关于s阶的两两正交拉丁方的最大数目——筛法的应用——

<正> §1.序言本文的目的为给出[1]中宣布的结果的详细证明.本文还略为改良了这些结果.由 s 个相异元素(例如1,2,…,s)构成的 s×s 方阵,如果每一元素都在方阵的任何一行与任何一列中出现一次,而且恰好出现一次,则称这种方阵为 s 阶的拉丁方.又若将两个,阶的拉丁方重选在一起,则上面拉丁方的任何元素都正好遇见下面拉丁方的每一元素一次,而且恰好一次,就称这两个拉丁方是正交的.     

关于正交拉丁方的最大数目(Ⅰ)

1.前言一个s阶拉丁方是s个数字的一个方阵,使得每个数字在其中的每一行和每一列都正好出现一次.两个同阶拉丁方是正交的,如果把它们迭合在一起时,第一个拉丁方的每一个数字与第二个拉丁方的每一个数字,遇到而且只遇到一次.如果在一组r个拉丁方中,每两个方都是正交的,则称这组拉丁方是成对正交的或两两正交的,或者简称作正交的.假定s≥2,我们用N(s)表示成对正交的s阶拉丁方的最大数目,不难验明1≤≤N(s)≤s-十.拉丁方和正交拉丁方在试验设计中是很重要的设计,N(s)的问题在有限几何或组合分析中也有着重要的意义.设s的素数分解为     

拉丁方型设计存在的必要条件

§1.引言 继文献[1]用数论方法研究均匀设计以后,本文作者用组合数学方法研究均匀设计,引进了拉丁方型设计概念,并就循环拉丁方的情形提出一套构作方法。本文进而研究一般的拉丁方型设计的性质和作法,给出一组关于存在具有给定参数的n阶拉丁方型设计的必要条件。由此可知,n阶循环拉丁方型均匀设计如果不是在所有n阶拉丁方型设计中最均匀的,至少也是“几乎”最均匀的。因而,在应用于试验设计时,可用循环拉丁方     

一种编造正交拉丁方的方法

引言。自Euler猜想被否定以后,能编造Euler方阵的各阶正交拉丁方的个数,普遍提高到二个或二个以上。本文拟就阶拉丁方(其中p为素数,q为(p-1)的因子)提出一种编造方法,以便能得到三个或多于三个的正交拉丁方。对v ≤154,改进了v=46,93,106,118,154的正交拉丁方最大个数的下界。本文提出的编造v阶拉丁方的方法,是在一个较低阶的p阶斜行拉丁方的基础上扩展而成的。将v阶拉丁方与p阶拉丁方的各元素数字化,用前u个或前p个自然数代表     

强对称的自正交对角拉丁方

1 引言 一个ｎ阶拉丁方是含ｎ个相异元素的集合Ｎ上的一个ｎ阶方阵，其每一行和每一列都是Ｎ的一个置换．ｎ阶拉丁方的一条截态是位于不同行不同列的ｎ个位置使得其中的ｎ个元素两两相异．ｎ阶对角拉丁方是一个ｎ阶拉丁方，其主对角线（位置（）与反对角线（位置（）均为截态． 两个ｎ阶拉丁方Ａ和Ｂ称为正交的（简记作Ａ上Ｂ），如果把它们迭合在一起时，拉丁方Ａ的每一个记号与拉丁方Ｂ的每一个记号相遇一次且仅相遇一次．如果一个ｎ阶拉丁方Ｌ和它自己的转置正交，则称Ｌ为一个自正交的拉丁方，简记为ＳＯＬＳ（ｎ）． ｎ阶自正交对角拉…     

利用置换构作循环拉丁方型设计

本文提出利用无不动元的置换构作循环拉丁方型设计的方法,证明了几个一般定理,并用它们具体求得九阶循环拉丁方型均匀设计。     

一对正交的不完全拉丁方完备大集

不完全拉丁方完备大集,记作LDILS⁺(n+a,a),由两两不交的n个不完全拉丁方ILS(n+a,a)和a个拉丁方LS(n)构成.正交的不完全拉丁方完备大集,记作OLDILS⁺(n+a,a),由一对正交的LDILS⁺(n+a,a)构成.本文研究OLDILS⁺(n+a,a)的存在性问题,利用有限域上的直接构造以及引入辅助设计OLS_n⁺(n)进行积构造,得到若干OLDILS⁺(n+a,a)的无穷类.     

正交半泛对角线拉丁方及其应用

J.Denes 和 A.D.Keedwell 在文献[1]中提出:“n 取什么值时,元素是 n~2个相邻自然数的 n 阶泛对角线幻方存在?”文[3—5]解决了 n≠6m+3(m≥1)时的存在性问题.本文引进半泛对角线拉丁方及等和性半泛对角线拉丁方的概念,并运用后者的正交偶于偏差分对称方阵,构造出泛对角线幻方.因 n~2个相邻自然数仅是构成 n 阶偏差分对称方阵数集的特例,因而本文连同[3—5]完全解决了上述问题.在泛对角线幻方存在的情形,拓广了构成它的数集.     

偶阶幻方和奇阶正交拉丁方的构造方法

本文给出 (一)偶偶阶幻方的一种新的构造法及证明。 (二)偶奇阶幻方的边界构造法的模式。 (三)由奇阶幻方得出奇阶正交拉丁方方法。 n阶幻方是由正整数1到n~2组成,且每行每列每条对角线的元素之和均相等之方阵。此和称幻和S(n)=n/2(n~2+1)。     

对角方阵的变换群

在不改变对角方阵各行、各列、主对角线、次对角线的元素之集的条件下,其变换群是n次对称群S_n的直积S_n×S_n的子群,因对角拉丁方、对角拉丁方正交侣、幻方、高次幻方、加乘幻方均属此类方阵,本文对构作这类对象及研究它们的计数有重要意义.     

共轭方型锥上第一类Siegel域

本文给出方型锥的共轭锥上第一类齐性siegel域的完全分类.给出方型锥及共轭方型锥上第一类齐性siegel域的方阵表示.在文献[1]中,我们给出了方型锥上第一类齐性siegel域的完全分类.N-齐性锥V_N称为方型锥,如果本文考虑共轭方型锥.N-齐性锥V_N称为共轭方型锥,如果我们给出了其上第一类齐性siegel域的完全分类.并且证明了方型锥的共轭锥必线性等价于共轭方型锥.最后,我们列出了方型锥及共轭方型锥在线性等价下的标准锥的方阵表达形式.证明了方型锥及共轭方型锥线性等价当且仅当这些锥线性等价于自共轭锥.本文所用的符号和文献[1-3]相同.     

关于正交拉丁方的某些新进展

一个υ阶拉丁方是含υ个相异元素的集∑上的一个υ×υ矩阵,其每一行和每一列是∑的一个排列。两个υ阶拉丁方称为正交的,如果把它们迭合在一起时,第一个拉丁方的每一个记号与第二个拉丁方的每一个记号相遇一次且仅相遇一次。以 N(υ)记υ阶两两正交拉丁方的最大数目。正交拉丁方是一类重要的组合设计。在许多别的组合设计的递推构作中,经常用到正     

关于不完全正交拉丁方

Euler在试图证明不存在两个正交的六阶拉丁方时,给出了下面两个拉丁方: 1 2 3 4 5 6 1 6 4 5 3 2 2 3 6 5 1 4 2 1 5 4 6 3 3 4 1 2 6 5 3 5 2 6 4 1 4 6 5 3 2 1 4 3 6 2 1 5 5 1 2 6 4 3 5 4 3 1 2 6 6 5 4 1 3 2 6 2 1 3 5 4 这两个拉丁方对合后的36个有序数对中,数对(2,6)、(4,5)各出现两次,而数对(2,5),(4,6)未出现,共有34个不相同的数对。 Tarry首先证明了不存在两个正交的六阶拉丁方,后来几位学者又已给出了另外的     

一个不是L_3方案的M_3结合方案,其s=6

<正> s~2个处理之间满足下列条件的一种关系,称作是一个具有两个结合类的 M_3(s)结合方     

双向随机区组设计的研究

双向随机区组设计，系在通常的随机区组设计的基础上稍加变化而成，可控制试验地两个方向的土壤差异，但又不象拉丁方设计那样处理数必须等于重复次教，而比较灵活易掌握，这个设计的试验精确度相当于拉丁方设计，但整个试验的小区数目要比拉丁方设计少得多，因此这个设计具有较大的实用意义． 田间试验误差的主要来源是讨论地的土壤差异．田间试验设计的主要目的就在于控制和减少因土壤差异而造成的误差，并能估计出无偏的误差值作为测定处理间差异显著性的依据，从而提高试验的精确度．随机区组设计的精确度不及拉丁方设计．随机区组设计只能控制一个方向的土壤差异，拉丁方设计可控制两个方向的土壤差异，但拉丁方设计的重复次数必须等于处理数，如处理数在６个以上，应用拉丁方设计时就会感到因重复次教的增加而增加试验的工作量以至于无法采用拉丁方设计．作者从多年的田间试验实践中提出一种“双向随机区组”设计，这种设计系在通常的随机区组设计的基础上演变而来，可控制纵横两个方向的土壤差异，提高试验的精确度，但小区数目与拉丁方设计相比要少得多，以至于使试验的工作量大大减少，能经济地利用人力和物力．目前所看到的田间试验设计尚无这种设计，故命名为“双向随机区组”设计．     

概周期线性系统与指数型二分法(英文)

本文讨论概周期线性系统具有指数型二分法与它的特征指数的关系。 考虑线性系统 dx/dt=A(t)x.其中A(t)是n×n方阵,它在实轴上连续和有界。如果(1)有基本方阵X(t),具有如下的分解 X(t)=X_1(t)+X_2(t),X~(-1)(s)=Z_1(s)+Z_2(s), X(t)X~(-1)(s)=X_1(t)Z_1(s)+X_2(t)Z_2(s). 同时有常数α,β>0,使 ‖X_1(t)Z_1(s)‖≤βexp(-α(t-s)),t≥S; ‖X_2(t)Z_2(s)‖≤βexp(α(t-s)),s≥t。就说(1)具有指数型二分法。 我们所得的结果,可叙述如下: 一、对拟周期线性系统,存在同频率的酉变换,把它化为三角型系统。从而推出: 若拟周期线性系统的特征指数异于零,则它具有指数型二分法。 二、对概周期线性系统。定义了广义的零特征指数。当它不具有广义的零特征指数,则该系统具有指数型二分法。 三、利用一和二的结果,解决了Hale所提的关于中心积分流形的存在性问题。     

λ等于2的差集表

设G(t)是t阶的加法群,A是元素属于G(t)的λt×k阶矩阵,如果A的任何两列的有序差,遍历G(t)的每个元素恰好λ次,则称A为G(t)上的差集表,记D(λt,k,t,2)。 显然,若G(t)又是有限域GF(t)时,GF(t)的乘法表是λ=1的D(t,t,t,2)差集表。若存在一个D(t,k,t,2),则存在k—1个相互正交的拉丁方。因此,λ=1的差集表的构造问题与正交拉丁方有着密切联系。一般地,Bose和Bush证明了,若     

利用矩阵构作多个结合类的结合方案

§1.引言 所谓m个结合类的结合方案指的是:设E是由v个元素所成的集合,其中元素称为处理;在处理之间有m种结合关系,设处理V_1和V_2有第i种结合关系,则记作(V_1,V_2)=i(1≤i≤m)。这v个处理对于这m个结合关系满足以下条件: (i)任给两个不处理V_1和V_2,总有唯一的i(1≤i≤m)使得(V_1,V_2)=i,并且当(V_1,V_2)=i时,总有(V_2,V_1)=i; (ii)任意给定一个处理V,对于一个i(1≤i≤m),那么,与V有第i种结合关系的处理共有n_i个,而数n_i与V的选择无关;     

介绍一种任意奇数阶幻方的简便构造方法

一、幻方: 幻方是一种数字方阵,通常是指由1至n2,这n2个自然数构成的方阵,这种方阵的每一横行、每一竖列,以至于每条对角线上的n个数的和都等于:     

三个两两正交对角拉丁方

对角拉丁方是主对角线和反对角线均为截态的拉丁方。本文证明了除28个可能的例外,当n≥7时存在三个两两正交的n阶对角拉丁方,其中118是最大可能的例外值。