多种方法巧证概率积分∫+∞ -∞ 1/(√2)π·e-x2/2dx＝1

利用变量代换，微分中值定理，积分几何意义，积分性质及夹逼定理，Γ-函数和β-函数关系等方法，对服从标准正态分布的随机变量X，其密度函数的概率积分公式，给出了多种证明方法。     

概率积分integral form n=-∞ to ∞ e~(-x~2)dx=π～(1/2)的两种求法

本文借用几何直观和力学意义,在直角坐标系下用两种方法证明integral form n=-∞to ∞e~(-x~2)dx=π～(1/2)。方法一在有关的广义积分收敛的条件下,我们把旋转体积概念推广到积分限为无穷的情况。xoy面上的曲线y=e~(-x~2)绕y轴旋转一周,所得旋转体的体积为(如图)     

sum from n=1 to +∞(1/n~(2m))的初等解法

本文用初等的方法研究sum from n=1 to(1/n~(2m))(m∈N)的求和问题。这个问题最先由Euler[8]解决。文献[1][6]给出了另两种求解方法。特别地,对于m=1的情形,即sum from n=1 to ∞(1/n~2)=((π~2)/6),已有许多不同的证明方法,可见文献[2][3][4][5]以及那里的参考文献。本文的想法,主要受文献[5][6]的启发而来的。     

用留数计算∫from x=-∞ to ∞ (R(x)e~(αix)dx)型积分注记

用留数计算积分∫from x=-∞ to ∞ (R(x)e~(αix)dx)(α>0)的方法可推广到α<0的情形,并举例计算一个函数的傅氏变换.     

幂级数sun from n=0 to ∞((2n)!/(n!)~2(1/2)~(2n))的收敛性讨论

利用stirling公式和阿拉伯判别法可证级数sun from n=0 to ∞((2n)!/(n!)~2(1/2)~(2n))发散,但其相应的交错级数条件收敛.     

概率积分integral from n=0 to ∞(e~(-x~2)dx)的一个新算法

关于概率积分I=integral from n=0 to ∞ (e~(-x~2)dx)的计算,已有多种方法,但是这些方法或者用到较深的预备知识,或者计算量很大,对于仅仅学过初等微积分的学生来讲难以消化。由于概率积分的重要性,寻求一个所需预备知识少而又简便的算法是令人感兴趣的,下面介绍这样的一个算法:     

概率积分integral from n=0 to ∞(e~(-x~2)dx)的一种算法

概率积分integral from n=0 to ∞(e~(-x2)dx)已有多种计算方法,各有优缺点,本文再给出一种算法,谨供读者选择。     

概率积分integral from n=0 to ∞(e~(-x~2)dx)的一种简明算法

计算该积分的方法已有很多种,鉴于此积分在概率论中的重要性,本文再向读者提供一种在直角坐标系下计算该积分的简明方法.     

关于sum from n=1 to ∞(1/n~2=π~2/6)的证明及应用

鉴于欧拉求得的无穷级数∑∞n=11n2收敛于π26的特殊性和重要性,用列举与对比的方法又给出了∑∞n=11n2=π26的若干不同的证明方法及其应用.     

关于sum from n=1 to ∞(1/n~2=π~2/6)的证明及应用

鉴于欧拉求得的无穷级数∑∞n=11n2收敛于π26的特殊性和重要性,用列举与对比的方法又给出了∑∞n=11n2=π26的若干不同的证明方法及其应用.     

不等式sum from k=1 to n(x_k~2/y_k)≥(sum from k=1 to n (x_k))~2/(sum from k=1 to n (y_k))的应用

本文试图通过一串竟赛题谈一谈(*)的广泛应用。这些竞赛题虽有一定难度,但只要利用不等式(*)来证明,则问题十分简捷合理,新     

不利用极坐标计算积分integral from n=0 to ∞(e~(-x~2)dx)

统计学中的重要积分I=integral from n=0 to ∞(e~(-x~2)dx的值,在一般积分学教程中都是通过极坐标变量替换求得其值为I=π~(1/2)/2. 本文将介绍另一种求I的方法.请注意这里不再利用极坐标来计算     

级数sum from n=1 to ∞((1/n~2) e~(-(z~2/n~2))与Riemann Zeta函数

<正> Riemano Zeta函数的两个积分表达式,并同时得到函数方程的三个不同证明.     

广义积分integral from n=o to π/2(ln~2sinxdx)的计算

利用部分函数的级数展开,给出广义积分integral from n=o to π/2(ln~2sinxdx)的计算,这种方法和证明过程很有特色.     

求sun from n=1 to ∞ (1/n) K~2与sun from n=1 to ∞ (1/n) K~3的两种简单方法

几何法(l)求艺k: 含.!令k二l,2,3、…,n.对每一个k的位,作如图l所示的边一长为介的正方形4个,如图2所示的边长分别为1,无艺的矩形2个。技图3所示方式,将它们排列成涡形状。于是所有这些小块方形,拼成了一个如图3所示的矩形(利用数学归纳法,读者不难证lljl)。 丫对每一个k的值,所作6个小块方形而积之和为6k2,┌──┐│寿名│└──┘:.所拼矩形的面积二6艺k,11下卜一尸一一一叫已二立二习图2 另一方面,由图3一可知,这个矩形的长为如十卜宽为。’+,二。(。十l),所以又有 所拼矩j卜的面积=n(n+l)(Zn+l)。从而有6艺k艺=,,(“+1)(2,,+1) 山1┌…     

无穷级数sum from n=1 to ∞(1/(2n-1)~(2k))的一种计算方法

根据无穷多项式理论,将余弦函数的幂级数展开式构造成无穷乘积的形式.并且利用ln(1+x)幂级数展开,得到sum from n=1 to ∞(1/(2n-1)～(2k))(k为正整数)的一种计算方法.     

一类广义积分integral from n=0 to ∞(((sin(θ_x))/x)~ndx)的计算

利用三角函数幂公式、L′Hospital法则、分部积分公式,得到含有三角函数的第一类广义积分integral from n=0 to ∞(((sin(θ_x))/x)~ndx)的计算公式,其中n≥1且θ≠0.     

一类广义积分integral from n=(-∞) to (+∞)(((sin~nx)/x~r)dx)的计算

在不涉及Hadamard主值积分的情况下,利用推广的留数定理,给出了广义积分integral from n=(-∞) to (+∞)(((sin~nx)/x~r)dx)的一种求值方法.     

方程(t)=-x〔t-π/(33~(1/2))〕-x〔t-2π/(33~(1/2))〕周期解的部分表达式

]文 [1 ]给出了一类具两个滞量的方程存在周期解的充分条件 ,但并没有给出周期解的表达式 .本文给出了方程 x( t) =-x t-π3 3-x t-2π3 3周期解的部分表达式 .     

欧拉(Euler)公式sum from n=1 to ∞(1/n~2)=π~2/6的一个证明

级数方面的真正广阔的工作是1730年左右从欧拉开始的,其间,他几乎从不间断地与伯努利(Bernoulli)家族的成员及哥德巴赫等人保持联系,认真讨论级数问题.