Type des orbites périodiques des flots associés à des lagrangiens optiques homogènes

Résumé. Soit L : T M → ℝ un lagrangien optique et homogène dans la fibre défini sur le fibré tangent d’une variété orientable de dimension n et γ un lacet régulier 1-périodique qui est un point critique non dégénéré d’indice p de l’action lagrangienne associée à L (il lui correspond alors un point périodique (x, v) du flot d’Euler-Lagrange (φ_t )). Soit T une transversale en (x, v) au champ de vecteurs dans la surface d’énergie et P l’application de premier retour de Poincaré dans cette transversale; on montre alors que le nombre de Lefschetz pour P en (x, v) est (−1)^n−1+p. On en déduit que si 2n_h est le nombre de multiplicateurs de Floquet réels strictement positifs et non nuls, alors: n_h = n − 1 + p (mod 2). On explique comment déduire qu’un lagrangien optique quelconque défini sur le fibré tangent d’une variété orientable compacte de dimension paire de π₁ non trivial a une une orbite périodique qui est soit dégénérée, soit a un exposant de Floquet hyperbolique dans tout niveau d’énergie au dessus du niveau critique de Ma?é.      

On the isometries of ideal polyhedra

Résumé  On montre que siX est un polyèdre idéal complet fini satisfaisant la condition CAT(−1) locale, alors toute isométrie deX homotope à l’identité est l’identité, pourvu queπ ₁(X) ne soit pas élémentaire. On montre aussi que le groupe des isométies deX est fini.      

Lifting chains of prime ideals to paravaluation rings

Résumé  SoitR ⊂T une extension des anneaux commutatifs et soit {P _α :α ∈I} une cha?ne croissante des idéaux premiers deR (I étant un ensemble totalement ordonné, peut-être infini). Alors il existe un anneau de paravaluationV deT et une cha?ne {Q _α} des idéaux premiers deV de sorte queR ⊂V etQ _α ∩R =P _α pour toutα ∈I. Tout d’abord, on établit le cas spécial dans lequelT est un corps; dans ce cas, on trouve en effet un tel anneau de valuationV deT. Ensuite, l’assertion ci-dessus pour le cas général découle comme conséquence. Dans le cas général, on peut aussi remplacer le mot “paravaluation” avec le mot “valuation” siR est un anneau de Marot etT est son anneau total de fractions.      

Immagini inverse dei gruppi di omotopia

Riassunto SeM edN sono varietà poliedriche chiuse connesse ed orientate di dimensioni rispettivem edn, conm≥n>2, edf∶M→N è una trasformazione continua, allora per ognir, minore din e non inferiore a 2, si definisce un omomorfismo indotto ϕ_rπ:_r (N)→H _m-n+r (M) dal quale si ricavano certi invarianti topologici.

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Résumé Soientm≥n>r≥2 des entiers etM, N des variétés polyédrales closes connexes orientées satisfaisant dimM=m et dimN=n, de plusH _i(M) le groupe de Betti à i dimensions deM,M,π _i (N) le groupe de Hurewicz ài dimensions deN, etf∶M→N une application continue. Alorsf définit, pour,r=2, 3, …n−1, un homomorphisme réciproque ϕ_rπ:_r (N)→H _m-n+r (M) comme il suit. Etant donné un élément α du groupe π_r (N) et uner-sphère continue orientéeS de α, on peut supposer quef ⁻¹(S) soit un polyèdre finiA àm−n+r dimensions. Parf est induit dansA un (m−n+r)-cyclez à coefficients entiers, et la classe d'homologie dez est justement l'image ϕr(α) de α par ϕr. Pourr=1, on obtient un homomorphisme réciproque ϕ_rπ:_r (N)→H _m-n+r (M) du groupe fondamentalF(N) deN dans le groupe d'homologie àm−n+1 dimensions deM. A l'aide des homomorphismes ϕ,,ϕ2,ϕ,3...,ϕn-i, on parvient à certaines expressions caractéristiques dépendantes seulement de la classe d'homotopie def, en particulier on obtient des constantes pour les images des bases de Betti deM, pour Fimage du groupe de torsion deM, et pour l'image réciproque du groupe fondamental deN.

     

Sur le problème de Plateau pour un quadrilatère variable qui peut acquérir un point double

Résumé Soit Γ un quadrilatère variable, dont deux c?tés opposés A₂A₃, A₁A₄ sont dans les plans x₃=c, x₃=−c. Quand c tend vers0, Γ tend vers un quadrilatèreΓ ⁰ présentant un point double, A⁰. Le travail étudie la représentation conforme sur le demi-plan R(ix)<0 (ou sur le cercle - unité) de la surface minimale ∑ passant par Γ. Il montre (§ I) que si les affixes x de A₁, A₂, A₄ sont 0, 1, ∞, l'affixe de A₃ sera ɛ⁻², où ɛ tend vers 0 avec c. Il étudie (§ II) l'allure pour ɛ tendant vers 0 des intégrales canoniques de l'équation linéaire du problème. La forme de la relation entre ɛ et c est indiquée au n^o 19; on montre que dans la région de striction ɛ |x| reste borné et que la surface ∑ y est assimilable à une surface minimale simple: la surface de vis à filet carré. La représentation conforme de l'une des deux régions de ∑ qui tendent à se séparer l'une de l'autre tend à envahir tout le demi-plan (ou tout le cercle-unité). Les représentations conformes de ∑ pour c>0 et c<0 ne sont pas analytiquement distinctes (n⁰ 20). A titre d'exemple, on étudie (n⁰ 21) le cas où ∑ possède un axe de symétrie. A M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique     

Fragmented domains have infinite Krull dimension

Résumé  On dit qu'un anneau intègreR est fragmenté si pour tout élément non-inversibler deR, il existe un élément non-inversibles deR tel que r∈∩Rs ⁿ. On montre, pour un anneau intègreR qui n'est pas un corps, qu'il existe un idéal maximal deR qui contient une cha?ne strictement croissante d'idéaux premiers deR. Si, de plus,R n'ax qu'un nombre fini d'idéaux maximaux, alors on peut reformuler l'affirmation précédente pour tout idéal maximal deR. Il découle que toute anneau intègreR, qui n'est pas un corps et qui possède un idéal premierP tel queR+PR _p soit fragmenté, doit être de dimension infinie (au sens de Krull). On donne un exemple d'un tel anneauR qui n'est pas fragmenté.      

Sur la distribution des point extrémaux dans les ensembles plans

Résumé Soit E un ensemble plan et η _i ⁽ⁿ⁾ , η ₂ ⁽ⁿ⁾ , ..., η _n ⁽ⁿ⁾ un système de n points de E tels que le produit de leurs distances mutuelles soit le plus grand. La Note est consacrée aux propriétés de la distribution de ces points extrémaux dans E pour n=2, 3, 4, .... à Mauro Picone pour son 70^me anniversaire.     

A uniqueness proof for a class of fluid motions through inhomogeneous porous media

Résumé Le mouvement plan d'un fluide incompressible est considéré dans un milieu poreux nonhomogène. Une courbe ferméeC divise le plan en deux domaines. Les coefficients de filtration du milieu poreux de ces domaines respectifs ont les valeurs constantesk ₁ etk ₂. On trouve queC est un cercle ou une ellipse quand le courant est uniforme à grande distance et que le fluide a une vitesse constante à l'intérieur deC.     

Espaces de Thom et contre-exemples de J.L. Verdier et M. Goresky

Résumé SoitS une variété algébrique complexe singulière, de dimension réelle 2s. M.H. Schwartz et R. Mac-Pherson ont défini des classes caractéristiques, généralisation des classes de Chern, dans l'homologie deS (de telles classes n'existent pas en cohomologie). D'autre part l'homomorphisme de PoincaréH ^2s−⋆ (S)→H _⋆ (S) n'est en géneral, ni injectif, ni surjectif. Cet homomorphisme se factorise par l'homologie d'intersectionIH _⋆ (S). Il est naturel de se demander quel est le “comportement” des classes deS (classes de M.H. Schwartz-R. Mac-Pherson) vis-à-vis du morphisme canonique α:IH _⋆(S)→H_⋆(S). J. L. Verdier a construit un exemple dans lequel, le morphisme canonique α n'étant pas injectif, les classes deS peuvent ètre réalisées de plusieurs manières comme images de classes de Chern de variétés lisses, désingularisations deS, et dont l'homologie est isomorphe àIH _⋆ (S). M. Goresky a construit une variation de cet exemple dans laquelle les classes de Chern ne sont pas dans l'image de α. Nous montrons que ces deux exemples sont cas particuliers d'une même situation:S est un espace de Thom associé à un plongement d'une variétéB dans un espaceIP ^k . L'essentiel de cet article a été écrit lors d'un séjour des auteurs à l'Université du Rio Grande do Sul (Porto-Alegre-Brésil), sur invitation de M. Sebastiani. Nous le remercions ici, ainsi que l'Université de Porto-Alegre, de leur accueil et de leur hospitalité      

Going-down pairs of commutative rings

Résumé  D'après D. E. Dobbs, Houston J. Math. 23 (1997), 1–11, nous disons que l'anneau (commutatif)A est un anneau-“going-down” siA/P est un domaine-“going-down” pour chaque idéal premier deA. Etant donné une extension,R⊆T, nous disons que (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” (respectivement, une paire “going-down”) siS est un anneau-“going-down” pour chaque anneau tels queR⊆S⊆T (resp., si “going-down” est satisfait par chaque extension d'anneauxA⊆B tels queR⊆A⊆B⊆T). On montre que siR est un anneau de la dimension 0 (au sens de Krull), alors (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” si et seulement sitr.deg. _R/(P∩R) T/P≤1 pour chaque idéal premier minimalP deT. Des résultats partiels sont obtenus quandR n'est pas de dimension 0. En outre, si (R, T) est une paire d'anneaux-“going-down” tel queT ait un seul idéal premier minimal, alors (R, T) est une paire “going-down”. Des résultats dans l'esprit ci-dessus sont également obtenus pour quelques autres types de paires.

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This paper is taken from the author's doctoral dissertation of May 2000, written under the direction of Professor David E. Dobbs of the University of Tennessee, Knoxville.