带磁场多临界非局部椭圆问题的多解

该文考虑下列带磁场的多临界非局部椭圆方程■多解的存在性,其中Ω是R^N中带光滑边界的有界区域,N≥4,i是虚数单位,2_s~*=(N+α_s)/(N-2),N-4<α_s 0并且2≤p <2~*=2N/(N-2).假定磁向量位势A(x)=(A₁(x),A₂ (x),…,A_N(x))取实值并且满足局部H?lder连续.该文利用Ljusternik-Schnirelman理论证明了当λ较小时,方程(0.1)至少有cat_Ω(Ω)个非平凡解.     

整数环上一类矩阵方程Xn+Yn=λnI(n∈N,λ∈Z,λ≠0)的解

设Z,N分别是全体整数和正整数的集合,M_m(Z)表示Z上m阶方阵的集合.本文运用Fermat大定理的结果证明了:对于取定的次数n∈N,n≥3,二阶矩阵方程Xⁿ+Yⁿ=λⁿI(λ∈Z,λ≠0,X,Y∈M₂(Z),且X有一个特征值为有理数)只有平凡解;利用本原素因子的结果得到二阶矩阵方程Xⁿ+Yⁿ=(±1)ⁿI(n∈N,n≥3,X,Y∈M₂(Z))有非平凡解当且仅当n=4或gcd(n,6)=1且给出了全部非平凡解;通过构造整数矩阵的方法,证明了下面的矩阵方程有无穷多组非平凡解:■n∈N,Xⁿ+Yⁿ=λⁿI(λ∈Z,λ≠0,X,Y∈M_n(Z));X³+Y³=λ³I(λ∈Z,λ≠0,m∈N,m≥2,X,Y∈M_m(Z)).     

次临界Choquard方程的多解

该文考虑次临界Choquard方程■(0.1)多解的存在性,其中N> 3,λ是正实参数,p_ε=2_μ^*-ε,ε> 0,0 <μμ^*=(2N-μ)/(N-2)是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.假定Ω:=int V^-1(0)是R^N中非空带光滑边界的有界区域,利用Lusternik-Schnirelman定理,该文证明了当λ足够大及ε充分小时,方程(0.1)至少有cat_Ω(Ω)个正解.     

一类带临界指标的非自治Kirchhoff型方程非平凡解的存在性

该文研究下列非自治Kirchhoff型方程M (∫_R^N|▽u(x)|²+∫_R^N V(x)|u(x)|²)(-Δu+V(x)u)=λK(x)f(u)+u⁵,x∈R³非平凡解的存在性.其中,位势V(x)和K(x)在无穷远处消失,λ是一个大于零的参数.该文证明:存在λ^*> 0,当λ≥λ^*时,上述方程至少有一个非平凡解u_λ.     

质量临界非齐次薛定谔方程在门槛值处的极限行为

该文研究如下与时间无关的具有吸引相互作用的临界非齐次薛定谔方程-△u+|x|²u-am(x)|u|^4/Nu=μu,in R^N,N≥1,其中a> 0且0 0及适合的0≤g(x)<1,令m(x)=1-λg(x),证明该方程在阈值a=a^*处基态解的存在性,并给出λ→0⁺时基态解的极限行为.这些结论推广了Deng,Guo和Lu^[10,11]的结果.特别地,该文使用了一种直接而更简单的方法得到能量的下界.     

临界双调和方程非平凡解的存在性

在有界光滑区域Ω∈R~N(N4)上,研究双调和方程△~2u-λu=|u|~(2_*-2)u,x∈Ω,u=(δu)/(δn)=0,x∈δΩ,其中2_*=2N/(N-4)是临界指数.对于任意的λ0,利用变分方法可以得到上面方程非平凡解的存在性.     

双挠积复Finsler流形的局部对偶平坦性

设(M₁,F₁)和(M₂,F₂)是两个强凸的复Finsler流形,λ₁和λ₂是乘积流形M=M₁×M₂上的光滑实值函数,双挠积复Finsler流形(M₁×(λ₁,λ₂) M2,F)是在乘积流形上赋予了复Finsler度量F²=λ₁²F₁²+λ₂²F₂²的复Finsler流形.本文给出了双挠积复Finsler流形是局部对偶平坦流形的充要条件.     

关于反平均数的2个上界

对于整数k,θ≥3,β≥1,称k个元素集合S为（k;β,θ）⁰自由集,如果S的最小元素为0且它没有互不相同的元素a_ij∈S(1≤j≤θ使得∑_j=1^θ-1a_ij=βa_iθ成立,S的最大元素记为max（S）.反平均数定义为λ（k;β,θ）=min{max（S）:S是（k;β,θ）⁰自由集}.给出反平均数λ（k;β,θ）的2个界.     

因子von Neumann代数正锥上的凸序列积自同构

设H是复Hilbert空间,M是H上维数大于1的因子von Neumann代数,M₊是M的正锥.设λ∈[0,1],定义Ao_λ=λA^1/2BA^1/2+(1-λ)B^1/2AB^1/2,?A,B∈M₊,称o_λ为M₊上的凸序列积.本文证明了M₊上的凸序列积自同构是由M的一个*-同构或*-反同构实现.     

一类带临界Sobolev指数及有拟超临界Neumann边界条件的椭圆方程正解的多重性

本文讨论了Ω上如下一类带临界增长的椭圆方程在拟超临界的Neumann边界条件下正解的存在性:-Div(| u |p-2 u) =λum up*-1,-| u |p-2 u ν=ψ(x)uq-1,x∈Ω,x∈Ω.这里Ω∈RN,(N≥3)是光滑有界区域, 1≤p < N,0< m < p-1,(N -1)pN - p= p*N-1 ≤q < p*,其中p* =NpN - p是W1,p(Ω)→Ls(Ω)的Sobolev临界指数,p*N-1 =(N -1)pN - p是W1,p(Ω)→Lt( Ω)的在(N-1)维流形上的临界指数,λ>0是一个正参数.     

一类带调和势的非线性Schrödinger方程在RN中的整体解存在的门槛

本文考虑一类带调和势的非线性Schrodinger方程iψt=-△ψ+|x|2ψ-μ|ψ|p-1ψ-λ|ψ|q-1ψ,x∈RN,t≥0,其中μ＞0,λ＞0.当N=1,2时,1＜p＜q＜∞;当N≥3时,1＜p＜q＜N+2/N-2.运用精巧的变分方法、势井方法和凸方法,得到了方程的整体解和爆破解存在的门槛.进一步回答了当q＞p＞1+4/N时,方程的Cauchy问题的初值小到什么程度,其整体解存在?.     

一类带调和势的非线性Schr(O)dinger方程在RN中的整体解存在的门槛

本文考虑一类带调和势的非线性Schrodinger方程iψt=-△ψ+|x|2ψ-μ|ψ|p-1ψ-λ|ψ|q-1ψ,x∈RN,t≥0,其中μ＞0,λ＞0.当N=1,2时,1＜p＜q＜∞;当N≥3时,1＜p＜q＜N+2/N-2.运用精巧的变分方法、势井方法和凸方法,得到了方程的整体解和爆破解存在的门槛.进一步回答了:当q＞p＞1+4/N时,方程的Cauchy问题的初值小到什么程度,其整体解存在?.     

具有奇异势的拟线性分数阶扩散方程解的爆破性

文章考虑一类具有奇异势的拟线性分数阶反应扩散方程,其中(-?)^s(0 1, 2

s^*,且p <2m,2_s^*=(2N)/(N-2s)为分数阶Sobolev迹嵌入不等式的临界指数,?为R^N中具有光滑边界的有界域.由于(-?)^s的非局部性,通过Caffarelli-Silvestre扩展方法,将非局部性问题等价的转化为具有动力边界条件的局部椭圆型方程定解问题.在此基础上,利用位势阱,得到全局解的衰减估计和长时间渐近性态;并利用凹函数法得到局部解的爆破性.     

弱分段Koszul模(英文)

任意一个弱分段Koszul模M都被证明存在一个自然的分次子模链0=U₀（?）U₁（?）U₂（?）…（?） U_t=M使得每个商U_i/U_i-1都是分段Koszul模.本文的主要目的是建立M和U_i/U_i-1的极小分次投射解之间的关系.对n≥0,证明了P_n=⊕_i=1^t P_nⁱ,其中P_*ⁱ→U_i/U_i-1→0和P_*→M→0是相应的极小分次投射解,作为其直接推论,有pd（M）=max{pd(U_i/U_i-1)}成立.     

自伴标准算子代数上强保持k-斜交换性映射的刻画

令H是维数大于2的复Hilbert空间,A是H上自伴标准算子代数.对于给定的正整数k≥1,H上算子A与B的k-斜交换子递推地定义为_*[A,B]_k=_*[A,_*[A,B]_k-1],其中_*[A,B]₀=B,_*[A,B]₁=AB-BA^*.设k≥4,φ是A上的值域包含所有一秩投影的映射.本文证明了φ满足_*[φ（A）,φ（B）]_k=_*[A,B]_k对任意A,B∈A都成立的充分必要条件是φ（A）=A对任意A∈A都成立,或φ（A）=-A对任意A∈A都成立.当k是偶数时后一情形不出现.     

具非局部源的非线性高阶抛物型方程解的全局存在性与非全局存在性（英文）

本文考虑一类具非局部源的高阶抛物型方程u_t=-(-Δ)^mu+(∫_Rⁿ|u|^1+σdy)⁽(p-1)/(1+σ))|u|^r的Cauchy问题.近年来,我们已给出这一方程的Fujita临界指标p_c=1+((2m-n(r-1))(1+σ))/(nσ),即当1 c时,对任意初值,解都在有限时刻发生爆破;当p> p_c时,存在非全局解也存在全局解,这取决于初值的大小.本文进一步确定了这一方程的第二临界指标a^*=(2m+(n(p-1))/(1+σ))/(p+r-2),用于在p>p_c这一全局解与非全局解的共存区域内鉴别初值的大小.我们发现:(1)与具局部源|u|^p的高阶抛物型方程的第二临界指标a^*=2/(p-m)不同的是,这里与空间维数n有关;(2)非局部源中参数σ的增大有...     

素变量混合幂丢番图逼近(Ⅱ)（英文）

设λ_1,λ_2,λ_3,λ_4是正实数,λ_1/λ_2是无理数和代数数,V是well-spaced序列,δ0.证了:对于任意给定的大于或等于3的正整数k及任意ε0,v∈V,v≤X,使得λ_1p_1~22+λ2p_2~2+λ_3p_3~3+λ_4p_4~k-v|v~(-δ)没有素数解p_1,p_2,p_3,p_4的v的个数不超过O(X~(σ+2δ+ε)),这里σ满足:当3≤k≤4时σ=1-4/11k;当k≥5时,σ=1-2/11k.这改进了之前[Chinese Ann.Math.Ser.A,2015,36(3):303-312]的结果.     

含Hardy位势的拟线性椭圆型方程非平凡解的存在性

设0∈Ω∈R^N,(N≥2)为有界光滑区域,利用山路定理,考虑如下一类含Hardy位势的拟线性椭圆型方程非平凡解的存在性:-△u-u△(|u|N,(N≥2)为有界光滑区域,利用山路定理,考虑如下一类含Hardy位势的拟线性椭圆型方程非平凡解的存在性:-△u-u△(|u|²)=μu/|x|2)=μu/|x|²+λg(x,u),x∈Ω,其中μ>0,λ>0为常数,g(x,u)为Caratheodory函数.     

Laplace算子特征值和的精细下界

该文研究了Rⁿ中Laplace算子在有界域Ω上的Dirichlet特征值和的下界.众所周知:第k个Dirichlet特征值λ_k(Ω)服从Weyl渐近公式,即λ_k(Ω)～4π²/[w_nV(Ω)]^2/nk^2/n当k→∞时,其中w_n和V(Ω)分别为是Rⁿ中n维单位球的体积和Ω的体积.根据上述公式,Pólya猜测λ_k(Ω)≥4π²/[w_nV(Ω)]^2/nk^2/n,?k∈N.这就是著名的Pólya猜想.对这一问题的研究由来已久,已有很多的工作.特别是,近几十年来最显著的成就之一是由Berezin^[4],以及李伟光和丘成桐^[3]分别独立取得的.他们部分解决了Pólya猜想,只是多了一个因子n/(n+2).后来,Melas^[7]改进...     

Yamabe流下Laplace算子的第一特征值

本文得到Yamabe流下拉普拉斯算子的第一特征值的发展方程.我们证明出,在光滑的齐性流形(M(t),g)上,若λ(t)表示拉普拉斯算子的特征值,那么沿着规范化后的Yamabe 流,λ(t)=d,而且沿着非规范化的Yambe流,λ(t)=ded,这里d是一个常数,c表示齐性流形的数量曲率.而且作为发展方程的应用,我们得到...