一个命题的再研究

命题　△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，求证　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｂｃ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣｃａ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡａｂ　≥０．（１）（《数学通报》１９９７年５月号问题１０７２）文［１］对上述命题给出了一种简捷证法．通过对（１）式证法的研究，笔者得到了以下几个命题．命题１　设△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，则有：　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｃａ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣａｂ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡｂｃ　≤０．（２）证明　由正弦定理知，不等式（２）等价于ａ－ｂｃａ＋ｂ－ｃａｂ＋…     

一条件恒等式证明之我见

一条件恒等式证明之我见徐鸿迟（江苏省泰州中学２２５３００）考察这样的问题：已知ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂｃ，求证ａ（１－ｂ２）（１－ｃ２）＋ｂ（１－ｃ２）（１－ａ２）＋ｃ（１－ａ２）（１－ｂ２）＝４ａｂｃ．徐南昌在［１］中用数学审美的目光发现了下面的“证法”：...     

一组重要不等式的次数特征及应用

高中教材上有这么一组重要的不等式：ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ,ｂ∈Ｒ）,ａ＋ｂ２≥ａｂ（ａ,ｂ∈Ｒ＋）,ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）,ａ＋ｂ＋ｃ３≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）．我们对这组不等式的次数作如下分析：当我们把ａ,ｂ,ｃ都看成变量时,上述不等式左右两边的次数相同;当我们把ａ看成变量,而把ｂ,ｃ看作常数时,则上述不等式左右两边的次数不同．基于这些认识,当我们在证明某些左右次数不同的不等式时,可采用如下对策．１．同次转化：利用已知条件,将待证的不等式转化为左右同次式,再来求证…     

两道著名不等式等价性证明的启示

贵刊文［１］通过构造恒等式　　ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ－ａ＋ｂ＋ｃ２　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ－３２）巧妙地证明了著名不等式（１）、（２）的等价性：命题１　（１９６３年莫斯科竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：　ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．（１）命题２　（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（２）受其启发,我们可得更为一般的结论：设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ,则　ａｎｂ＋ｃ＋ｂｎｃ＋ａ＋ｃ…     

一道IMO题的对偶式与面积解释

第２４届ＩＭＯ第６题是：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：ａ２ｂ（ａ－ｂ）＋ｂ２ｃ（ｂ－ｃ）＋ｃ２ａ（ｃ－ａ）≥０．（１）文［１］指出了它的下述对偶形式：ａｂ２（ａ－ｂ）＋ｂｃ２（ｂ－ｃ）＋ｃａ２（ｃ－ａ）≤０，（２）并给出了统一的距离解释．即不等式（１）、（２）的几何解释为：三角形内Ｂｒｏｃａｒｄ点到内心的距离非负．受此启发，笔者研究了第６届ＩＭＯ第２题：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：　ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ２（ａ＋ｃ－ｂ）＋ｃ２（ａ＋ｂ－ｃ）≤３ａｂｃ，（３）发现它也有如下的…     

数学问题解答

１９９９年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１７１已知：ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,且ａｂｃ≤１．求证：ａ＋ｂｃ＋ｂ＋ｃａ＋ｃ＋ａｂ≥２（ａ＋ｂ＋ｃ）（１）证明（ｉ）当ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ时,ａ＋ｂｃ＋ａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）（１ｃ＋１）≥（ａ＋ｂ）（...     

一个不等式的证法与推广

若ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,且ａ＋ｂ＋ｃ＝１,则ｂｃａ＋ａｃｂ＋ａｂｃ＋ａｂｃ＋ｂａｃ＋ｃａｂ≥１０．证明ｂｃａ＋ａｃｂ＋ａｂｃ＋ａｂｃ＋ｂａｃ＋ｃａｂ＝１２［ａ（ｃｂ＋ｂｃ）＋ｂ（ｃａ＋ａｃ）＋ｃ（ｂａ＋ａｂ）＋１ａ（ｃｂ＋ｂｃ）＋１ｂ（ｃａ＋ａｃ）＋１ｃ...     

十二省市(辽宁、云南、湖南、乌鲁木齐、昆明、哈尔滨、山西、广西、西宁、河南、嘉兴等、甘肃)填空题集萃

数与式１．计算９３ｘ－７１２ｘ＋２６·３８ｘ＝．２．－１３的倒数是．３．（－６）２＝．４．２０００用科学记数法表示为．５．ａ的３倍与ｂ的一半的和用代数式表示为．６．分解因式ａ２－２ａｂ＋ｂ２－ｃ２＝．７．配上适当的数,使等式ｘ２－ｘ＋１＝（ｘ－）２＋成立．８．３５的相反数是,｜－６｜＝．９．用科学记数法表示：５７００００＝．１０．分解因式：ａ－ａｂ２＝．１１．已知线段ａ＝４ｃｍ,ｂ＝９ｃｍ,则线段ａ、ｂ的比例中项ｃ＝ｃｍ．１２．化简：ａ（ａ－１）２－（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）＝．１３．计算：（ａ…     

一道IMO数论试题的实多项式模拟

１９８８年,联邦德国为第２９届ＩＭＯ提供了下面这道有名的数论试题：已知正整数ａ与ｂ,使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２,求证ａ２＋ｂ２ａｂ＋１是某个正整数的平方．在［１］里,我们证明了如下的精确结果：若正整数ａ与ｂ使得ａｂ＋１整除ａ２＋ｂ２,则必有ａ２＋ｂ２ａｂ＋１＝（ａ,ｂ）２,这里（ａ,ｂ）是ａ和ｂ的最大公约数．在［２］里,我们把这个结果进一步地推广为如下形式：如果ａ、ｂ、ｃ都是正整数,使得０＜ａ２＋ｂ２－ａｂｃ≤ｃ＋１,那么ａ２＋ｂ２－ａｂｃ＝（ａ,ｂ）２,其中（ａ,ｂ）为ａ和ｂ的最大公约数．在…     

巧证定理:a~3 b~3 c~3≥3abc(a,b,c∈R~ )

介绍一种定理证明的较简单的方法：∵ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋∴（ａ３＋ｂ３）＋（ｃ３＋ａｂｃ）≥２ａ３ｂ３＋２ａｂｃ４≥２·２ａ３ｂ３·ａｂｃ４＝４ａｂｃ∴ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ并且仅当ａ３＝ｂ３，ｃ３＝ａｂｃ，且ａ３ｂ３＝ａｂｃ４ａ＝ｂ＝ｃ时，上式才取等...     

构造二次函数证明不等式举例

我在教学中发现：对有些不等式的证明,可根据不等式的特点,用构造二次函数的方法加以解决;本文结合具体例子,谈谈怎样构造二次函数证明不等式;１　确定主元构造例１　设ａ、ｂ都是实数,求证：ａ２＋ｂ２≥ａ＋ｂ＋ａｂ－１．分析　求证结论是二元二次对称不等式,可以ａ（或ｂ）为主元构造二次函数;证明　设ｆ（ａ）＝ａ２－（ｂ＋１）ａ＋ｂ２－ｂ＋１．因二次项系数大于零,且Δ＝〔－（ｂ＋１）〕２－４（ｂ２－ｂ＋１）＝－３（ｂ－１）２≤０故ｆ（ａ）≥０,即ａ２＋ｂ２≥ａ＋ｂ＋ａｂ－１．２　根据判别式构造例２　设实数ａ…     

构造二项平方和函数证不等式

对于某些不等式证明题,我们若能根据其条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数：ｆ（ｘ）＝（ａ１ｘ－ｂ１）２＋（ａ２ｘ－ｂ２）２＋…＋（ａｎｘ－ｂｎ）２,由ｆ（ｘ）≥０,得Δ≤０,就可以使一些用一般方法处理较繁的问题,获得简捷、明快的证明．例１　已知ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（第二届“友谊杯”国际数学邀请赛题）证　构造函数ｆ（ｘ）＝（ａｂ＋ｃｘ－ｂ＋ｃ）２＋（ｂｃ＋ａｘ－ｃ＋ａ）２＋（ｃａ＋ｂｘ－ａ＋ｂ）２＝（ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋…     

一类分式不等式的统一证法

不等式ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ、ｂ∈Ｒ）及其变形的应用已被人们广泛研究，笔者在教学中发现：如用ａｂ、ｂλ分别代替ａ、ｂ得一含参数的不等式ａ２ｂ≥２ａλ－ｂλ２　（ｂ＞０，λ＞０，ａ∈Ｒ）（）利用（）可得一类分式不等式的统一证法：首先对要证的不等式进行适当变形，然后通过待定系数法求出λ，即得要证的不等式．这种证明方法具有思路单一，操作方便，学生易接受的特点．现以竞赛题、征解题为例进行说明．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋，试证：ａ２ａ＋ｂ＋ｂ２ｂ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｃ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（《数学通报》１９９５年第…     

也谈两个不等式的统一

《数学通报》１９９７年第１０期，给出了《数学通报》１９９６年第５期第１０１３题：“设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且ａｂｃ＝１，试证：１ａ３（ｂ＋ｃ）＋１ｂ３（ｃ＋ａ）＋１ｃ３（ａ＋ｂ）≥３２以及《数学通报》１９９７年第２期第１０５８题：在上题同样的条件下试证：...     

整式目标测试题(一)

一、判断正误（每题２分）１．单项式ｘ的系数是０,次数是１．（　２．三次二项式ａ２＋ｂ３的常数项是０．（　）３．多项式ｘ３－１３ｂ４ｙ＋３ｙ２ｘ是按ｙ升幂排列的．（　）４．１３ｐ２ｑ与－９ｑ２ｐ是同类项．（　）５．（－ｍ＋ｎ）－２（ｃ＋ｄ）＝ｍ＋ｎ－２ｃ＋２ｄ．（　）二、填空题（每空３分）１．代数式２ｘ,ｘ２,ａ２ｂｃ２,ａ２２＋ｂ２－０．４ａ２,ｘ－２中单项式是,多项式是．２．单项式－２ｘ２ｙ３的系数是,－２ａｂ２５的系数是．３．多项式ａ３－６ａ２ｂ－ａｂ２＋ａ２ｂ的项数是,次数是．４．２ｘ３ｙ…     

分式目标检测题(A)

一、判断题（每小题２分,共１０分）１．含有分母的代数式是分式．（　）２．整式和分式统称有理式．（　）３．ａ２－ｂ２ａ＋ｂ＝ａ２－ｂ２÷ａ＋ｂ．（　）４．－ａｂ＝ａ－ｂ＝－ａｂ．（　）５．当ａ≠０时,方程ａｘ－ｂ＝０的解是ｘ＝ｂａ．（　）二、填空题（每小题２分,共２０分）１．有理式－ａ２,１ｘ,－２ｘ３,ｎ－１３ｍ,１ｘ－２ｙ中,属于分式的有个．２．当ｘ＝时,分式ｘ－３２ｘ＋１的值为零,当ｘ时,分式ｘ２ｘ－３有意义．３．（１）ｙｘ＝（　　）ｘ２,（２）ｃ２ａｂ＝ｃ２（　　）（ｃ≠０）４．使分式２３…     

一个不等式的简洁证明

在江苏省吴县市召开的’９９全国不等式研究学术会议上,中国科学院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件ＢＯＴＴＥＭＡ给出以下不等式的一个“机器证明”：若ａ、ｂ、ｃ为正数,则ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ＞２．这里,笔者给出此不等式的一个简洁的“可读证明”．证明　∵　（ｂ＋ｃ－ａ）２≥０,∴　（ａ＋ｂ＋ｃ）２≥４ａ（ｂ＋ｃ）,∴　１ｂ＋ｃ≥４ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）２,∴　ａｂ＋ｃ≥２ａａ＋ｂ＋ｃ,同理可得　ｂｃ＋ａ≥２ｂａ＋ｂ＋ｃ,ｃａ＋ｂ≥２ｃａ＋ｂ＋ｃ．以上三式相加,且注意到三式等号不同时成立,便得ａ…     

用比较法证明一类不等式

近年来,中学数学刊物和数学竞赛题中经常出现大量新颖的三元对称分式不等式．其证明方法也较独特巧妙,如利用均值不等式、柯西不等式、排序原理等．它们一般不易被中学生想到或接受．为此,笔者在教学中向学生介绍了证明不等式的原始方法——作差比较法,结合恒等变形,构造完全平方式,学生反应此方法简单易行．下面列举数例,供同行教学时参考．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋．求证：ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．证明　左边－右边＝２ａ－ｂ－ｃ２（ｂ＋ｃ）＋２ｂ－ｃ－ａ２（ｃ＋ａ）＋２ｃ－ａ－ｂ２（ａ＋ｂ）＝ａ－ｂ＋ａ－ｃ…     

两道著名不等式等价关系的一个简证

命题１（１９６３年莫斯科竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．命题２（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．对于这两个著名问题,许多数学前辈都给出了...     

一道夏令营选拔赛试题推广的加强与再推广

１９９２年江苏省数学夏令营选拔赛试题第二题：已知三角形的三边长为ａ，ｂ，ｃ．求证：２ａ２＋ｂ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｃ２＋ａ２ａ＋ｂ＋ｃ＜３（１）文［１］将其推广为：已知三角形的三边长为ａ，ｂ，ｃ，λ∈［－２，２］，则２＋λ１ａ＋ｂ＋ｃ（ａ２＋λａｂ＋ｂ...