Modelling the dynamics of large block structures

This paper summarizes the main critical points that arise when the problem of modelling the dynamics of block structures is tackled. In the first sections, a rigorous formulation of dynamics and impact problem is presented for a single rigid block freely supported on rigid ground, in order to illustrate the basic difficulties concerning the modelling of more complicated structures. Then, a critical review is presented on the numerous researches performed on this subject and the results achieved, and the problems still open, are put in evidence.

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Sommario In questo lavoro, si illustrano i punti salienti e critici che devono essere affrontati nella modellazione del comportamento dinamico di structture costituite da grandi blocchi assemblati a secco. Nei primi paragrafi, viene presentato e discusso il problema generale della dinamica e dell' urto del blocco singolo semplicemente appoggiato su suolo rigido: è questa la base necessaria per affrontare in modo rigoroso la modellazione di strutture più complesse. Viene quindi presentata una rassegna critica di vari modelli proposti in letteratura, evidenziando i problemi risolti e quelli ancora aperti.

     

Sufficient uniqueness and stability conditions for elastic-plastic structures with associated flow laws

Summary The incremental problem for elastic-plastic structures with associated flow laws is stated in terms of an integral equation, whose characteristics and solution are discussed.It is then shown how a simpler problem whose condition of uniqueness of solution constitutes an easily applicable sufficient condition of uniqueness and stability of response for the incremental problem may be deduced.

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Sommario Si formula il problema incrementale per strutture elastoplastiche con leggi di scorrimento associate in termini d'una equazione integrale della quale si discutono le caratteristiche e il criterio di soluzione.Si mostra infine come dal problema incrementale possa essere dedotto un più semplice problema la cui condizione di unicità di soluzione costituisce per il problema incrementale una condizione sufficiente di unicità e stabilità della risposta, di semplice applicabilità.

     

The instability of an axially loaded viscoelastic constrained bar in the large displacement range

Summary This paper deals with the behaviour of an axially loaded viscoelastic structure at one degree of freedom in the large deformation range; the stress-strain relation assumed is linearly viscoelastic, with the kernel at non invariant memory, typical of concrete.The study is rigorously conducted for two types of restraint, characterizing, in the elastic range, the instability of both first and second kind; the problem is then stated in respect of a type of mixed restraint, such as can be found in some real structures, an approximate solution of which is here supplied.

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Sommario Vengono analizzate le caratteristiche di comportamento nel tempo di una struttura viscoelastica a un grado di libertà, caricata di punta, nel campo delle grandi deformazioni; il legame sforzi-deformazioni assunto è viscoelastico lineare, con il nucleo a memoria non invariante caratteristico dei calcestruzzi.Lo studio è svolto in forma rigorosa per due tipi di vincolo che caratterizzano, in campo elastico, l'instabilità di prima e quella di seconda specie; viene inoltre impostato il problema corrispondente ad un tipo di vincolo misto, presentato da alcune strutture reali, del quale si fornisce una soluzione approssimata.

     

On the extremal properties of the solution in dynamics of rigid-viscoplastic bodies allowing for large displacement effects

Summary This paper discusses the dynamics of rigid-viscoplastic bodies, bearing in mind large displacement effects. The extremal properties of the incremental solution of the dynamic problem are demonstrated. It is shown that the true instantaneous acceleration field minimizes some quadratic functionals in a class of functions constrained by linear equations and inequalities.It is also shown that, by idealizing the body as an assemblage of finite elements, the above principles reduce the problem to the solution of a classical quadratic programming problem that can be solved by several well-known efficient algorithms. Thus a general purpose finite element program for the dynamic analysis of rigid-viscoplastic structures can be derived by using the concepts shown in this paper.

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Sommario Viene discusso il problema della dinamica delle strutture rigido plastiche nel campo dei grandi spostamenti. Vengono dimostrate le proprietà estremali della soluzione incrementale dimostrando che il campo di accelerazioni minimizza alcuni funzionali quadratici in una classe di funzioni vincolata dal rispetto di opportune condizioni di eguaglianza e disegnaglianza lineare. Discretizzando il corpo col metodo degli elementi finiti, i suddetti principi riportano il problema nel campo della programmazione quadratica e consentono quindi di utilizzare i ben noti ed efficienti algoritmi numerici di soluzione dei detti problemi. Si sottolinea quindi come, avvalendosi dei concetti esposti in questo lavoro, si possa pervenire a programmi di calcolo numerico del tutto generali per la soluzione del problema in questione.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National (Italian) Research Council (C.N.R.).     

Minimal cost in elasto-plastic structures

Summary From a general point of view, the problem of the optimization with respect to bending plastic collapse is studied for mono and bidimensional structures, subjected to fixed or variable loads. The conditions of existence and uniqueness of the solutions and those for the dual problem formulation are found. The mathematical properties enable us to point out some physical aspects of the problem. Some remarks on the beam and plate cases follow. At last the possible numerical applications are mentioned, pointing out their formal aspects.

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Sommario Si affronta da un punto di vista generale il problema dell'ottimizzazione nei confronti del collasso plastico a flessione di strutture mono e bidimensionali soggette a carichi fissi e variabili. Si trovano le condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione e per la formulazione del problema duale. Le proprietà matematiche così discusse permettono di mettere in luce alcuni aspetti fisici del problema. Seguono alcune osservazioni sui casi della trave e della piastra. Si accenna infine alle possibili applicazioni numeriche mettendo in luce i relativi aspetti formali.

     

On the theory of emersion and impulse waves. A rigorous solution,with finite energy,of the cauchy-poisson problem

Summary In this note a rigorous solution of Cauchy and Poisson problem is reached for the case of irrotational flow of a perfect fluid with initial elevation having a finite energy. The problem is solved both in the plane surface case, in which the solution can be given in the form of known trascendentes, and in the case of axial simmetry, in which the solution is obtained by means of rapidly converging series infolds.The Cauchy and Poisson solution in the case of wave motion, both in the plane form and with axial simmetry, is reported shortly and it is noted that such solution, which has been reached through different methods by other researchers[6] cannot be considered satisfactory from a physical point of view, as the developed scheme involves an initial disturbance of finite volume and infinite height and consequently containing an infinite potential energy.It is demonstrated how one can reach a rigorous solution of the problem regarding progressive surface waves at an infinite depth, when the original elevation, restricted to the spot near the × origin, has a finite volume, height and consequently also potential energy, so that any incongruity from a physical point of view is let out of the solution.The side problem of determining the wave resulting from application of an impulse evenly distributed on the whole undisturbed surface is not a very interesting one, as it is included in the class of problems involving an initial infinite energy.

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Sommario In questa nota si giunge ad una soluzione rigorosa del problema di Cauchy e Poisson, per il caso di moto irrotazionale di fluido perfetto, con intumescenza iniziale avente energia finita. Il problema viene risolto sia nel caso piano, in cui si può esprimere la soluzione a mezzo di trascendenti note, sia nel caso a simmetria centrale, in cui si ottiene la soluzione a mezzo di sviluppi in serie rapidamente convergenti.Si riporta brevemente la soluzione di Cauchy e Poisson nel caso di moto ondoso, sia piano che a simmetria centrale e si nota che tale soluzione, ritrovata per altra via anche da altri ricercatori[6] non è soddisfacente dal punto di vista fisico, in quanto lo schema fatto è quello di una perturbazione iniziale di volume finito e di altezza infinita e quindi dotata di energia potenziale infinita.Si dimostra come si possa giungere ad una soluzione rigorosa del problema delle onde progressive superficiali in profondità infinita, quando l'intumescenza originale, confinata in prossimità dell'origine delle × abbia volume, altezza e quindi anche energia potenziale finita, in modo che ogni incongruità dal punto di vista fisico della soluzione venga a cadere.Il problema complementare, di determinare cioè l'onda risultante dall'applicazione di un impulso distribuito uniformemente sulla superficie in quiete, non è di grande interesse, perchè rientra nella categoria dei problemi con energia iniziale infinita.

     

Comparison between structural and residual error formulations of an optimum design mechanism problem

Summary The model formulation of the objective function is one of the most important steps for solving an optimization problem. Generally, the objective function of an optimal design mechanism problem can be mathematically formulated either with structural or residual errors. In this paper we have conducted some comparisons between the results obtained by the structural and residual error formulations utilized in solving the optimum design of a four-bar linkage. The optimization problem is defined as a nonlinear least-squares problem. The damped Gauss-Newton algorithm is utilized for computing the solution, which ensures a local convergence for almost all nonlinear least-squares problems.

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Sommario La formulazione matematica della funzione obiettivo è uno degli aspetti più delicati nella soluzione di un problema di ottimizzazione. Generalmente la funzione obiettivo di un problema di progettazione ottima di un meccanismo può essere formulata sia mediante l'errore strutturale che residuo. In questo lavoro sono stati eseguiti dei confronti tra i risultati ottenuti mediante le due precedenti formulazioni, in riferimento al problema della progettazione ottima di un quadrilatero articolato. Il problema di ottimizzazione viene definito come un problema nonlineare ai minimi quadrati la cui soluzione numerica è ottenuta mediante l'algoritmo damped di Gauss-Newton.

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This paper was partially discussed at theII Congegno di Meccanica Computazionale, Roma, 1987.     

Complementary energy,neutral equilibrium and buckling

Summary A general analytical approach of the non-linear problem of a linear elastic and isotropic straight bar of variable stiffness is indicated. The linear equivalence method, introduced by one of the authors, is applied to two fundamental cases for the isostatic straight bar, i.e. the cantilever bar (a Cauchy type problem) and the simply supported bar (a bilocal problem). Some numerical examples concerning moderate deformations and rotations are presented.

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Sommario Si propone un approccio analitico generate per la soluzione del problema non lineare di un'asta rettilinea di rigidezza non uniforme di materiale elastico-lineare isotropo.Il metodo dell'equivalenza lineare introdotto da uno degli autori è applicato a due casi fondamentali della trave isostatica rettilinea, cioè la mensola (problema alla Cauchy) e la trave appoggiata (problema bilocale). Vengono presentati alcuni esempi numerici concernenti deformazioni e rotazioni moderatamente grandi.

     

The diffraction of a plane wave by an isolated breakwater

Summary The diffraction of a plane wave incident on an isolated breakwater is here studied: the exact solution of the problem is briefly reported and a general method involving energies is used to determine comparative importance of the terms of the series which appear in the solution, which becomes of much greater facility in use in practical problems. Numerical calculations have been carried out for twelve different cases, with the wavelength of the incident wave comparable to the length of the breakwater. Results are graphically shown in a set of tables.

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Sommario Si studia la diffrazione di un'onda piana che investe una diga foranea isolata: si riporta brevemente la soluzione esatta del problema e si utilizza un metodo energetico generale per la determinazione dei pesi relativi dei termini delle serie che compaiono nella soluzione, che viene resa di molto più semplice impiego per i problemi pratici. Si sono effettuati calcoli numerici relativi a dodici casi diversi, con lunghezze d'onda incidente paragonabili alla lunghezza della diga. I risultati sono stati tradotti graficamente in una serie di tavole.

     

Multicriteria optimization of laminated composite material structures

The search for the optimum design of a given structure is a basic aspect of structural analysis. In recent years there has been a renewed interest in structural optimization, particularly in the field of composite material structures. The aim is often to obtain the best solution that is able to respect both the technical and the economic requirements. In this paper, the optimization process is pursued as the determination of the Pareto-optimal curves for composite material structures. The problem has been tackled by means of an analytical optimization methodology (trade-off method) appropriately transformed into a design procedure. A sensitivity analysis is also performed, in order to try out the measure in which the optimal solutions are affected by the variation of the design variables. Two examples are presented, concerning a hemispherical shell and a cylindrical shell.

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Sommario Molti problemi della ricerca dell'ottimo progettuale presentano la difficoltà di coinvolgere nella soluzione più obiettivi da considerare simultaneamente. Il problema risulta piuttosto complesso (in particolare nel caso di strutture in materiale composito) quando gli obiettivi, spesso contrastanti, hanno natura diversa e quindi risultano non facilmente combinabili fra loro. Tale problema si pone spesso quando si vuole da un lato aumentare l'affidabilità strutturale e dall'altro diminuire i costi della struttura. Nel presente articolo, vengono affrontati alcuni aspetti dell'ottimizzazione di strutture in materiale composito: a tale scopo viene presentata una procedura di ottimizzazione per problemi multi-obiettivo che, avvalendosi del Trade-off method, è in grado di determinare la curva degli ottimi di Pareto. Successivamente viene effettuata un analisi di sensitività allo scopo di valutare la sensibilità delle soluzioni ottimali nei confronti della aleatorietà delle variabili di progetto. Vengono presentati in tal senso due esempi relativi a strutture in materiale composito.

     

Uniqueness of the concentrated-load problem in the linear theory of couple-stress elasticity

Summary It is pointed out that there exist at least two different solutions of the problem of concentrated loads in the two-dimensional, linear couple-stress theory when the formulation is based on the usual uniqueness theorem. An extension of this uniqueness theorem is proved. A set of conditions sufficient for uniqueness is found and is used in a formulation of the concentrated load problem which results in a unique solution. The significant new condition is that the order of the stress singularity is limited to O(r^–1), where r is the distance from the concentrated load.

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Sommario Si fa notare che esistono almeno due soluzioni diverse del problema dei carichi concentrati nella teoria lineare, a due dimensioni, delle coppie di volume quando la formulazione è basata sul teorema di unicità.Si dimostra una estensione di questo teorema di unicità. Si trova un gruppo di condizioni sufficienti per l'unicità; queste condizioni vengono usate nella formulazione del problema del carico concentrato che dà luogo ad un'unica soluzione.La nuova condizione significativa è che l'ordine della singolarità dello sforzo è limitato a O(r^–1), dove r è la distanza dal carico concentrato.

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This work is a result of research sponsored by the Office of Naval Research, U.S. Navy, under Contract Nonr-610(06).     

Nonasymptotic solution for antiplane cracks

The nonasymptotic stress and displacement fields, in other words, those valid for points far from the crack tip, are determined for cracks under antiplane strain condition. The solution of the problem is obtained by using the Mellin transform and the calculus of residues. Finally, the stress distribution along the crack plane is compared with that provided by the classic asymptotic solution.

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Sommario Per fessure in condizione di deformazione antipiana si calcolano i campi di spostamento e di tensione non asintotici, validi cioè anche per punti distanti dall'apice della fessura. La soluzione del problema è ottenuta impiegando la trasformata di Mellin e la teoria dei residui. Infine, la distribuzione di tensione lungo il piano della fessura viene confrontata con quella fornita dalla soluzione classica asintotica.

     

Minimum-weight design for two-dimensional bodies

Summary The necessary and sufficient conditions for defining the absolute minimum-weight design for two-dimensional bodies (shells, plates and disks) with a given load system are recalled and discussed. A variational method for identifying the optimal solution through a numeric procedure of unrestricted minimisation is proposed. Some significant cases are considered as the general argument is expounded.

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Sommario Con riferimento a strutture bidimensionali piane e curve, vengono richiamate e discusse le condizioni necessarie e sufficienti a definire il progetto di minimo peso assoluto rispetto ad un sistema di carichi assegnati.Viene quindi proposto un metodo di tipo variazionale per la individuazione della soluzione ottimale attraverso un procedimento numerico di minimizzazione non vincolata.Parallelamente alla impostazione generale sono esaminati alcuni casi significativi.

     

The determination of mode shapes for dynamically loaded rigid-plastic structures

Summary Mode solutions in rigid-plastic structures subjected to fixed external loads are dynamic solutions which are products of separate functions of space and time. If the small displacement assumptions are adopted, there will exist at least one mode shape for any structure subjected to given fixed external load, and possibly a multiplicity of modes. The time function is a simple linear function, and is easily determined once the mode shape is known. The paper puts forward, a simple in physical terms, algorithm for the determination of mode shapes. An iterative procedure is established in which each iteration is equivalent to the solution of a static limit analysis problem. Convergence is proved.

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Sommario Soluzioni modali per strutture rigido-plastiche soggette a carichi esterni fissi sono soluzioni dinamiche rappresentabili come prodotti di funzioni separate delle variabili spaziali e del tempo. Nell'ipotesi di piccoli spostamenti, esiste almeno una configurazione modale o «modo» per una struttura soggetta a dati carichi esterni fissi e può esserci una moltiplicità di modi. La funzione del tempo è una funzione lineare che può essere facilmente determinata qualora sia noto il modo. Questo lavoro propone un metodo, semplice dal punto di vista meccanico, per il calcolo di configurazioni modali. Si sviluppa un procedimento iterativo in cui ciascuna iterazione equivale alla soluzione di un problema statico di analisi limite, e se ne dimostra la convergenza.

     

On non-radial stress distribution in non-homogenous elastic half-plane under concentrated load

Summary For the special case of elastic non-homogeneity, there is presented the solution of the problem of displacement and stress in a half-plane under concentrated load in the close form, by using the special functions, like the expotential integral, the sine integral and the cosine integral. It was found that both displacement and stress depend on elastic properties and that the stress is not radially distributed as it was assumed in the previous researches in this field. Apart from its theoretical value, the solution can be applied in soil mechanics. In order to illustrate this solution, the author is planning to present the graphs of displacement and stresses in the separate paper.

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Sommario Per il caso speciale di non omogeneità elastica si presenta la soluzione, in forma chiusa, del problema degli sforzi e delle deformazioni in un semi-piano sotto carico concentrato, usando funzioni speciali come l'esponenziale integrale, il seno integrale e il coseno integrale. Si è trovato che sforzi e deformazioni dipendono entrambi dalle proprietà elastiche e che lo sforzo non è distribuito radialmente come si era assunto in precedenti ricerche in questo campo. A parte il suo valore teorico, la soluzione può essere applicata nella meccanica dei terreni. Per illustrare questa soluzione, l'Autore presenterà in una successiva memoria i grafici degli sforzi e delle deformazioni.

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The paper was presented at the Conference on Mechanical Engineering and Mechanics, 6–7 July, 1970, Technion, Israel Institute of Technology, Haifa, Israel.     

Structure of a strong normal shock wave due to nonequilibrium radiation and collisional ionization

Summary The general theory about gas-dynamics with nonequilibrium radiative and collisional ionization is applied to the strong normal shock wave. It is shown that the problem is reduced to the solution of a system of two non-linear integral equations. It is proved that, if certain conditions are satisfied, an iteration method, to resolve these equations, can be applied; it turns out then that the fundamental parameter controlling the convergence or non convergence of the procedure is the value of the degree of ionization a just on the front of the shock. Numerical results are given and the physical complete structure of the shock is analized.

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Sommario La teoria generale relativa alla gasdinamica dei fenomeni caratterizzati da processi di ionizzazione in non equilibrio termodinamico, dovuti alle collisioni ed agli effetti della radiazione, è applicata al caso di un forte urto retto. Il problema è ridotto alla soluzione di un sistema di due equazioni integrali non lineari. Si dimostra che queste equazioni possono essere numericamente risolte con un metodo iterativo, se determinate condizioni risultano soddisfatte; il parametro che controlla la convergenza o non convergenza del procedimento è il valore del grado di ionizzazione sul fronte dell'urto. Sono riportati i risultati numerici relativi ad alcuni esempi ed è analizzata la completa struttura fisica dell'urto.

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This research has been sponsored in part by the Air Force Office of Scientific Research through the European Office of Aerospace Research, OAR, United States Air Force under grant number EOOAR-68-0049.     

An application of the invariance principle to a non-linear,first order evolution problem: Asymptotic stability in non-isothermal magnetohydrodynamics

Summary The purpose of this paper is to study, with the aid of the invariance principle for dynamical systems stated by Dafermos, the asymptotic stability of the null solution of a mixed, non-linear, first order evolution problem. As a particular case, one obtains a theorem on unconditional, asymptotic stability of stationary flows of non-isothermal magnetohydrodynamics in the Boussinesq approximation.

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Sommario Tale lavoro è rivolto allo studio della stabilità asintotica della soluzione nulla di un problema di evoluzione del primo ordine, misto e non lineare. Il metodo adoperato è quello del principio di invarianza per i sistemi dinamici di Dafermos. Come conseguenza dei risultati ottenuti, poi, si determina un teorema di stabilità asintotica incondizionata per i moti stazionari della magnetoidrodinamica non isoterma nello schema di Boussinesq.

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Work performed under the auspices of CNR (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica).     

A study on the forced vibrations of a class of non linear systems with application to the duffing equation Part I: Analytical treatment

Summary A new approach for the general study of the equations of type (1.1) is developed, consisting in the determination of the periodical steady solutions in a suitable parametric form with which the equation is transformed into a non linear integral equation. The procedure is developed in details in the case of the Duffing equation, for which it is obtained an approximate solution valid even if the non-linearity of the system is very high, based on the study of a Volterra integral equation.

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Sommario Viene sviluppato un nuovo procedimento per lo studio generale delle equazioni del tipo (1.1), consistente nella determinazione delle soluzioni periodiche a regime in una opportuna forma parametrica con cui l'equazione di partenza viene ricondotta ad una equazione integrale non lineare. Il procedimento viene sviluppato nei dettagli nel caso dell'equazione di Duffing per la quale si ricava una soluzione approssimata valida anche quando la non linearità è molto elevata, fondata sullo studio di un'equazione integrale di Volterra.

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This work, conducted within Group of Mathematical Physics of the National Research Council (CNR), is an elaboration of a paper presented at the 2nd National Congress of AIMETA (Napoli, October 1974).     

Shakedown analysis of limited-ductility structures

Summary The paper deals with the shakedown analysis problem of discrete elastoplastic structures, subjected to variable and repeated quasi-static loads, account being given to the limited structural ductility by imposing a-priori limit values to some relevant parameters of plastic deformation. The key-concept of limited-ductility load amplifier is assessed and the problem is given a unified formulation as a nonlinear mathematical programming problem, where ductility constraints — of generalized character — are obtained by using a so-called perturbation method which leads to a-priori upper bounds of the relevant plastic deformation measures. Lower bounds to the load amplifier are so obtained and three different computationals stratagies are herein outlined: the linear parametric programming one is applied to three case-study structures.

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Sommario La memoria affronta lo studio del problema di adattamento elastoplastico di strutture discrete, sottoposte a carichi comunque variabili in modo quasi-statico, tenendo conto di un comportamento a limitata duttilità della struttura, il quale richiede che uno o più parametri della deformazione plastica risultino non superiori di assegnati valori. Del problema di analisi posto, utilizzando il concetto di moltiplicatore dei carichi per l'adattamento con limitata duttilità, viene data una formulazione unitaria come problema di programmazione matematica non lineare, i cui vincoli di duttilità sono ottenuti con tecniche perturbative di maggiorazione a-priori delle deformazioni plastiche. Il metodo conduce a limiti inferiori del moltiplicatore dei carichi dipendenti dal livello assegnato alla deformazione plastica. Tre differenti strategie computazionali vengono delineate per la soluzione del problema, una delle quali di tipo programmazione lineare parametrica viene applicata a tre esempi.

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Ricerca finanziata dal CNR e dal MPI.     

Uniqueness in boundary/initial value problems for a thermoviscoelastic solid of integral type

A general boundary/initial value problem for a linear thermoviscoelastic solid of integral typs is posed, and a uniqueness theorem is proved which holds for both bounded and unbounded domains. In the latter case we do not impose conditions on the behaviour of the unknown fields at infinity. Mild definiteness hypotheses on the initial values of the relaxation functions are assumed throughout.

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Sommario Dopo aver formulato un problema ai limiti generale per solidi lineari termoviscoelastici di tipo integrale, si stabilisce un teorema di unicità della soluzione valido per domini limitati e per domini illimitati. In questo secondo caso non viene imposta alcuna condizione sul comportamento all'infinito delle variabili di campo; si suppongono verificate solamente certe deboli condizioni di segno sui valori iniziali di alcune funzioni di rilassamento.