柯西不等式及其应用

下面便是著名的柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式 :设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ,ｂ1,ｂ2 ,… ,ｂｎ 均为实数 ,则(ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ) 2 ≤ (ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ) (ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ) ,等号当且仅当ａｉ=λｂｉ(λ为常数 ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ)时成立 .这个命题的证法较多 ,在一般的竞赛教程中都可以查找到 ,这里从略 .应用柯西不等式解题的关键在于构造两组实数 ,并根据柯西不等式的特点进行探索 .在解决分式型问题时 ,通常还应用到柯西不等式如下的两个推论 .推论 1　设ａｉ 与ｂｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)同号 ,则∑ｎｉ=1ａｉｂｉ≥∑ｎｉ=1…     

点到直线距离公式的推广及应用

若点Ｐ(ａ ,ｂ)是直线λ1ｘ +λ2 ｙ +λ3 =0(λ1,λ2 ,λ3 ∈Ｒ)上一点 ,则ｄ =|λ1ａ +λ2 ｂ +λ3 |λ21+λ22,这是众所周知的 ,由它可得性质　若ａ ,ｂ ,λ1,λ2 ,λ3 ∈Ｒ ,且λ1ａ +λ2 ｂ +λ3 =0 ,则λ23 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (λ21+λ22 ) .证　构造直线ｌ:λ1ｘ +λ2 ｙ +λ3 =0 ,显然点Ｐ(ａ ,ｂ)在直线ｌ上 ,原点Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ =|λ3 |λ21+λ22,原点Ｏ与点Ｐ之间的距离为 |ＰＯ| =ａ2 +ｂ2∵ｄ≤ |ＰＯ| ,∴ |λ3 |λ21+λ22≤ａ2 +ｂ2 .故　λ23 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (λ21+λ22 ) .推论　若λ1,λ2 ,λ3 ∈Ｒ ,且λ1+λ2 +λ3=0…     

一个定理的别证及推广

文 [1 ]的定理 2为 :设ａ ,ｂ∈Ｒ+,若ａ+ｂ≤ 2 ,则ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ ≤ａｂ +1ａｂ若ａｂ≥ 1 ,则ａ+ｂ2 +2ａ +ｂ≥ ａｂ+1ａｂ其证明方法是作差比较法 ,现用函数的单调性证明之 .证明　易证函数ｆ(ｘ) =ｘ +1ｘ 在 (0 ,1 ]上递减 ,在 [1 ,+∞ )上递增 .因为 ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,故当 ａ+ｂ2 ≤ 1时 ,ｆ ａ+ｂ2 ≤ｆ(ａｂ) ,当ａｂ≥ 1时 ,ｆ ａ +ｂ2 ≥ｆ(ａｂ) ,即当ａ +ｂ≤ 2时 ,ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ≤ ａｂ+1ａｂ.当ａｂ≥ 1时 ,ａ +ｂ2 +2ａ+ｂ≥ ａｂ+1ａｂ.推广　设ｘｋ >0 (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,若∑ｎｋ=1ｘｋ ≤ｎ ,则1ｎ∑ｎｋ =1ｘｋ+…     

运用向量的一个性质研究不等式

新教材增加了向量的内容 ,其中两个向量的数量积有一性质 :|ａ—→·ｂ—→|≤ |ａ—→|·|ｂ—→|,当ａ—→ 与ｂ—→ 同向时ａ—→·ｂ—→= |ａ—→|·|ｂ—→|,当ａ—→ 与ｂ—→ 反向时ａ—→·ｂ—→ =- |ａ—→|·|ｂ—→|,也即当ａ—→ 与ｂ—→ 共线时 |ａ—→·ｂ—→|=|ａ—→|·|ｂ—→|.运用这一性质解证不等式问题 ,给人耳目一新之感 ,使人收获颇丰 .1.求最值例 1　已知ｍ ,ｎ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ ,且ｍ2 +ｎ2 =ａ ,ｘ2 +ｙ2=ｂ,那么ｍｘ +ｎｙ的最大值为 (　　 ) .(Ａ)ａｂ　　　　　 (Ｂ) ａ +ｂ2(Ｃ) ａ2 +ｂ22 (Ｄ) ａ2 +ｂ22解…     

这样证明对吗？

众多的高三复习资料上都有这样一道例题 :题目　设ａｉ>0 (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,且满足条件ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ=1,用数学归纳法证明ａ21 ａ22 … ａ2 ｎ≥ 1ｎ (ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .不少同学是这样证明的 :证　 1)当ｎ =2时 ,ａ21 ａ22 =ａ21 ａ21 ａ22 ａ222≥ ａ21 ａ22 2ａ1ａ22 =(ａ1 ａ2 ) 22 =12 ,不等式成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ≥ 2 )时不等式成立 ,即当ａ1 ａ2 … ａｋ=1时 ,有ａ21 ａ22 … ａ2 ｋ≥ 1ｋ.当ｎ =ｋ 1时 ,ａ21 ａ22 … ａ2 ｋ ａ2 ｋ 1≥ 1ｋ ａ2 ｋ 1>1ｋ 1.由此可见 ,当ｎ =ｋ 1时不等式也成立 .由…     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97.　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :(ａ 1 ) 3ｂ (ｂ 1 ) 3ｃ (ｃ 1 ) 3ａ ≥814.下面给出此题的证明 .证　左边≥ 3 (ａ 1 ) (ｂ 1 ) (ｃ 1 )3 ａｂｃ=3(ａ 12 12 ) (ｂ 12 12 ) (ｃ 12 12 )3 ａｂｃ≥ 3·33 ａ4·33 ｂ4·33 ｃ43 ａｂｃ =814.等号当且仅当ａ =ｂ =ｃ =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求证 :　　(ａ2 1 ) ｍａ1 (ａ3 1 ) ｍａ2 … (ａ1 1 ) ｍａｎ≥ ｎｍｍ(ｍ - 1 ) ｍ -1.证　左边≥ｎ[(ａ2 1 ) (ａ3 1 )…     

向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…     

一个不等式猜想的推广及证明

在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,则(ａ ｂ) (1ａ 1ｂ)≥ 4 4 (4 ｂａ -4 ａｂ) 2 (1)(ａ ｂ ｃ) (1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9 6 [(6ｃｂ -6ｂｃ) 2 (6ａｃ -6ｃａ) 2 (6ｂａ -6ａｂ) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ =1 ａｋ ｎｋ =11ａｋ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ <ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明ｎ =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1　若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,…     

两个不等式的指数推广

贵刊文[1]给出以下两个不等式:1　设ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2,…,ｎ),且ｘ211 ｘ21 ｘ221 ｘ22 … ｘ2ｎ1 ｘ2ｎ=ａ(0<ａ<ｎ),求证:ｘ11 ｘ21 ｘ21 ｘ22 … ｘｎ1 ｘ2ｎ≤ａ(ｎ-ａ)(1)2　设ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2,…,ｎ),且ｘ11 ｘ1 ｘ21 ｘ2 … ｘｎ1 ｘｎ=ａ(0<ａ<ｎ),求证:ｘ211 ｘ1 ｘ221 ｘ2 … ｘ2ｎ1 ｘｎ≥ａ2ｎ-ａ(2)笔者受该文的启发,将上述两个不等式从变量的指数上予以推广,得到下面几个命题.　命题1　设ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2,…,ｎ),ｍ,ｋ∈Ｎ,且ｍ≥2,1≤ｋ≤ｍ-1,且ｘｍ11 ｘｍ ｘｍ21 ｘｍ2 … ｘｍｎ1 ｘｍｎ=ａ(0<ａ<ｎ),则有:ｘｋ11 ｘｍ…     

数列极限、数学归纳法

选择题1　下列命题正确的是 (　　 )(Ａ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,则ｌｉｍｎ→∞ａ2 ｎ=α2 .(Ｂ)若ｌｉｍｎ→∞ ａ2 ｎ=α2 ,则ｌｉｍｎ→∞ａｎ=±α.(Ｃ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=β,则ｌｉｍｎ→∞(ａｎｂｎ) =αβ .(Ｄ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=∞ ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=0 ,则ｌｉｍｎ→∞ ａｎ·ｂｎ=0 .2　若 |ａ 2 | 2ｂ - 1=0 ,ａ ,ｂ∈Ｒ ,则无穷等比数列ａｂ ,ｂ ,ｂａ ,…的各项和为 (　　 )(Ａ) - 2 .　 (Ｂ) - 23.　 (Ｃ) 34 .　 (Ｄ) 2 .3　若ｌｉｍｎ→∞[12 - (ｒ1 ｒ) ｎ]=12 ,则ｒ的取值范围是(　　 )(…     

一个猜想的推广

文 [1 ]提出并证明了下述的猜想 :设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+,ｉ =1 ,2 ,…ｎ ,α>0 ,则有 :∑ ｂα+1ｉａαｉ≥ (∑ｂｉ) α+1(∑ａｉ) α ,当且仅当 ａｉｂｉ =∑ａｉ∑ｂｉ时等号成立 .本文给出上述猜想的推广并证明 :定理　设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+,ｉ =1 ,2 ,…ｎ .1 )当α >0 ,β >0 ,α+β<1时∑ａαｉｂβｉ ≤ｎ1-α- β(∑ａｉ) α(∑ｂｉ) β;2 )当 β <0 ,α<0或α≥ 1 -β时∑ａαｉｂβｉ ≥ｎ1-α- β(∑ａｉ) α(∑ｂｉ) β.证明　首先有Ｊｅｎｓｅｎ不等式 (见文 [2 ])设ａｉ ∈Ｒ+,ｉ=1 ,2 ,…ｎ.则1ｎ∑ａαｉ ≥ (1ｎ∑ ａｉ)α　 (α …     

不等式a~3/x~2+b~3/y~2≥(a+b)~3/(x+y)~2的另证

文 [1 ]中谭志中和单老师为解决一类电场问题提出了一个不等式 ,即对于任意的ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,有不等式ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 成立 .(其中等号成立当且仅当ａｙ =ｂｘ ａｘ=ｂｙ) .文中为证明上述不等式 ,构造了恒等式 ,即 :ｆ (ｘ ,ｙ) =ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 =(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 +(ａｙ -ｂｘ)ｘｙ(ｘ + ｙ)ａｘ+ ｂｙ+ ａ +ｂｘ + ｙ .构造虽然巧妙 ,但一时不易让人接受 ,下面给出此不等式的另一种证法 .证　由于ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ+ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 (ｘ2 + ｙ2 + 2ｘｙ)·ａ3ｘ2 + ｂ3…     

权方和不等式的应用

1　权方和不等式设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+(ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,实数ｍ >0 ,则∑ｎｉ=1ａｍ +1ｉｂｍｉ≥∑ｎｉ=1ａｉ ｍ +1∑ｎｉ=1ｂｉ ｍ (1)其中等号当且仅当 ａ1ｂ1=ａ2ｂ2=… =ａｎｂｎ时成立 .这就是权方和不等式 ,文 [1]给出了它的一种简单证明 ,文献 [2 ]证明它当ｍ <- 1时也成立 .此处不再重复它的证明了 .权方和不等式的一个显著特征是 ,其中出现的每一个分式 ,分子的幂指数都比分母的幂指数恰好大 1.在运用权方和不等式 (1)证题时 ,关键是必须注意按照它的这一特征去进行配凑 .就是说 ,要善于创造条件去运用它 .2　权方和不等式的应用权…     

例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

关于函数图象对称问题的相关命题研究

函数是高中数学的重点内容之一 ,函数问题的多变体现了函数的特点 .研究函数图象的对称特点 ,对更进一步理解函数的性质是十分重要的 .1　图象关于点对称问题的相关命题定理　奇函数ｙ=ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ｒ的图象关于原点对称 .(证明见教材 ,略 .)奇函数满足ｆ(-ｘ)= -ｆ(ｘ)可写为ｆ(0 +ｘ) +ｆ(0 -ｘ) =0 ,ｘ∈Ｒ .由以上关系式拓展得如下命题 .命题 1　若一个函数ｙ =ｆ(ｘ)对任意ｘ∈Ｒ满足ｆ(ａ -ｘ) +ｆ(ａ+ｘ) =2ｂ,当且仅当它的图象关于点 (ａ,ｂ)成对称图形 .证明　设点Ｍ(ｍ ,ｎ)为函数ｆ(ｘ)图象上任意一点 ,它关于点 (ａ ,ｂ)的对称…     

综合题新编选登

题 1 5　函数ｆ(ｘ) =11 ａ·2 ｂｘ的定义域为Ｒ ,且ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =0 (ｎ∈Ｎ) .1 )求证 :ａ >0 ,ｂ <0 .2 )若 ｆ(1 ) =45 且ｆ(ｘ) 在 [0 ,1 ]上的最小值为 12 ,求证 :ｆ(1 ) ｆ(2 ) … ｆ(ｎ) >ｎ 12 ｎ 1- 12 (ｎ∈Ｎ) .证　 1 )∵ ｆ(ｘ) 的定义域为Ｒ ,∴ 1 ａ·2 ｂｘ≠ 0恒成立 ,即ａ≠ - 2 -ｂｘ,而 - 2 -ｂｘ<0 ,∴ａ≥ 0 ,若ａ =0 ,则ｆ(ｘ) =1与ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =0矛盾 ,故ａ >0 .ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =ｌｉｍｎ→∞11 ａ·2 -ｂｎ=1　　　 (0 <2 -ｂ<1 ) ,11 ａ　 (2 -ｂ=1 ) ,0　　　 (2 -ｂ>1 ) .∴ …     

一个平均值不等式

关于ｎ个正数ａ1、ａ2 、…、ａｎ 的调和平均值Ｈ(ｎ)、几何平均值Ｇ(ｎ)、算术平均值Ａ(ｎ)与平方幂平均值Ｓ(ｎ)的不等式链Ｈ(ｎ)≤Ｇ(ｎ) ≤Ａ(ｎ) ≤Ｓ(ｎ)是大家比较熟悉的 .本文介绍笔者近期发现的一个不等式ｎａａ1 1ａａ22 …ａａｎｎ ≥Ｇ(ｎ) Ａ(ｎ) ( )当且仅当ａ1=ａ2 =… =ａｎ 时取等号 .为述说与书写的简便 ,称上式左端为ｎ个正数的自幂几何平均值 ,记为Ｚ(ｎ) .1　发现中学课本中有这样一证明题 :若ａ、ｂ >0 ,则ａａｂｂ ≥ａｂｂａ此不等式易证 ,两端同乘以ａａｂｂ 得(ａａｂｂ) 2 ≥ａａ+ｂ·ｂａ+ｂ =(ａｂ) ａ+ｂ所…     

关于Cauchy——D′Alembert判别法

直接使用Ｃａｕｃｈｙ判别法或者Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法来判别数项级数的敛散性时 ,有时计算极限难度大 .为了计算极限简单 ,本文提出灵活使用Ｃａｕｃｈｙ判别法和Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法的方法 .1　Ｃａｕｃｈｙ———Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法定理 (Ｃａｕｃｈｙ———Ｄ′ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法 )对数项级数 ∑∞ｎ =1ａｎｂｎ(ａｎ >0 ,ｂｎ >0 ,ｎ∈Ｎ)有ｌｉｍｎ→∞ｎｂｎ =ｂ ,ｌｉｍｎ→∞ａｎ 1 ａｎ =ａ(或ｌｉｍｎ→∞ｎａｎ =ａ ,ｌｉｍｎ→∞ｂｎ 1 ｂｎ =ｂ) .(1 )若ａ <ｂ ,则数项级数 ∑∞ｎ=1ａｎｂｎ 收敛 …     

对一个不等式的深入思考

问题　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数ｎ ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :1 )对于 1≤ｎ≤ 4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤ 2ｂｎ 均成立 ;2 )对于ｎ >4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤2ｂｎ不能成立 .证　 1 )由原不等式ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4的证明过程易知 ,其等号当且仅当ｃｏｓＢ =12 ,且ｂ2 =ａｃ,即ａ =…