Multi-mode nonlinear vibration and postbuckling of antisymmetrically laminated imperfect angle-ply cylindrical panel with free straight edges

Summary A multi-mode solution to nonlinear vibration and postbuckling of the titled problem is presented for two straight edges free from forces and bending moments and the other edges subjected to identical variation of rotational stiffness and normal boundary forces. The dynamic Marguerre-type nonlinear equations are adopted. The transverse deflection and stress function are expanded into two series with timedependent coefficients. The Galerkin procedure furnishes an infinite system of ordinary differential equations for these time functions. The method of harmonic balance is used for a solution of a finite number of these equations. The postbuckling behavior is treated as a special case. Numerical results in nonlinear vibration and postbuckling of antisymmetrically laminated angle-ply panel are presented graphically for different panel parameters and also compared with available data.

---

Nichtlineare Schwingung und Nachbeulen einer antisymmetrisch geschichteten, imperfekten zylindrischen Schale mit freien geraden Rändern

Übersicht Für das im Titel genannte Problem wird bei Normalkraftbelastung und Verdrehsteifigkeit der kreisbogenförmigen Ränder eine Lösung der dynamischen, nichtlinearen Marguerre-Gleichungen in Form verallgemeinerter Fourier-Reihen für die Durchbiegung und Spannungsfunktion mit zeitabhängigen Koeffizienten vorgestellt. Das Galerkin-Verfahren liefert ein System unendlich vieler gewöhnlicher Differentialgleichungen für diese Zeitfunktionen. Zur Lösung einer endlichen Zahl der Gleichungen wird die Methode der harmonischen Balance benutzt. Für verschiedene Schalenparameter werden numerische Resultate zur Schwingung und zum Nachbeulen in graphischer Form dargestellt und mit fremden Ergebnissen verglichen.

     

Eine Randbedingung für die Ausbreitung von Kugelwellen

Übersicht Für die Simulation der Ausbreitung von kugelförmigen Dilatationswellen im elastischen Kontinum mittels der Methode der finiten Elemente wird eine Randbedingung abgeleitet, welche das abgetrennte unbeschränkte Gebiet analytisch exakt ersetzt. Die mit dieser Randbedingung erhaltenen Ergebnisse werden mit vorhandenen Näherungen verglichen, so daß deren Einfluß auf die Güte der Ergebnisse abgeschätzt werden kann. Erweiterungen auf andere Problemstellungen werden aufgezeigt.

---

     

A new computational technique for the stability analysis of slender rods

Summary A new computational technique for the stability analysis of slender rods with variable cross-sections under general loading conditions is presented. In this approach, the dependent variable and the variable coefficients appearing in the governing equations are expanded in a finite series of Chebyshev polynomials. The main feature of this technique is that the original boundary value problem associated with the differential equation is reduced to an algebraic eigenvalue problem. The proposed technique is applied to study the static buckling of Euler column and the flutter behavior of a cantilever column subjected to uniformly distributed tangential loading. The numerical results from the suggested technique are found to be extremely accurate when compared to other techniques available in literature. It is shown that this approach can also be employed in a symbolic form. The merits of the present method in comparison to the standard solution procedures like finite difference and Galerkin methods are discussed.

---

Ein neues Berechnungsverfahren für die Stabilitätsanalyse schlanker Stäbe

Übersicht Es wird ein neues Berechnungsverfahren für die Stabilitätsanalyse schlanker Stäbe mit veränderlichem Querschnitt unter allgemeinen Belastungen vorgestellt. Dabei werden die abhängigen Variablen und die variablen Koeffizienten der Bestimmungsgleichung in eine endliche Reihe von Tschebyscheff-Polynomen entwickelt. Die wesentliche Eigenschaft dieses Verfahrens ist die Reduzierung des ursprünglichen Randwertproblems einer Differentialgleichung auf ein algebraisches Eigenwertproblem. Angewandt wird die vorgeschlagene Methode auf die Euler-Knickung und das Flatterverhalten eines Kragträgers unter tangentialer Folgelast als konstanter Streckenlast. Die numerischen Ergebnisse nach diesem Verfahren erweisen sich als sehr genau im Vergleich zu Ergebnissen anderer Methoden, die in der Literatur zu finden sind. Es wird gezeigt, daß bei dieser Methode auch symbolische Lösungsverfahren angewandt werden können. Der Vorzug dieser neuen Methode gegenüber den Standard-Lösungsverfahren wie Finite-Differenzen- und Galerkin-Verfahren wird diskutiert.

---

---

Dedicated to the memory of late Professor H. H. E. Leipholz     

Bifurcating self-excited vibrations of a horizontally rotating viscoelastic shaft

Summary Self-excited postcritical vibrations of a rotating geometrically non-linear shaft caused by internal friction are analysed in this paper using the Hopf bifurcation theory. Stable periodic vibrations bifurcate from the non-trivial equilibrium which becomes unstable itself. Ordinary differential equations of motion are obtained by means of Galerkin's method. Bifurcating periodic solution is constructed in a parametric form due to Iooss and Joseph.

---

Verzweigende selbsterregte Schwingungen eines horizontal gelagerten viskoelastischen Rotors

Übersicht Die von der inneren Reibung abhängigen selbsterregten Schwingungen einer drehenden geometrisch nichtlinearen Welle werden in dieser Arbeit mit Hilfe der Hopfschen Bifurkationstheorie analysiert. Die stabilen periodischen Schwingungen verzweigen sich ausgehend von der Gleichgewichtslage, die selbst instabil wird. Die Bewegungsgleichungen werden mit Hilfe der Galerkinschen Methode ausgewertet. Verzweigungslösungen werden in parametrischer Form nach Iooss und Joseph konstruiert.

     

Slow flow of a viscoelastic fluid through a contraction

Summary The creeping flow of a viscoelastic fluid through a tapered contraction is analysed by using a perturbation method. Finite element method has been applied to solve the vorticity transport and stream function equations.For a contraction ratio of 2:1 results for the stream function, the velocity distribution and the stress components along the tube axis are presented and discussed. The results indicate that for a viscoelastic fluid there is a tendency of circular motion in the contraction zone.

---

Zusammenfassung Mit Hilfe einer Störungsrechnung wird die schleichende Strömung einer viskoelastischen Flüssigkeit durch eine Rohrverengung berechnet. Die dabei auftretenden Randwertaufgaben werden mit der Methode der finiten Elemente gelöst.Für ein Kontraktionsverhältnis von 2:1 werden Ergebnisse für die Stromfunktion, die Geschwindigkeitsverteilung und den Verlauf der Reibungsspannungen entlang der Rohrachse angegeben und diskutiert. Die Ergebnisse für das Geschwindigkeitsfeld zeigen, daß in der Kontraktionszone eine Sekundärströmung erzeugt wird, die aus zwei entgegengesetzt drehenden Ringwirbeln besteht. Da diese der Primärströmung zu überlagern ist, besteht bei einer viskoelastischen Flüssigkeit im Unterschied zu einer newtonschen in der Kontraktionszone die Tendenz zu einer Zirkulationsströmung.

---

---

With 9 figures     

Characteristic roots of cylindrical shells based on an improved theory

Summary This paper is concerned with the roots of the characteristic equation in the theory of circular cylindrical shells which contains the effect of shear deformation. An analytical method for finding the characteristic roots is first presented for the Mirsky-Herrmann type theory with five variables. A simplified improved theory with three variables similar to the classical theory is then derived by introducing approximations in the constitutive equations of the Mirsky-Herrmann theory. It is easily understood that the neglect of shear effect in the simplified theory leads to the well known classical Flügge theory. The roots of characteristic equations for the simplified and Flügge theory are compared with those of the Mirsky-Herrmann theory for the eigenfunctions in the longitudinal and circumferential directions.

---

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung von Kreiszylinderschalen bei Berücksichtigung von Schubsteifigkeit

Übersicht Eine analytische Methode, mit der die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Kreiszylinderschale unter Berücksichtigung des Einflusses von Schubverformung berechnet werden können, wird vorgeschlagen. Die Theorie von Mirsky-Herrmann mit fünf Unbekannten wird zuerst dargestellt, und ein System in einer reduzierten Form von Gleichungen mit drei Unbekannten, das die Schubverformung enthält und das der klassischen Flüggeschen Gleichung durch Vernachlässigung dieses Einflusses entspricht, wird dann eingeführt. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichungen der reduzierten und der klassischen Flüggeschen Theorien werden mit den Ergebnissen der Mirsky-Herrmannsehen Gleichung für die Eigenfunktionen in Längsrichtung und Umfangsrichtung verglichen.

     

Biegetheorie der Rotationsschale mit flacher,kreisförmiger Erzeugender

Zusammenfassung Bei der Auflösung der Gleichungssysteme von doppelt gekrümmten Schalen treten im allgemeinen so große mathematische Schwierigkeiten auf, daß eine Berechnung der Schnittkräfte nicht möglich ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß bei Einführung einiger Näherungen der Spannungszustand einer Rotationsschale mit flacher, kreisförmiger Erzeugender ermittelt werden kann. Sowohl bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen als auch beim Elastizitätsgesetz werden in allen Gleichungen diejenigen Glieder, die die Schalenstärke enthalten, vernachlässigt, soweit sie neben anderen Gliedern vorkommen. Diese Näherung ist nicht gröber als die schon seit jeher bei Schalenberechnungen eingeführten Vereinfachungen des Elastizitätsgesetzes. Bei flachen Schalen können in den Gleichungen weitere Glieder vernachlässigt werden, und es gelingt, das Problem auf zwei homogene partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für eine Spannungsfunktion und die Normalenverschiebung w zurückzuführen. Die charakteristische Gleichung wird für eine beliebige anisotrope Schale angegeben. Für die Sonderfälle der isotropen Schale und der in der Rotationsrichtung durch Rippen verstärkten Schale können die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als einfache Ausdrücke geschrieben werden. Die Schnittkräfte und Verschiebungen der Schale werden aus einer Spannungsfunktion und der Normalenverschiebung berechnet.     

On the axially symmetric vibration of thick circular plates

Summary The method of initial functions is developed in cylindrical coordinates for axially symmetric elastodynamic deformation of the circular plate. The governing equations are derived from the three dimensional elastodynamic equations. Using a suitable transformation the difficulty in the application of the method of initial functions is removed. The method is used to obtain the free vibration frequencies of thick circular plates. Numerical results are given for the circular plate with clamped edges and compared with those of the known solutions.

---

Übersicht Die Methode der Anfangsfunktionen wird in Zylinderkoordinaten für axial symmetrische und elastodynamische Deformationen der Kreisplatte entwickelt. Die Gleichungen der Aufgabe werden aus den Gleichungen der dreidimensionalen dynamischen Elastizitätstheorie hergeleitet. Die Anwendung der Methode der Anfangsfunktionen folgt durch Gebrauch einer geeigneten Transformation. Die Methode wird zur Ermittlung der Eigenfrequenzen der dicken Kreisplatte angewendet. Die numerischen Ergebnisse für die eingespannte Kreisplatte werden mit den bekannten Näherungslösungen verglichen.

     

The plane frictionless contact of two elastic bodies — the inclusion problem

Summary The mixed boundary value problem of the contact of two plane elastic bodies of arbitrary shape is solved for zero friction in their contact zone. It is reduced to a system of four singular integral equations referred to the contact zone and the remaining parts of the boundaries of the two bodies. The system is complemented by two more equations derived from the single-valuedness of the displacements along the contact boundaries. The solution of these equations yields the distribution of the contact stresses and the contact length. The method is applied to the symmetric case of an infinite elastic plate containing an oversized elastic inclusion, with and without axial forces applied to the plate at infinity. The evolution of contact relaxation and the progress of the gap between the inclusion and the plate is also given.

---

Der ebene reibungslose Kontakt von zwei elastischen Körpern — Das Problem der Einlagerung

Übersicht Das gemischte Randwertproblem der Berührung zweier ebener elastischer Körper von beliebiger Form wird im Falle verschwindender Reibung in der Kontaktzone gelöst. Das Problem wird reduziert auf ein System von vier singulären Integralgleichungen, welche sich auf die Kontaktzone und die übrigen Ränder der zwei Körper beziehen. Das System wird mit zwei weiteren Gleichungen vervollständigt, welche von der Eindeutigkeit der Verschiebungen längs der berührenden Ränder hergeleitet werden. Die Lösung dieser Gleichungen gibt die Verteilung der Kontaktspannungen und die Kontaktlänge. Die Methode wird auf den symmetrischen Fall einer unendlichen elastischen Platte (mit und ohne axiale Kräfte auf den unendlich fernen Rändern), welche eine elastische Einlagerung mit Übermaß enthält, angewandt. Die Entwicklung der Kontaktauflösung und der Vorschrift der Lücke zwischen Einlagerung und Platte werden mit Hilfe der Lösung obiger Gleichungen angegeben.

     

Method of substitutive plastic rotation applied to elastic-plastic structures with axial forces

Summary The paper extends the notion of substitutive plastic rotation which simplifies the determination of the elastic-plastic deflections of beams and frames to structures with non-negligible axial forces. The formulae derived have been illustrated with a simple example of a cantilever beam and then applied to the geometrically nonlinear elastic-plastic problem of an imperfection in a pipeline shell.

---

Die Methode der Ersatzrotationen für elastisch-plastische Strukturen mit Axialkräften

Übersicht Die Arbeit erweitert die Methode der fiktiven Ersatzrotationen, die die Bestimmung der elastisch-plastischen Verschiebungen in Balken- und Rahmenstrukturen vereinfacht, auf den Fall mit größeren axialen Kräften. Die ausgeführten Formeln werden am einfachen Beispiel des Kragbalkens illustriert und dann für die geometrisch nichtlineare Analyse einer Beule in einer dünnwandigen Rohrleitung verwendet.

     

A mixed boundary value problem for debonding of a semielliptic rigid inclusion on the rim of a half plane

Summary A general solution is obtained for a mixed boundary value problem of plane elasticity. In the present paper the components of the displacement are given on two segments of the boundary and those of the external force are given on the rest of the boundary. A rational mapping function and a complex variable method are used for the analysis. The solution which is obtained in closed form is the first derivative of the complex stress function and does not contain an integral form. A half plane with a semielliptic rigid inclusion is analyzed under uniform tension. The stress distribution, the stress intensity of debonding at the debonded tip of the semielliptic inclusion and the propagation of debonding are investigated.

---

Ein gemischtes Randwertproblem für die Ablösung eines starren, halbelliptischen Einschlusses am Rand einer Halbebene

Übersicht Für ein gemischtes Randwertproblem der ebenen Elastizität wird eine allgemeine Lösung gewonnen. Im hier betrachteten Fall sind die Verschiebungen auf zwei Abschnitten des Randes gegeben und auf dem Rest die äußeren Lasten. Für die Untersuchung wird eine rationale Abbildungsfunktion und die Methode der komplexen Variablen benutzt. Die geschlossene Lösung ist die erste Ableitung der komplexen Spannungsfunktion; sie enthält keine Integralterme. Als Anwendung dient die zugbeanspruchte Halbebene mit starrem, halbelliptischem Einschluß. Untersucht wird die Spannungsverteilung, die Spannungsintensität an der Ablösespitze und der Ablösungsfortschiritt.

     

Das Druckströmungsfeld in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt)

Zusammenfassung Es wird eine Näherungsrechnung behandelt, die es in vielen Fällen ermöglicht, die zweidimensionale stationäre Strömung Newtonscher Flüssigkeiten in zylindrischen Fließkanälen mit beliebigem Querschnitt zu berechnen. Für die gesuchte Funktion der Geschwindigkeitsverteilung wird ein Lösungsansatz gewählt, der eine Anzahl unbestimmter Parameter enthält. Dieser Ansatz wird in die die Bewegung beschreibenden Differentialgleichungen eingesetzt. Die freien Parameter im Lösungsansatz werden nun so bestimmt, daß die Differentialgleichung und ggf. die vorliegenden Randbedingungen möglichst gut erfüllt werden. Dies geschieht mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate, die die Summe der Fehler bzw. Fehlerquadrate zum Minimum macht. Die Geschwindigkeitsverteilung liegt damit in Form einer Funktion der Ortskoordinaten vor, mit der ggf. in einfacher Weise weitergerechnet werden kann. Das Verfahren wird an einigen Beispielen erläutert.Vortrag auf dem Darmstädter Kunststoff-Kolloquium am 21. März 1969.Alle numerischen Rechnungen wurden an der elektronischen Datenverarbeitungsanlage TR4 des Rechenzentrums der Universitgt Stuttgart durchgefiihrt.Für die Erm6glichung und Diskussion dieser Arbeit danke ieh Herrn Prof. Dr.-Ing. G. Sehenkel.Herrn Dr.-Ing.E. Steck sei an dieser Stelle für wertvolle Hinweise und Diskussionen gedankt.     

Transient thermoelastic contact problem of a transversely isotropic cylinder

Summary This paper concerns a transient thermoelastic contact problem in a transversely isotropic infinite cylinder inserted into a heated rigid ring. It is assumed that the heat transfer coefficient at the bonded surface is different from the coefficient at the traction-free boundary surface. A finite difference formulation with respect only to time is used to solve the three-dimensional transient heat conduction equation for the temperature field. The thermal stress field is analyzed by means of the transversely isotropic potential function method. The radial, hoop and axial stresses have singularities at the end of the contact surface. The concentration factors that may be used to evaluate the strength of the stress singularities are introduced.

---

Ein transientes thermoelastisches Kontaktproblem eines transversal-isotropen Zylinders

Übersicht Behandelt wird ein transientes thermoelastisches Kontaktproblem eines transversal-isotropen unendlichen Zylinders, der in einen geheizten starren Ring eingesetzt wird. Der Wärmeübergang in der Kontaktfläche und der freien Oberfläche seien verschieden. Bei der Lösung der instationären dreidimensionalen Wärmeleitungsgleichung wird bezüglich der Zeit eine Finite-Differenzen-Formulierung benutzt. Die Wärmespannungen werden nach der Potentialfunktionen-Methode im transversalisotropen Fall ermittelt. Radial-, Umfangs- und Axialspannung weisen am Ende der Kontaktzone Singularitäten auf, die durch eingeführte Spannungskonzentrationsfaktoren beschrieben werden.

     

Stresses due to gravity in a notched elastic half-plane

Summary A method for the calculation of elastic stresses due to gravity in regions approximating a lower half-plane at infinity is presented. The method is based on an extension of familiar complex variable techniques. In principle the method fails for the case of a contour with corner points. However it is shown that an approximate solution for such regions can be obtained utilizing an approximate conformai transformation onto a unit circle. For a special case, results are given.

---

Übersicht In der vorliegenden Arbeit werden die Spannungen berechnet, die durch das Gewicht des Materials in einem elastischen, im Unendlichen einer Halbebene ähnlichen Gebiet verursacht werden. Die Berechnungsmethode ist eine Verallgemeinerung bekannter funktionentheoretischer Verfahren. Die Methode ist ihrem Prinzip nach nicht für Gebiete mit Ecken anwendbar. Es wird jedoch angegeben, wie man in solchen Fällen eine Näherungslösung mit Hilfe einer näherungsweisen, konformen Abbildung auf den Einheitskreis finden kann. Für ein spezielles Beispiel werden Ergebnisse angegeben.

     

On a general treatment for coupled thermal stress problems in a cylindrical coordinate system

Summary In this paper, we study the three-dimensional coupled thermoelastic problem governed by the cylindrical coordinate system under the consideration of the thermo-mechanical coupling effect. The basic relations for the three-dimensional displacement field and the corresponding stress components are derived from the field equations of motion. These expressions enable us to determine both the temperature and the stress distributions simultaneously. As an illustration, numerical calculations are carried out for an axisymmetrical coupled thermoelastic problem. From the numerical results it is shown that the thermomechanical coupling term appearing in the corrected heat conduction equation gives a fairly large difference between the coupled theory and the uncoupled one.

---

Zur allgemeinen Behandlung gekoppelter Wärmespannungsprobleme in Zylinderkoordinaten

Übersicht Es wird das dreidimensionale Wärmespannungsproblem unter Berücksichtigung der thermomechanischen Kopplung untersucht. Ausgehend von den Bewegungsgleichungen werden Temperatur und Spannungen angegeben. Zur Illustration der Methode wird ein axialsymmetrisches Problem numerisch behandelt und der Einfluß der thermo-meehanischen Kopplung auf die Wärmeleitgleichung gezeigt.

     

The stick-slip problem for a round jet

Summary The stick-slip problem for a round jet is solved in two ways: by a Wiener-Hopf method and by a direct method in which eigenfunction solutions in the pipe and jet are matched on their common boundary. The same solution is obtained by the two methods, but the eigenfunction method is more direct and converges more rapidly. Reliable graphs are presented for the distributions of the velocity components, stresses and pressures at different axial positions in the pipe and jet. The shape of the free surface for the low speed jet is computed by a perturbation method.

---

Zusammenfassung Das Haft-Gleit-Problem wird für einen runden Strahl auf zwei verschiedene Weisen gelöst: durch die Wiener-Hopf-Methode und durch eine direkte Methode, bei der die Eigenfunktionslösungen für Rohr und Freistrahl an der gemeinsamen Grenze aneinander angeschlossen werden. Mit beiden Methoden erhält man die gleiche Lösung, aber die Eigenfunktionsmethode ist direkter und konvergiert schneller. Glaubwürdige graphische Darstellungen des Verlaufs der Geschwindigkeitskomponenten, der Spannungen und der Drücke für verschiedene axiale Lagen in Rohr und Freistrahl werden mitgeteilt. Die Gestalt der freien Oberfläche für einen mit langsamer Geschwindigkeit austretenden Strahl wird mit Hilfe einer Störungsmethode berechnet.

---

---

With 12 figures and 3 tables     

Thin plate bending problem of partially bonded bi-material strips

Summary A general solution to the thin plate bending problem of partially bonded bi-material strips is obtained. The two strips are symmetrically bonded along a finite straight interface with debondings at both sides. Complex stress function approach together with the rational mapping function technique are utilized to obtain the general solution. A concentrated bending moment applied at eachtip of the strip is considered. Distributions of bending and torsional moments along the boundaries of the two strips as well as the Stress Intensity of Debonding (SID) at the debonding tips are demonstrated for different states of debonding lengths, material constants and rigidity ratios.

---

Das Biegeverhalten dünner Platten bei teilweise verbundenen Bi-Materialstreifen

Übersicht Eine allgemein praktikable Lösung für das Problem der Biegung dünner Platten bei teilweise verbundenen Bi-Materialstreifen konnte gefunden werden. Die beiden Streifen werden dabei auf einer gegebenen Länge einer geraden Berührungsfläche verbunden, wobei symmetrisch zueinander am Ende einer jeden Seite zwei Stellen unverbunden bleiben. Zum Erhalt einer allgemein gültigen Lösung wird hierzu der Weg über komplexe Belastungsfunktionen gemeinsam mit geeigneten Aufzeichnungsfunktionstechniken beschritten. Dabei wird ein konzentriertes Biegemoment, das an beiden Streifenenden ansetzt, angenommen. Die Verteilung der Verbiegungs- und Verdrehungsmomente entlang der Begrenzungslinien beider Streifen, sowie auch die Größe der Anspannung an den unverbundenen Stellen (SID) für die beiden nicht verbundenen Enden, wird für verschiedene Fälle von unverbundenen Längen, Materialkonstanten und Steifigkeitsverhältnissen gezeigt.

     

Potential flow analysis by finite elements

Summary A finite element formulation is developed for the analysis of a general discontinuous potential field (with multiply connected regions) and leads to the solution of the Dirichlet, Neumann and Mixed Boundary Value Problems. Subcritical compressibility effects are included. The finite element model is presented in detail for the two-dimensional and axisymmetric case, but may readily be extended to the general three-dimensional case. For the representation of general boundary conditions (linear interdependencies between the unknown variables) two alternative methods are formulated. Several typical examples including compressibility, circulatory (lifting) flow and the analysis of infinite cascades demonstrate the wide applicability and accuracy of the method.

---

Übersicht Für die Berechnung von allgemeinen diskontinuierlichen Potentialfeldern mit mehrfach zusammenhängenden Bereichen wird eine Formulierung für die Methode der finiten Elemente entwickelt. Dies führt zur einfachen Lösung von Randwertproblemen erster, zweiter und dritter Art, wobei auch Kompressibilitätseffekte im unterkritischen Bereich berücksichtigt werden können. Ein Finite-Element-Typ wird im Detail für den zweidimensionalen und rotationssymmetrischen Fall abgeleitet, jedoch kann die Darstellung leicht auf den allgemeinen dreidimensionalen Fall ausgedehnt werden. Für die Verwirklichung allgemeiner Randbedingungen (d. h. Berücksichtigung von linear abhängigen unbekannten Variablen) werden zwei Methoden formuliert.Mehrere typische Beispiele, welche Kompressibilität, Auftrieb und die Berechnung unendlicher Kaskadenströmung behandeln, zeigen dic Vielfalt der Anwendungsmöglichkeiten und die Genauigkeit der Methode.

     

Kritische Drehzahlen gewisser Rotorformen unter Berücksichtigung der Kreiselwirkung

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit erfolgt die Berechnung der kritischen Drehzahlen von kontinuierlich besetzten Wellen konstanter Biegesteifigkeit mit einer Verallgemeinerung der von R. Grammel entwickelten Methode vermöge zweier miteinander äquivalenter Iterationsvorschriften: die eine bedient sich der Integrodifferentialgleichung, die zweite der Differentialgleichung samt Rand- und Übergangsbedingungen. Bei beiden Vorschriften wird die Wellenauslenkung ermittelt, die zu der mit einer linearen Kombination zulässiger Funktionen gebildeten Belastung gehört. Mit diesen Vorschriften und einer weiteren für die auftretenden Variationen geht man in die aus dem Hamiltonschen Prinzip folgende Variationsgleichung ein. Sinngemäße Übertragung der Grammelschen Methode führt zu einem linearen homogenen Gleichungssystem für die Unbekannten des Näherungsansatzes, dessen verschwindende Koeffizientendeterminante eine algebraische Gleichung für die Eigenwerte darstellt.Die charakteristische Eigenschaft der Methode von R. Grammel, obere Schranken — und zwar genauere als der Ritzsche Verfahren — zu liefern, tritt auch bei Berücksichtigung der Kreiselwirkung im Falle synchroner Präzession im Gegenlauf stets auf. Im Falle synchroner Präzession im Gleichlauf dagegen können die Näherungslösungen bei dem verallgemeinerten Grammelschen Verfahren z. T. oberhalb, z. T. unterhalb der entsprechenden strengen Lösungen liegen.Unter Beachtung des physikalisch-technischen Sachverhaltes lassen sich die hier abgeleiteten Näherungsgleichungen sowohl auf mehrfach gelagerte Wellen mit konstanter Biegesteifigkeit und kontinuierlicher Scheibenverteilung als auch auf Wellen (zweiund mehrfach gelagert) mit veränderlicher Biegesteifigkeit und Einzelscheiben übertragen. Das sich im zuletzt genannten Fall einstellende Endergebnis unterscheidet sich nur unwesentlich von demjenigen der Methode von A. Traenkle 4.Eine Fortsetzung dieser Arbeit bringt die Durchrechnung eines Zahlenbeispiels.Auszug aus der Frankfurter Dissertation. 1. Referent Prof. Dr.-Ing. K. Karas, 2. Referent Prof. Dr. R. Moufang.     

Vibration of asymmetric rotor supported by oil film bearings

Summary This paper deals with the stability problems of an asymmetric flexible rotor supported by asymmetric bearings, in which the bearing is modified to the stiffness and damping forces with coupling terms in order to represent the oil film bearing character. First the equation of motion is derived, then it is analyzed by translating the coordinate system to a new orthogonal one by using complex eigenvalues. Then the stability and unbalance response is analyzed by using an asymptotic method.

---

Schwingungen eines unsymmetrischen Rotors mit anisotroper Lagerung

Übersicht Diese Arbeit behandelt die Stabilität eines unsymmetrischen, elastischen Rotors in anisotrop elastischer Lagerung. Die Öl-Film-Charakteristik wird durch Koppelterme in Feder- und Dämpfungskräften abgebildet. Nach der Herleitung der Bewegungsgleichung wird durch Verwendung von komplexen Eigenwerten auf ein neues orthogonales Koordinatensystem transformiert. Die Stabilität und die Unwuchtantwort werden mit einer asymptotischen Methode analysiert.