM~2+1/ON~2+1/OP~2为定值:若正三角形的边长为a,则定值为18/a~2. 本文将上述命题向正多边形推广,得到下述定理正n边形A_1A_2…A_n(n≥3)边长为a,过其中     

一个角平分线不等式

引理1 若a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,则 1/wa+1/wb+1/wc=2/√3(1/a+1/b+1/c) △ABC为正三角形时取到等号.     

一阶三角样条插值投影算子的模

§1.引言 设区间[0,1]的分划如下: △:0=x_0相似文献   

“直角”三证

<正>贵刊2017年3月下课外练习栏目初三年级的第3题:已知:如图1,PO平分∠AOB,PA⊥PB,PA=PB,∠A≠∠B,求证:∠AOB=90°.参考答案证明设OA=a,OB=b,PA=PB=x,OP=m,S△POA=S_1,S△POB=S_2,且∠POA=∠POB=α,则S_1=1/2OA·OP·sinα=1/2am sinα,S_2=1/2OB·OP·sinα=1/2bm sinα.同时S_1=1/2OA·AP·sin∠A=1/2ax sin∠A,     

四边形中的趣味竞赛题(下)

<正>例9在任意给定的凸四边形ABCD中,边AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G和H.求证:四边形ABCD的面积≤EG×HF≤1/2(AB+CD)×1/2(AD+BC).证明如图11所示,HE∥DB∥GF,又EF∥HG,所以EFGH为平行四边形.S_(ABCD)=S_(EFGH)+S_(△AEH)+S_(△DGH)+S_(△CGF)+S_(△BEF),而S_(△AEH)+S_(△CGF)=1/4(S_(△ABD0)+S_(△CBD))=1/4S_(ABCD).同理可证S_(△DGH)+S_(△BEF)=1/4S_(ABCD),所以S_(ABCD)=S_(EFGH)+1/2S_(ABCD),     

四边形面积的一个性质及其应用

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1,S_2,S_3和S_4,则由三角形面积公式,可知 sin(180°-a)。故得S_1S_2=S_3S_4。在图1中,若AB∥CD,则S_△ACD=S_△BCD,可见S_3=S_4,再据定理,有     

三角形面积公式的推广及应用

<正>三角形面积的推广公式,如图1,在△ABC中,P是直线BC上任意一点,记∠APC=α,则S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.证明作AD丄BC于点D,于是S_(△ABC)=1/2 BC·AD①,在Rt△APD中,AD=APsinα,代入①得S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.注图1中,若P点与B或C点重合,显     

一道值得关注的高考选择题

2005年高考湖南卷(理科)第10题是一道值得关注、探究的创新试题,现摘录如下：设P是△ABC内任意一点,S_(△ABC)表示△ABC的面积,λ_1=S_(△PBC)／S_(△ABC),λ_2=S_(△PCA)／S_(△ABC),λ_3=S_(△PAB)／S_(△ABC),定义f(P)=(λ_1,λ_2,λ_3)。若G是△ABC的重心,f(Q)=(1／2,1／3,1／6),则( )。 (A)点Q在△GAB内 (B)点Q在△GBC内 (C)点Q在△GCA内 (D)点Q与G重合据高考阅卷情况反馈,该题得分率很低,究其原因,很多考生觉得该题情境新,题意不易理解,入手困难。下面先介绍两种解法。     

灵机一动

<正>贵刊2017年8月下期18页刊登了王建荣和刘沙西两个老师的文章《剖析一道几何题》,通过作平行线,得出了结论,其实,这样的解法看起来巧妙,实绕一大弯.这里给出一个更直接的证明方法.题目P是平行四边形ABCD中的任意一点.求证:S_(△ABP)=S_(△APD)+S_(△ACP).从图上可以看出:S_(△ABP)+S_(△CPD)=(1/2)S_(平行四边形ABCD);S_(△APD)+S_(△ACP)+S_(△CPD)=(1/2)S_(平行四边形ABCD).     

面积比问题的探究

<正>近日,笔者看到2016年1月北京市朝阳区高三第一学期期末试题第14题:已知点O在△ABC的内部,且有x((OA)|→)+y((OB)|→)+z((OC)|→)=(0|→),记△AOB,△BOC,△AOC的面积分别为S_(△AOB),S_(△BOC),S_(△AOC).若x=y=z=1,则S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=______;若x=2,y=3,z=4,则S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=______.分析第一问中点O为△ABC的重心,所以S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=1:1:1.第二问中由于系