Grundzüge des Dynamic Programming

Zusammenfassung Es wird ein kurzer Überblick über einige Hauptprobleme des Dynamic Programming — einer speziellen Lösungsmethode zur Auffindung optimaler Lösungen bei mehrstufigen Extremwertsaufgaben — gegeben. Es wird gezeigt, wie in gewissen Fällen die Problemstellung des Linear Programming verallgemeinert und die Aufgabe mit Hilfe dieser Methode gelöst werden kann. Abschließend wird ein Optimalisierungsprinzip angegeben, das eine Kennzeichnung der Aufgaben gestattet, die einer Lösung durch die Methode des Dynamic Programming zugänglich sind.

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Summary A brief survey is given about several main problems of dynamic programming — a special procedure for finding optimal solutions of multi-stage extremal value problems. It is shown that in certain cases the approach of linear programming can be generalized and the problem be solved by means of this procedure. Finally a principle of optimization is stated which permits a characterization of the problems lending themselves to a solution by means of dynamic programming.

     

An interior point method for nonlinear programming

Summary In this paper an interior point method is presented for nonlinear programming problems with inequality constraints. On defining a modified distance function the original problem is solved sequentially by using a method of feasible directions. At each iteration a usable feasible direction can be determined explicitly. Under certain assumptions it can be shown that every accumulation point of the sequence of points constructed by the proposed algorithm satisfies the Kuhn-Tucker conditions.

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Zusammenfassung Im vorliegenden Beitrag wird eine Innere-Punkt-Methode zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme mit Ungleichungsrestriktionen vorgestellt. Mit dem Begriff der modifizierten Distanzfunktion und mit Hilfe einer Methode der zulässigen Richtungen wird das ursprüngliche Problem sequentiell gelöst. Bei jeder Iteration kann eine brauchbare zulässige Richtung explizit angegeben werden. Unter geeigneten Voraussetzungen wird gezeigt, daß jeder Häufungspunkt der Folgenpunkte, die durch den dargestellten Algorithmus konstruiert werden, die Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt.

     

Eine Methode zur Berechnung des optimalen Produktionsprogramms bei konkaver Zielfunktion

Zusammenfassung Probleme der Bestimmung optimaler Produktionsmengen in einem Industriebetrieb sind sehr häufig dadurch charakterisiert, daß die Grenzkosten bei der Herstellung einer Produktart mit zunehmender Ausbringungsmenge abnehmen. Die gesamten Kosten abzüglich Erlöse, oder das Entgegengesetzte des Unternehmungsgewinns, welche das zu minimierende Optimierungskriterium bilden, werden dadurch eine konkave Funktion der Ausbringungsmengen der einzelnen Produkte. Es wird gezeigt, daß ein solches Optimierungsproblem oft mit relativ kleinem Aufwand exakt gelöst werden kann, auch wenn die Anzahl der Produktarten, die für die Produktion vorgesehen sind, groß ist und die Zielfunktion nicht separiert werden kann.

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Summary Problems concerning the determination of optimal production quantities are very often characterised by decreasing marginal costs as production quantities increase. Hence, total costs less income (i.e. negative profit), which forms the optimality criterion to be minimized, should be represented by a concave function of the production quantity for each product. It is shown how such an optimisation problem can often be solved exactly with relatively little effort, even when the number of products to be considered is large and the objective function is not separable.

     

Approximations and bounds for a generalized optimal stopping problem

We study a finite-horizon nonstationary Markovian decision problem, that can be interpreted as generalized optimal stopping and whose solution via the usual dynamic programming is in most practical cases not feasible from a computational point of view. Under certain assumptions, most importantly stochastic monotonicity, upper and lower bounds are obtained for optimal values and decisions using a reduced dynamic programming. From this, a suboptimal policy is derived with an upper bound on its suboptimality. Computational aspects and a particular application from optimal exploratory oil drilling are discussed.

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Zusammenfassung In der Arbeit wird ein nichtstationäres Markowsches Entscheidungsproblem mit endlichem Planungshorizont betrachtet, das als verallgemeinertes Stopp-Problem interpretiert werden kann. Die numerische Lösung des Problems mit Hilfe der üblichen Methode der dynamischen Optimierung ist in der Regel zu rechenaufwendig. Es wird deshalb eine Methode der approximativen Lösung des Problems (mit gewissen Einschränkungen) vorgeschlagen, und es werden obere und untere Schranken für den Optimalwert hergeleitet. Ferner wird eine suboptimale Politik mit einer oberen Schranke für die Suboptimalität angegeben. Abschließend wird ein praktisches Anwendungsbeispiel (optimale Versuchsbohrungen nach Öl) diskutiert, an dem auch rechentechnische Aspekte des entwickelten Lösungsverfahrens erläutert werden.

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Research partially supported by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR), Italy, through contract n.80.02343.01 and through GNAFA.     

On lateral buckling of end-loaded cantilever beams

Summary The classical problem of lateral buckling of cantilever beams with transverse end load is reexamined, as an example of a problem fully governed by theintrinsic equations of Kirchhoff's curved beam theory. It is shown that asuitable non-dimensionalization of the differential equations of the problem leads to astraightforward perturbation solutions, with leading and second-order terms of the expansion having well-defined differences in physical significance. The equations of a recent extension of Kirchhoff's theory, which take account of transverse shear deformation, are used for the purpose of obtaining a numerical result for the influence of shear deformability on the lateral buckling load.

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Zusammenfassung Das klassische Problem der Kippstabilität des Kragträgers wird re-examiniert als Beispiel eines Problems, welches vollständig definiert werden kann mit Hilfe der intrinsischen Gleichungen der Kirchhoffschen Theorie gekrümmter Stäbe. Es wird gezeigt, dass eine spezielle Art die Gleichungen dimensionslos zu machen eine einfache Störungsrechnung ermöglicht, mit der die führenden sowohl als auch die eine Grössenordnung kleineren Glieder in der Reihenentwicklung eine wohldefinierte physikalische Bedeutung haben. Schliesslich werden die Gleichungen einer Erweiterung der Kirchhoffschen Theorie, die den Einfluss von Schubverformungen berücksichtigt, benutzt, um ein zahlenmässiges Resultat bezüglich des Einflusses der Schubverformung auf die Kipplast zu erhalten.

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A report on work supported by the Office of Naval Research.     

On the scattering of waves by a disk

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass das Problem, die Beugung einer ebenen Welle an einer kreisförmigen Öffnung oder Scheibe zu bestimmen, auf die Lösung von regulären Fredholmschen Integralgleichungen zweiter Art zurückgeführt werden kann. Die Lösungen dieser Integralgleichungen liefern uns für die Scheibe im Falle der Neumannschen Bedingung die radiale Variation der Unstetigkeiten der Wellenfunktion und im Dirichletschen Falle die Unstetigkeiten ihrer normalen Ableitung. Ist das Produkt von Öffnungsradius und Wellenzahl klein, so können die Integralgleichungen gelöst werden. Für die Ableitung der Integralgleichungen verwenden wir einerseits die Poissonsche Darstellung für die Wellenfunktion und andererseits die Fortsetzung der Helmholtzschen Darstellung in die komplexe Ebene.     

Core velocity distribution in swirling pipe flow

Zusammenfassung Der stationäre Zustand des Kernbereiches für die Wirbelbewegung einer reibungsbehafteten Flüssigkeit in einem Rohr kann durch Burgers Linienwirbel dargestellt werden, vorausgesetzt, dass die axiale Strömungskomponente mit der Richtung des abfallenden Drucks zusammenfällt. Der Bereich der Festkörperdrehung nimmt durch Verringerung des Druckgefälles zu, und der Kern kann bei Erreichen eines hinreichend grossen, der Strömung entgegengerichteten Druckgefälles zum Stillstand gebracht werden.     

The influence of turbulence on the transfer of heat to cylinders near the stagnation point

Zusammenfassung Es wird das problem des Einflusses der Turbulenz auf den Wärmeübergang an einem quer angeströmten Zylinder untersucht. Die Untersuchung beschränkt sich auf den Teil des Umfangs, über den sich die laminare Grenzschicht erstreckt. Einige ältere Messungen an der Vorderseite eines Zylinders werden miteinander verglichen, und es zeigt sich, dass ein wichtiger Parameter, nämlich die Intensität der Vorturbulenz bei den Untersuchungen nicht berücksichtigt worden ist. Die bekannten Messungen von Schmidt und Wenner werden kritisch untersucht und der genannte Effekt wird an ihnen aufgezeigt.Weiter werden eigene Messungen der lokalen Nusseltschen Zahl beschrieben. Die Messungen waren durchgeführt worden an der Vorderseite eines einzelnen Zylinders im Querstrom, und zwar in drei sich nicht überdeckenden Gebieten der Intensität der Vorturbulenz. Die Versuchsanordnung wird beschrieben und mögliche Einflüsse der Veränderung der Druckverteilung am Zylinder werden diskutiert. Obwohl dieser letztere Effekt nicht völlig eliminiert worden war, zeigen die Versuche doch klar, dass steigende Turbulenz ein starkes Anwachsen der lokalen Nusselt-Zahl bedingt. Dieses Anwachsen ist bei kleiner Turbulenz besonders stark. Ein Vergleich mit der theoretischen Lösung Froesslings, die für Turbulenz 0 gilt, zeigt, dass die Turbulenz den Wärmeübergang in der Staulinie bis zu 80% erhöhen kann, bei einer Turbulenzvariation von 0–3%.Diese Ergebnisse, die qualitativ interpretiert werden, stützen die Hypothese einer früheren Veröffentlichung, die annimmt, dass der Effekt durch Änderungen der laminaren Grenzschicht, die hervorgerufen werden durch Schwankungen von zunehmender Amplitude, wie sie bei zunehmenden Vorturbulenzen auftreten, bedingt ist.     

An algorithm for the incomplete decomposition of a rational function into partial fractions

Zusammenfassung Es wird ein Algorithmus zur unvollständigen Zerlegung einer rationalen Funktion in Partialbrüche angegeben, mit dem alle auftretenden Sonderfälle in einheitlicher und ökonomischer Weise behandelt werden können. Der zu einem quadratischen Nennerfaktor einer reellen rationalen Funktion gehörige Partialbruch kann ohne Kenntnis der Nullstellen und ohne Koeffizientenvergleich in reeller Arithmetik berechnet werden.     

Einige Bemerkungen zum Ernennungsproblem

Zusammenfassung Das Transportproblem kann als eine Verallgemeinerung des Ernennungs-problems angesehen werden. Diese Interpretation führt zu verschiedenen Fragestellungen über die Realisierung in einer zeitlichen Abhängigkeit der optimalen Zuordnungen. Zwei dieser Zuordnungsprobleme werden formuliert und explizit gelöst.

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Summary The transportation problem can be regarded as a generalisation of the assignment problem. This interpretation leads to various questions which are concerned with the realization in time of the optimal assignments. Two of these scheduling problems are stated and solved explicitely.

     

Integral representations in two dimensional potential theory

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass mittels einer passenden Integraldarstellung der Potentialfunktion eine Klasse von Problemen der zweidimensionalen Potentialtheorie auf die Lösung einer Abelschen Integralgleichung zurückgeführt werden kann. Das Verfahren wird durch Anwendung auf Probleme der klassischen Aerodynamik, der Magnetoaerodynamik und der Elastizität veranschaulicht.     

N-Stage output procedure of a finite dam

Summary We examine the problem of optimizing operation of a reservoir with a finite capacity, described by the following model: The input of water into the reservoir is a Wiener process with positive drift. Water may be released at one ofR possible rates. At any time the output rate may be increased with costK per unit increase or it may be decreased to zero with zero cost. There is a reward ofA monetary units for each unit of output. The problem is to control the output in such a way as to maximize the long run average profit per unit time.

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Zusammenfassung In diesem Beitrag geht es um eine optimale Steuerung eines Wasserspeichers mit endlicher Kapazität: Der Zufluß wird durch einen Wiener Prozeß mit positivem Drift beschrieben. Der Abfluß erfolgt in einer von mehreren vorgegebenen Geschwindigkeitsstufen, die jedoch in jedem Zeitpunkt geändert werden kann. Eine Erhöhung der Abflußgeschwindigkeit ist im Gegensatz zu einer Verminderung mit Kosten verbunden. Die Abflußmengen führen zu pro Mengeneinheit konstanten Erlösen. Das Entscheidungsproblem besteht darin, eine Steuerung des Abflusses zu finden, die den durchschnittlichen Gewinn pro Zeiteinheit maximiert.

     

Standing waves in an open pipe: A nonlinear initial-boundary value problem

Summary Transient disturbances in a column of gas in an open tube are described using a nonlinear theory which includes both amplitude dispersion and wave interactions. For reflection from an open end, the theory must include the second nonlinear correction to the characteristic to distinguish the linear and nonlinear travel times. The initial value problem is reduced to solving a functional difference equation which determines the signal on a boundary. When the signal is damped by allowing radiation of energy at the boundaries, it may be possible to prevent shock formation.

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Zusammenfassung Zeitabhängige Störungen in einem mit Gas gefüllten offenen Rohr werden beschrieben mit Hilfe einer nicht-linearen Theorie, welche sowohl Amplituden-Dispersion wie auch gegenseitige Beeinflussung von Wellenzügen berücksichtigt. Für Reflektionen am offenen Ende muss die Theorie die nicht-linearen Korrekturen zweiter Ordnung zu den Charakteristiken berücksichtigen, um lineare und nicht-lineare Laufzeiten unterscheiden zu können. Die Anfangswertaufgabe wird auf die Lösung einer Funktional-Differenzen-Gleichung reduziert, welche das Signal am Rohrende bestimmt. Wenn das Signal gedämpft wird durch Zulassung von Abstrahlung am Rohrende, kann die Stossbildung vermieden werden.

     

Zur Bestimmung der wirtschaftlichen Bestellmenge bei Preisstaffeln

Zusammenfassung Es wird ein analytisches Verfahren zur Berechnung der wirtschaftlichen Bestellmenge unter Berücksichtigung einer Mengen-Preis-Staffel beschrieben. Während man bei der klassischen Lösung dieses Problems zu vorgegebenem Bedarfiterativ den günstigsten Preisnachlaß bestimmt, wird bei dieser Methode gefragt, für welchen Jahresbedarfsbereich ein vorgegebener Rabatt optimal ist. Aus dieser Fragestellung heraus kann eine Tabelle entwickelt werden, der die wirtschaftlichen Bestellmengen unmittelbar zu entnehmen sind. Das Verfahren eignet sich besonders zur Behandlung gleichartiger Produkte, deren Preis sich nach derselben Mengen-Preis-Staffel richtet.

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Summary An analytic method for determining the economic lot size is described when price discounts are offered. The classical method for solving this problem is to calculate the most profitable price to a given demand. In contrary to this, our problem is to find the interval of demand to which a given price discount is optimal. This leads to a table with the optimal ranges of demand for each given price discount.

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Erweiterte Fassung eines auf der AKOR-Tagung 1969 in Aachen gehaltenen Vortrags.     

A note on multiproject scheduling to minimize the cost of supplemental external resources

The employment of external resources to supplement available internal resources can improve a feasible schedule or make an infeasible schedule feasible. Based upon a well-known integer linear programming approach to the general multiproject scheduling problem, this paper provides an extension to account for the minimum cost usage of external resources. We modify an example from the literature to illustrate the solution of the revised model. Another approach using Lagrange multipliers is also discussed.

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Zusammenfassung Es wird gezeigt, wie bei Problemen der Ablaufplanung durch zusätzliche externe Ressourcen, z.B. vorübergehend beschäftigte Arbeitnehmer, ein zulässiger Ablaufplan bezüglich einer gegebenen Zielfunktion verbessert werden kann bzw. überhaupt erst ein zulässiger Ablaufplan ermöglicht wird. Unter diesem Aspekt werden zwei Entscheidungsmodelle der Ablaufplanung, und zwar vonPritsker/Watters/Wolfe undFisher, modifiziert.

     

Magnetic diffusion and the scaling laws for solar wind simulation

Zusammenfassung Es werden Theorien über die Position und die Dicke der Grenze zwischen dem Magnetfeld der Erde und dem Sonnenwindplasma diskutiert. Die Eigenschaften eines im Laboratorium erzeugten Plasmas werden angegeben, welche diese Zusammenwirkung simulieren kann. Es wird ein Experiment beschrieben, welches die korrekten Modellgesetze erfüllt, und die Störung des Magnetfeldes im Modell wird gezeigt. Es wurde gefunden, dass die Eigenschaften des Grenzgebietes mit den theoretischen Voraussagen nicht übereinstimmen. Der Unterschied kann aber durch die Diffusion des Magnetfeldes in den Plasmastrom erklärt werden, wenn ein genauerer Ausdruck für die elektrische Leitfähigkeit benützt wird. Die Bedingungen für die exakte Modellähnlichkeit sind dann nicht mehr erfüllt. Es wird vorgeschlagen, dass eine höhere Elektrontemperatur benötigt wird, um die elektrische Leitfähigkeit genügend zu crhöhen.     

Preemptive scheduling with staircase and piecewise linear resource availability

Some variations are presented for the preemptive scheduling problem on unrelated processors, one shows how nonrenewable resources with a time-varying supply may be taken into account in an extension of the two-phase method; phase 1 consists in solving an LP problem and phase 2 is the construction of the schedule; such a construction reduces to the determination of integral vectors in polyhedra defined by totally unimodular matrices. In special cases, this is simply a compatible flow problem.

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Zusammenfassung Es werden Variationen für Reihenfolgeprobleme mit Unterbrechungen betrachtet bei denen die Aufgaben mit unterschiedlicher Bearbeitungszeit auf den einzelnen Maschinen gelöst werden können. Insbesondere wird ein Problem mit nichterneuerbaren Resourcen und zeitabhängigen Nachfragen behandelt und es wird gezeigt, daß dieses Problem durch eine Erweiterung der 2-Phasenmethode gelöst werden kann. In Phase 1 wird ein LP gelöst, während in Phase 2 ein zugehöriger Schedule konstruiert wird. Diese Konstruktion erfolgt durch die Bestimmung ganzzahliger Vektoren, die Ecken eines Polyeders entsprechen, der durch eine vollständig unimodulare Matrix definiert wird. In Spezialfällen reduziert sich dies auf Flußprobleme.

     

Heat transfer and Reynolds' analogy in a turbulent flow with heat release

Zusammenfassung Es wird die Wärmeübertragung von und zu einer voll entwickelten, wärmeabgebenden, turbulenten Strömung in einem Rohr analysiert. Durch die Anwendung der Laplace-Transformation wird die partielle Randwertaufgabe der Temperaturverteilung in einem Rohr von kreisförmigem Querschnitt auf eine gewöhnliche Sturm-Liouvillesche Randwertaufgabe zurückgeführt. Die entsprechenden Eigenwerte und Eigenfunktionen können nun mittels des Ritzschen Verfahrens für verschiedene Werte der Prandtlschen und Reynoldsschen Zahlen berechnet werden.Die Verteilung der Temperatur und des Wärmeflusses entlang der Wand erhält man in Form einer Reihe, deren Glieder diese Eigenwerte und Eigenfunktionen enthalten. Durch Verallgemeinerung des Prandtlschen Wärmequellen-Satzes wird die Reynoldssche Analogie der Wärmeübertragung und der flüssigen Reibung für eine wärmeabgebende turbulente Strömung erweitert.Die genaue asymptotische Wärmefluss und Temperaturverteilung, die man erhält, gestattet eine Abschätzung des Fehlers, den man bei einer Anwendung der Ritzschen Methode und der daraus folgenden Reihenentwicklung erhalten würde. Diese Analyse kann für die wärmeabgebenden turbulenten Strömungen in Atomreaktoren angewendet werden.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the Office of Scientific Research of the ARDC, US Air Force under Contract AF 18 (603)-104.     

Helical flow of an idealized elastico-viscous liquid (I)

Zusammenfassung Es wird die stationäre Spiralströmung einer Klasse von idealisierten zähelastischen Flüssigkeiten untersucht. Diese Strömung wird zwischen zwei unendlich langen koaxialen Zylindern erzeugt, wenn im Spalt ein Druckgradient parallel zur Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelge-Achsenrichtung vorhanden ist und die Zylinder mit verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten um ihre gemeinsame Achse rotieren. Es werden exakte Lösungen für das Geschwindigkeits- und Druckfeld angegeben, wobei Mittelwert und Maximalwert der Axialkomponente der Geschwindigkeit ebenfalls berechnet sind. Ferner wird die Berechnung des Durchflussvolumens pro Zeiteinheit und des notwendigen Drehmomentes pro Längeneinheit, um die Relativbewegung der Zylinder zueinander aufrechtzuerhalten, durchgeführt. Schliesslich wird noch die Gleichung der Spirale aufgestellt, die ein Flüssigkeiteilchen beschreibt. Die Diskussion des Geschwindigkeits- und Druckfeldes zeigt einige interessante Resultate im Vergleich zu einer ähnlichen Strömung einer rein zähen Flüssigkeit. Die Couette-Strömung und die koaxiale Rohrströmung werden als Spezialfälle der Spiralströmung diskutiert.     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

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This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,