2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根     

用导数三探零点问题

方程f（x）=0的根也称为函数f（x）的零点,研究方程f（x）=0的根就是研究函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标．对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往“被压轴”．在2011年高考冲刺复习中,如何在零点题型上有所突破？导数是研究函数的图象与性质的最重要工具,因此解决有关方程根的分布或函数零点问题,导数方法是首选．本文以一道模拟题解法的三次改进,例说如何用好导数工具,解决函数零点问题．     

从2006年高考看用导数探讨函数图象的交点问题

2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新．导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数性质（单调性、最值、极值）转向运用导数综合研究函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题．     

从函数零点谈起

我们把使函数y=f（x）的值为0的实数x称为函数y=f（x）的零点．由此可以看出,函数y=f（x）的零点,就是方程f（x）=0的实数根．从图像上看,函数y=f（x）的零点,也是它的图像与x轴交点的横坐标．     

一道参数取值问题的多角度求解

题目若函数f（x）=a2x2-ax-2在区间[-1,1]上有零点,则实数a的取值范围是.分析本题是一道函数与方程相结合的函数综合问题,题虽小精悍,却颇具有求解价值,可从方程根、函数图像与x轴的交点、命题的对立问题（补集法）等多个角度进行分析与求解.角度1（方程的根）根据函数f（x）的     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f（x）=x^2＋bx＋c进行n次迭代，得到f^[n]（x），其中f^[1]（x）=f（x）．函数f（x）有无不动点（即方程f（x）=x有无实数根）对方程f^[n]（x）=x解的情况有何影响？文[1]、文[2]对此进行了探讨，得到一些颇有价值的结论．其中文[2]证明了下述结果：     

一个定理的再推广

定理 若函数f^-1（x），g^-1（x）分别是函数f（x），g（x）的反函数（下同），且g^-1（x）=g（x），则方程f（x）=g（x）有根a←→方程f^-1（x）=g（x）有根g（a）．     

函数的应用

本单元的重点：利用“二分法”求方程的近似解,体会函数的零点与方程的根之间的联系;掌握函数零点（即方程的根）的存在性定理,学会借用函数的图象判断方程解的个数及解的范围;认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长,应用函数模型僻决简单问题．     

关于连续分段函数不定积分的求法

对连续分段函数的不定积分进行比较深入的研究，通过构造例子，阐述连续分段函数不定积分的四种求法，即狭义上限函数法、广义上限函数法、方程（组）法和差分方程法．     

一个包含Euler函数及k阶Smarandache ceil函数的方程及其正整数解

设k≥2为给定的整数．对任意正整数n,k阶Smarandache ceil函数Sk（n）定义为Sk（n）=min{x：x∈N,n｜x^k}．本文的主要目的是利用初等方法研究函数方程Sk（n）=Ф（n）的可解性,并给出该方程的所有正整数解,其中Ф（n）为Euler函数．     

方程λ＋a＋be^τλ=0全部根的精确分布

考虑方程其中a，b为任意实常数,τ为正常数．本文在复数域上求得了方程（*）全部根的精确分布．在文[1]和[2]中应用Laplace变换法，得到了滞后型方程初值问题的形式解公式下：其中x（t）为初值问题的解，这里H（θ）为Heaviside函数．方程（*）为初值问题（E）中方程的特征方程．应用本文结果于形式解公式（1．1），可求得初值问题（E）的精确解．篇幅所限，此问题另文讨论．     

方程 λ(1 ce~(-τλ) a be~(-τλ)= 0所有根具有负实部的充要条件

考虑方程λ（１＋ｃｅ~（－τλ）＋ａ＋ｂｅ~（－τλ）＝０,（２）其中ａ,ｂ和ｃ为任意常数,τ为正常数,ｃ≠０．方程（１）为中立型方程　　　　　　　　ｘ（ｔ）＋ｃｘ（ｔ－τ）＋ａｘ（ｔ）＋ｂｘ（ｔ－τ）＝０　（２）的特征方程．方程（１）为一常见的拟多项式方程．关于拟多项式函数, Ｐｏｎｔｒｙａｇｉｎ在 １９４２年给出了判断这类函数所有零点位于左半复平面的充要条件．但对中立型方程来说,由于这些条件往往难以验证,使得人们长期以来无法用Ｐｏｎｔｒｙａｐｉｎ定理找出方程（１）所有根具有负实部的充要条件．本文在克服了上述困难后,用Ｐｏｎｔｒｇｉｎ定理找出方程（１）所有根具有负实部的充要条件．     

一个包含Z（n）和D（n）函数的方程及其它的正整数解

对于任意正整数n,著名的伪Smarandache函数Z（n）定义为最小的正整数m使得n｜m（m＋1）／2．而数论函数D（n）定义为最小的正整数m使得n｜d（1）d（2）d（3）…d（m）,其中d（n）为Dirichlet除数函数．本文的主要目的是利用初等方法研究一类包含伪Smarandache函数Z（n）和数论函数D（n）的方程2^z（n）=D（n）的可解性,并获得了该方程的所有正整数解．     

函数零点的应用

函数的零点是函数的重要性质之一,它把函数、方程、不等式紧衔地联系在一起．函数y=f（x）的零点a既可以理解为使函数值等于零的自变量的值（即f（a）=0）,又可以理解为方程f（x）=0的根（解）,零点的几何意义是函数y=f（x）图像与x轴的公共点的横坐标．下面笔者针对变号零点的几个作用举例剖析．     

过哪些点可以作三次函数图象的三条切线

2007年高考全国卷理22题为：已知函数f（x）=x^3-x． （Ⅰ）求曲线Y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；     

普通高中课程标准实验教科书《数学1》（鄂教版）解读——函数的应用

本章把知识内容定位在“函数的应用”，主要内容是两部分：一是介绍函数与方程的一些关系，另一是函数模型的应用举例．试图通过本章的学习，让学生初步领略到用函数模型及函数思想去解决问题的方法，从而进一步加深对函数重要性的认识．现结合本章（函数的应用），谈谈几点编写理念。     

一个定理的类比定理

本刊2005年第11期发表了甘志国老师的“一类问题的统一解法”一文后，2006年第1期又发表了孟祥礼、孟祥东老师的“一个定理的推广”一文，其观点基本正确．其中该文的推广定理最好表述为“若a为方程x＋f（x）=m的根，且函数f（x）存在反函数f^-1（X），则m—a为方程x＋f^-1。（x）=m的根”．它揭示了方程X＋f（x）=m与方程x＋f^-1（x）=m的根之间的对应关系＋证明如下。[编者按]     

一个包含Smarandache函数及第二类伪Smarandache函数的方程

主要研究方程Z2（n）＋1=S（n）的可解性,利用初等方法以及Smarandache函数的性质,证明了该方程有无穷多个正整数解,并获得了所有正整数解的具体表现形式．     

迭代方程λ_if~i(z)=F(z)局部解析解的存在性

本文在复域中讨论一般多项式函数迭代方程用优函数方法研究方程（＊）的局部解析解的存在性问题．     

例谈含参数的指数和对数方程的教学价值

在教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中,必修课程“数学1”模块中编排了“函数与方程”单元,旨在通过函数图像和性质研究方程的解,体现函数与方程的关系．在《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》中,高一年级编排了“指数方程和对数方程”的学习内容,要求“在利用函数的性质求解指数方程、对数方程以及求方程近似解的过程中,体会函数与方程之间的内在联系”．