如何求解“给值求角”问题

“给值求角”问题的求解分为两步走 ,缺一不可 :1 )根据题设条件 ,求角的某个三角函数值 ;2 )讨论角的范围 ,必要时 ,还需根据已知三角函数值缩小角的范围 ,从而确定角的大小 .例 1　已知tan(α - β) =12 ,tanβ =- 17,且α ,β∈ ( 0 ,π) ,求 2α - β的值 .分析 :已知条件启发我们应求该角的正切值 ,并用拆角“手段”将角 2α - β分拆成2 (α - β) + β .讨论时应尽可能缩小角的范围 .解　∵tan( 2α- β) =tan[2 (α- β) + β]=tan2 (α- β) +tanβ1 -tan2 (α- β)tanβ.又　∵tan2 (α - β) =2tan(α - β)1 -tan2 (α - β) =4…     

一个三角恒等式的简证

文 [1]中证明了一个恒等式 :若α + β +γ =nπ(n∈Z) ,则tanαtan(β -γ) +tanβtan(γ -α) +tanγtan(α - β) =-tanαtanβtanγtan(α - β)tan(β -γ)tan(γ -α) ( ) .其证明太繁 ,下面笔者给出一个自然简单证明以供参考 .同时将看到上式中条件α+ β +γ =nπ是多余的 .证明　由正切和差公式易知 :tanα -tanβ =tan(α - β) (1+tanαtanβ) ,tanα +tanβ =tan(α + β)(1-tanαtanβ) .当α + β +γ =0时 ,tan(α + β) =-tanγ ,则tanα +tanβ +tanγ =tanαtanβtanγ .∵ (α - β) + (β -γ) + (γ -α) =0 ,∴tan(…     

三角函数与解直角三角形的几种解法

在解直角三角形这一章中 ,锐角三角函数和解直角三角形是本章的重点之一 ,而锐角三角函数是解直角三角形的基础 .解直角三角形是解任意三角形的最基本的方法 ,有着广泛应用 .同学们应切实学好 .下面谈运用本章的知识进行解题的几种方法 .一、用锐角α的三角函数值都是正值和变化规律( 0 0 <α <90 0 ,则sinα,tanα随着α的增大而增大 ;cosα ,cotα随着α的增大而减小 )进行解题 .例 1　化简 :( 1 -cot3 0°) 2 +|1 -tan3 5°|+tan2 3 5° -cot45°.解 :原式 =|1 -cot3 0°|+|tan45°-tan3 5°|+|tan3 5°|-1=cot3 0°-1 +tan45°-tan3 5°…     

数学问题解答

20 0 4年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 96　已知M ,N是正方形ABCD的边BC ,DC延长线上的点 .求证 :正方形ABCD的面积与三角形CMN的面积相等的充要条件是∠MAN =45°.(中南大学附属铁道中学　李一麟　 410 0 0 4)解 　如图 ,以点B为原点 ,BC为横轴 ,BA为纵轴建立直角坐标系 .设正方形的边长为 1 .∠DAM =α ,点A( 0 ,1 ) ,M(cotα ,0 ) .若∠MAN =45°,则N 1 ,1 -tan( π4 α) ,｜CM｜ =cotα- 1 ,｜CN｜=tan( π4 α) - 1 .S MCN =12 (cotα- 1 ) [tan( π4 α) - 1 ]=12 ( 1 -tanαtanα ) 2tanα1 -tanα=1 …     

有理正切值的探索

<正>2014年"北约"自主招生中有一道试题:证明tan3°是无理数,引起了笔者的兴趣,于是经过研究得出结论:在整数度数的正切值中,只有tan(k·180°±45°)和tank·180°是有理数.下面给出证明,供大家参考.首先证明:在[0°,90°]的整数度数角的正切值中,只有tan0°=0,tan45°=1是有理数.(1)60°的约数度的正切值均为无理数.否     

巧用万能公式

<正>由倍角公式和同角三角函数间的关系很容易证得sinα=2tanα21+tan2α2,cosα=1-tan2α21+tan2α2,tanα=2tanα21-tan2α2,这三个公式通常称之为万能公式.在万能公式中,如果令tanα2=t,则通过代换往往可以把三角问题转化为代数问题来求解;反过来,如果在一个代数问题中含有     

有理正切值的探索

2014年＂北约＂自主招生中有一道试题：证明tan3°是无理数,引起了笔者的兴趣,于是经过研究得出结论：在整数度数的正切值中,只有tan（k·180°±45°）和tank·180°是有理数.下面给出证明,供大家参考.首先证明：在[0°,90°]的整数度数角的正切值中,只有tan0°=0,tan45°=1是有理数.（1）60°的约数度的正切值均为无理数.     

一类三角求值题的错解及根治方法

先看下例 例 1 已知 tana=2,tanβ=3,且α,β都是锐角,求a+β。 解tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ     

2007年海南省中考数学科模拟试题(一)

时间:100分钟满分:110分一、选择题(本大题满分20分,每小题2分)1·下列各式运算正确的是()·A·x3 x2=x5B·x3-x2=xC·x3·x2=x6D·x3÷x2=x2·如图所示,图形中(每个小正方形的边长都是1)可以是一个正方体表面展开图的是().3·下列各式中正确的是().A·tan55°·tan35°=1B·cos35° cos35°=cos70°C·sin40°=2sin20°D·tan75°相似文献   

课外练习

高一年级1.已知:x∈(0,1/2),sinx·cosx=1/2,求1/1 sinx 1/1 cosx的值(江苏张家港职教中心(215600) 周交国)2.求值tan20° 4sin20°(江苏周交国)3.已知:A,B,C均为锐角,且A B C≤π. 求证:tanA/2·tanB/2 tanB/tanC/2 tanC/2·tanA/2≤1.     

一道三角题解法的探究

<正>问题已知α、β均为锐角,且tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα,则tan(α+β)-________.这是一道典型的已知三角等式求三角函数值问题,对于这类问题学生往往无从人手,无法突破.以此题探讨一下这类问题的解法,供参考.解法一(代人消元求解)tanβ=cosα-sinα/cosα+sinα=cosα/(cosα+sinα/cosα)=1-tanα/1+tanα,     

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…     

高一年级期末复习自测题

选择题:1.sin570°的值为()(A)21.(B)-21.(C)23.(D)-23.2.sin1,cos1,tan1的大小关系是()(A)tan1>sin1>cos1.(B)tan1>cos1>sin1.(C)cos1>sin1>tan1.(D)sin1>cos1>tan1.3.已知非零向量m和n的夹角为钝角,则以下关于x的方程x2 |m|x m·n=0的根的说法,正确的为()(A)可能没有实根.(B)     

错在哪里

题目 :已知 sin2α=a,cos 2 a=b,则 tan(a π4)的值为 (　　 ) .(A) 1 a b1 - a b　　　 (B) a - b 1a b- 1(C) 1 ab (D) b1 - a解法 1　因为1 a b1 - a b=1 sin 2α cos 2α1 - sin 2α cos 2α=1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α=1 tanα1 - tanα=tan(α π4) .所以选 (A) .解法 2　因为a - b 1a b- 1 =sin 2α- cos 2α 1sin 2α cos 2α - 1　 =2 sinα .cosα- (1 - 2 sin2α) 12 sinα .cosα (1 - 2 sin2α) - 1　 =sinα(cosα sinα)sinα(cosα- sinα) =cosα …     

初三几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 6分 )1 .与已知点P的距离为 2 .5cm的所有点组成的平面图形是 .2 .在Rt△ABC中 ,∠C =90°,a =5 ,b =1 2 ,那么sinA = ,cosA =.3 .角平分线是的点的集合 .4.已知cosA =32 ,且∠B =90° -∠A ,则sinB =.5 .若圆的一条弦长为 1 2cm ,其弦心距等于 8cm ,则该圆的半径等于 .6.∠AOB的两边分⊙O为 1∶5两部分 ,则劣弦AB所对的圆周角等于度 .7.化简 :tan5 3°·tan48°·tan45°·tan3 7°·tan42°=.8.计算 :(sin45° -1 ) 2 +|1-tan60°|=.9.如图 1 ,⊙O的两条弦AB ,CD交于点P ,已知AP =2cm ,BP=6c…     

2003年高考数学客观题（理）的突破与变式

20 0 3年高考数学选择填空题大多数都是常规基础题 ,许多题都要通过运算才能找到问题答案 ,因而花费了许多时间 ,造成计算繁杂的恐惧心理 .现对其中的部分试题进行剖析与反思 ,寻找突破口 ,希望能对训练数学运算思维有着借鉴作用 .1.已知x∈ - π2 ,0 ,cosx =45,则tan2x =(　　 )(A) 72 4 .　 (B) - 72 4 .　 (C) 2 47.　 (D) - 2 47.思路 1　 (计算 )∵x∈ - π2 ,0 ,cosx =45,∴sinx =- 35,tanx =- 34 ,tan2x =2tanx1-tan2 x=- 2 47.思路 2　 (估算 )∵x∈ - π2 ,0 ,cosx =45∈22 ,32 ,∴ - π4 相似文献   

不要把分母做繁了

<正>处理分式问题的难易往往取决于分母的繁与简,分母简则分式的化简或计算就易;分母繁则分式的化简或计算就难.因此,我们在解决有关分式问题的时候,不要把原本就简单的分母做繁了.比如:例1求(cos10°-2sin20°)/sin10°值.     

例析高中数学研究型问题

根据近年教学实践,选出研究型问题一组,似对高中数学总复习、特别对教师的备课有好处.现整理如下:例1在△ABC中计算:sin2A sin2B sinA·sinB的值.(1)若A=30°,B=30°(2)若A=45°,B=15°(3)若A=40°,B=20°(4)从上述(1)、(2)、(3)中能否得出一个一般性规律?请给予证明.解(1)sin230° sin230° sin30°·sin30°=43(2)sin245° sin215° sin45°·sin15°=43(3)sin240° sin220° sin40°·sin20°=1-c2os80° 1-c2os40° 21(cos20°-cos60°)=1-21(cos80° cos40°) 21cos20°-41=1-21·2cos60°cos20° 21cos20°-41=43(4)猜测:在△AB…     

这个题目只有一个解

文[1]探索了题目:已知tan110°=a,求tan10°的值.结论是:这个题目有11个解.这个结论是错误的,tan110°=a是一个确定的值,tan10°也是一个确定的值,因此这个题目只能有一个解.     

例谈三角题设计的误区

众所周知涉及到三角函数的有关问题,对于培养学生灵活的变形转化能力和综合运用知识的能力都大有益处,因而在高三复习课中常需要设计相关的问题对学生进行针对性训练.但是,在设计三角题时往往过多关注了知识点的覆盖、三角变换的技巧、题目的新颖,而忽视了三角函数的定义域、值域等内在、本质的特征,造成了命题设计的误区.笔者在教学中发现了几类设计误区,兹举几例仅供参考.误区之一　忽视定义域例1　函数f (x) =2sin2 2x + 3sin4x -4tan2x(1-tan2 2x)sin8x·(1+tan2 2x) 2 试求函数图像的对称中心和对称轴.(此题出自《状元之路》北京教育出…