世界数学奥林匹克竞赛试题选

1 (俄罗斯1999年数学奥林匹克竞赛)是否存在19个不同的正整数使得它们的和是1999而且每个数的数字之和是相等的?     

2008年中国西部数学奥林匹克试题评析

由中国数学会奥林匹克委员会主办的第8届中国西部数学奥林匹克（CWMO）于2008年10月30日至11月4日在贵州省贵阳市贵州师范大学附中举行．     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (意大利 1995年数学奥林匹克 )求出所有正整数ｘ ,ｙ ,使得ｘ2 615=2 ｙ ( 1)解　对于非负整数ｋ ,2 2ｋ 1=4 ｋ·2≡ ( - 1) ｋ·2≡ 2或 3(ｍｏｄ 5) ,又∵ｘ2 ≡ 0或 1或 4 (ｍｏｄ 5) ,∴ ｙ必须是偶数 .令 ｙ =2ｚ ,代入 ( 1)得( 2 ｚ-ｘ) ( 2 ｚ ｘ) =615=3× 5× 4 1∴　　　 2 ｚ ｘ =6152 ｚ-ｘ =1( 2 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =2 0 52 ｚ-ｘ =3 ( 3)　　或　　　 2 ｚ ｘ =12 32 ｚ-ｘ =5( 4 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =4 12 ｚ-ｘ =15( 5)显然 ,方程组 ( 2 ) ,( 3) ,( 5)无正整数解 .由方程组 ( 4 )得 :2 ｚ=64,∴ｚ =6,ｘ =59,…     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 对任意素数p和任意正整数n，证明：n｜ψ（p^n-1），其中ψ是欧拉函数．     

世界各地数学奥林匹克竞赛试题摘编

1　 (第 2 3届全俄中学奥林匹克竞赛试题 ,11年级 )求方程 (x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y的整数解 .解　以下将证明方程(x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y (1)的解是 (- 4,5 ) ,(4,5 ) ,(- 1,0 ) ,(1,0 ) ,(- 4,3) ,(4,3) .设x ,y是满足方程 (1)的两个整数 .注意到 ,若 y <0 ,则 1+ 16 y <0 ,则 1+ 16 y不是一个完全平方数 ;若 (x ,y)就是 (1)的解 .不失一般性 ,可设x≥ 0 .情形 1:若x≥y ,可令x =y +a且a∈N .方程 (1)可改写为 :4a2 y2 + 4 (a3- 4) y +a4 - 1=0 .故 y是二次方程 4a2 X2 + 4 (a3- 4)X +a4 - 1=0的一个解 .此时Δ =16 (- 8a3+a2 + 16 ) ,则一…     

2002年中国数学奥林匹克试题解答

1　△ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1　题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解　 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即　　ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有　　　ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ …     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1（2000年中国台湾数学奥林匹克）设，是正整数集到非负整数集的映射，满足f（1）=0，f（n）=max 1≤j≤n-1 {f（j）＋f（n～j）＋j｜（n≥2），求f（2000）。     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛试题的推广

在本刊2005年第19期P48上，刊登了2005年巴尔干数学奥林匹克试题，当中的第3题为：设a，b，c是正数，求证：     

一道巴尔干数学奥林匹克试题推广的类比

文[1]刊登了安振平老师、刘聪胜老师对-道巴尔干数学奥林匹克竞赛试题的推广形式的研究，笔者反复琢磨、体会，获益非浅，深受启发，并得出了两个类似的结论：     

一道数学奥林匹克竞赛试题的简证

题 (2007女子数学奥林匹克)已知a,b,c≥0,且a+b+c=1.求证:a+14(b-c)2+b+c≤3.……     

31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答

1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)…     

第7届女子数学奥林匹克概况及试题赏析

由中国数学会奥林匹克委员会主办的第7届女子数学奥林匹克（CGMO）于2008年8月13日至18日在广东省中山市中山纪念中学举行．     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 找到所有映射f：R→R，满足，f（f（x）＋y）=f（x^2-y）＋4f（x）y。     

2007年第6届女子数学奥林匹克概况、试题和解

作为一名高中生，通过数学竞赛，我把数学作为一项运动来享受，通过解答巧妙设计的数学趣味题和寻找好的“窍门”来开启其中的奥秘。     

一道数学奥林匹克试题的推广

文[1]介绍了美国第33届数学奥林匹克试题及解答。本文将第二天其中的第5题给出推广。     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 求证：对任意实数a3，a4，…，a85，方程a85x^85 a84x^84 … a3x^3 3x^2 2x 1=0的根不全为实数．     

世界各地数学奥林匹克试题选析

1　是否存在一个这样的函数 ｆ(ｘ) ,它不是多项式且对任意实数ｘ有(ｘ - 1 ) ｆ(ｘ + 1 ) - (ｘ + 1 ) ｆ(ｘ - 1 ) =4ｘ(ｘ2 - 1 ) ?解　答案是肯定的 .任取函数 ｆ(ｘ) =ｘ3 +ｘｋ(ｘ) ,这里ｋ(ｘ)是定义在Ｒ上的一个有界的、非常数、周期为 2的函数 (例 ,ｋ(ｘ) =ｓｉｎ(πｘ) ,ｋ(ｘ) =ｘ - [ｘ],… ) ,对这样的ｆ(ｘ) 和任意实数ｘ有　 (ｘ - 1 ) ｆ(ｘ + 1 ) - (ｘ + 1 ) ｆ(ｘ - 1 )=(ｘ - 1 ) (ｘ + 1 ) 3 - (ｘ + 1 ) (ｘ - 1 ) 3 +(ｘ2 - 1 ) (ｋ(ｘ + 1 ) -ｋ(ｘ - 1 ) )=4ｘ(ｘ2 - 1 ) + 0　 (因为ｋ(ｘ)的周期为 2 ) .2　 (圣…     

一道东南数学奥林匹克试题的推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不…