对线性分式函数n次迭代的一个补充

线性分式函数的迭代有着较为广泛的应用.现有的求函数的n次迭代式的方法有:定义法、数学归纳法、不动点法和桥函数相似法等.文[1]利用矩阵的特征多项式理论,得到了线性分式函数的n次迭代式的一般计算公式,此公式只能解决特征根互异的情形.本文就特征根相等的情形作了一些讨论,得到了特征根相等时的线性分式函数的n次迭代式的一般计算公式,并举例说明了它的应用.定义设函数y=f(x),记f0(x)=x,fn(x)=f(f…f(x)…)(n∈N ),则称fn(x)为函数f(x)的n次迭代,显然,fn(x)=f(fn-1(x))(n≥1).定理设f(x)=caxx db,a,b,c,d∈R,ad-bc≠0,若方程λ2-(a b)…     

一类特殊方程的解法探讨

本文在实数范围内探讨一类特殊方程的解法。 定理1 若F(x)在区间D上存在二阶导函数,且F″(x)>0(或F″(x)<0),又f(x),g(x),h(x),k(x)均为R上的函数,其值域均包含于D,f(x) g(x)=h(x) k(x),则方程F(f(x)) F(g(x))=F(h(x)) F(k(x))与方程f(x)=h(x)或f(x)=k(x)同解。     

论逐段单调连续函数的迭代根

<正> 设E是一个集,f和g是将E映射到自身的函数.f~og表示f和g的复合函数(f~og)(x)=f(g(x)),x∈E.f的迭代函数f~n的定义是 f~o(x)=x,f~(n+1)=fof~n,n=0,1,2,….如果对一个整数r≥2和一切x∈E成立着 f~r=g,我们就说f是g的一个r阶的迭代根. 关于迭代根的研究至少可以上溯到Abel,甚至更早的Babbage.多年以来这问题一直引起许多作者的注意.1950年R.Isaacs在一篇精辟的论文中完成了一个奠基     

浅谈迭代函数的零点问题

<正>我们先给出迭代函数的概念:一般地,如果给定一个函数f(x),它的值域是其定义域的子集,那么我们可以记f⁽¹⁾(x)=f(x),f(1)(x)=f(x),f⁽²⁾(x)=f(f(x)),f(2)(x)=f(f(x)),f⁽³⁾(x)=f(f(f(x))),……,f(3)(x)=f(f(f(x))),……,f⁽ⁿ⁾(x)=f(f(n)(x)=f(f^(n-1)(x))=(f(f(…f(x)…)))n个f并把它们依次叫做函数f(x)的一次迭代,二次迭代,三次迭代,……,n次迭代.n称为f(x)的迭代指数,显然,n次迭代就是同一函数的n次复合函数,下面讨论与二次迭代函数的零点     

我为高考设计题目

题81定义:对于函数f(x),x∈MR,若f(x)相似文献   

二次函数迭代的一个问题

众所周知,将二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),这是个2n次多项式,函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实根)对方程f[n](x)=x的解的情况有何影响?本文拟对此进行一些探索.在本文中,我们规定f[0](x)=x.1函数f(x)没有不动点如果函数f(x)没有不动点,即方程x2 (b-1)x c     

关于二次分式函数迭代的一个定理

考虑任意给定的二次分式函数 f(x)=(Ax~2+Bx+C)/(Mx~2+Nx+P) (1)其中分子与分母互质,且A与M不都是零,M与N也不都是零,作为函数迭代的定义,这个函数的零次迭代为,f_0=x;对于任何正整数n,这个函数的n次迭代为f_n=f(f_(n-1)),即     

不动点的性质及应用

本文试图探索不动点问题的解题途径、规律和策略,权当对教材的补充.一、函数不动点的定义定义:对于函数f(x),若存在实数x0,满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.对此定义有两方面的理解(1)代数意义:若方程f(x)=x有实根x0,则y=f(x)有不动点x0.(2)几何意义:若函数y=f(x)与y=x有交点(x0,y0),则x0为y=f(x)的不动点.在实际问题中经常根据f(x)=x根据情况进行讨论,同时结合图形来求解有关不动点的问题.二、函数不动点的性质性质1:函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x),-1不动点.证明:由f(x0)=x0,可得f-1(x0)=x0,所以x0是y=f-1(x)的不动点.性质2:定义在R的…     

新题征展(32)

A　题组新编1.对于任意 x∈ R函数 f (x)都满足f(x 2 ) =f (2 - x) .(1)如果方程 f(x) =0恰好有 2 0 0 2个不同实根 ,则这些根之和为 (　 ) .(A) 0　 (B) 2 0 0 2　 (C) 4 0 0 4　 (D) 80 0 8(2 )如果方程 f (x 2 ) =0恰好有 2 0 0 2个不同的实根 ,则这些根之和为 (　 ) .(A) 0　 (B) 2 0 0 2　 (C) 4 0 0 4　 (D) 80 0 8(3)如果方程 f(x - 2 ) =0 ,恰好有 2 0 0 2个不同的实根 ,则这些根之和为 (　 ) .(A) 0　 (B) 2 0 0 2　 (C) 4 0 0 4　 (D) 80 0 8(4)如果方程 f (x 1) =0恰好有 2 0 0 3个不同的实根 ,则这些根之和为 (　 ) .(…     

二次函数迭代的一个问题初探

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实根)对方程f[n](x)=x的解的情况有何影响?文[1]探讨了这个问题,并提出未解决的问题:方程f(x)=x有两个不等实根,方程f[n](x)=x何时只有两个不同的实数根,何时又有2n个不同的实数解?本文探讨     

谈谈周期函数的定义

在目前的书刊中,周期函数的定义五花八门,最常见的有下列两种: 定义1 对于函数y=f(x),若存在常数T≠0,使当x定义域内的每一个值时,f(x-T)=f(x)=f(x T)都成立,则称y=f(x)是周期函数,常数T叫做这个函数的周期。我国不少书刊采用了这一定义(如文[1]),现行苏联十年制数学教材(文[2])也有类似定义。定义2 对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期,对于一个周     

再论函数的非周期性

关于函数的非周期性,在文[2]中证明了一大批所谓复合正弦函数如sinex,sinln(x2 4)等为非周期函数,但如果limx∞f'(x)=k(常数),文[2]的定理就无能为力了,本文将部分解决上述问题.为简单起见如无特别声明,本文所说函数仍设为定义在R上的连续函数,同时我们还引进渐近曲线概念:定义对于定义在R上的函数f(x),g(x),若limx∞|f(x)-g(x)|=0,我们称f(x)为g(x)的渐近曲线,当然g(x)也是f(x)的渐近曲线,记为f(x)～g(x).我们有以下结论定理1设f(x)～g(x),且g(x)和f(x)都是周期函数,则有f(x)≡g(x).我们先证如下引理.引理任意给定两个正实数ω1和ω2,…     

从函数零点谈起

我们把使函数y=f（x）的值为0的实数x称为函数y=f（x）的零点．由此可以看出,函数y=f（x）的零点,就是方程f（x）=0的实数根．从图像上看,函数y=f（x）的零点,也是它的图像与x轴交点的横坐标．     

浅谈函数的性质与方程的解

函数是中学数学的重要内容之一。它与数学中其它知识有着密切的联系;本文就函数的性质与方程的解给读者介绍一些方法。一、利用函数的对称性例1 已知函数 y=f(x)满足 f(2+x)=f(2-x).试证:方程 f(x)=0的根成对出现;并且若这个方程有四个根,试求这四个根之和。分析:由于 f(2+x)=f(2-x),这说明函数 y=f(x)的对称轴为 x=2,即 f(x)=f(4-x)∴当 x_0是方程 f(x)=0的一个根,同时4-x_0亦一定是 f(x)=0的根,故方程 f(x)=0     

多阶可微函数的迭代根与 Bodewadt 猜想

B(?)dewadt 在[1]中研究了定义于开区间(a,b)上的多阶可微函数 F(x)的迭代根,并证明了如下之B(?)dewadt 定理 若 F(x)定义于(a,b)且在(a,b)有任意阶的导数 F~(k)(x),(k=1,2,…),F′(x)>0,F(x)>x.且 F(x)把(a,b)变为(a,b),则对任意正整数 n≥2,存在定义于(a,b)的任意阶可微函数 f(x)满足     

达兰贝尔函数方程

Ⅰ 引言 达兰贝尔函数方程(1) 2f(x)f(y)=f(x y) f(x-y)有悠久历史,可回溯到达兰贝尔(d'Alembert),泊松(Poisson)和皮卡(Picard)。这个方程在各种欧氏几何和非欧几何的两个矢量的求和中起着重要作用。 在方程(1)中,被预定为定义在全体实数上的连续实值函数。在这个假定下,(1)的解只     

拉格朗日中值定理的一个证明

拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献   

复合函数f(φ(x))的几何作图

我们知道,利用构造反函数的方法,可以引进许多新函数,并且当已知原函数的图形时,反函数的图形也不难作出,那就是原函数关于直线y=x的对弥图形。此外,有更大量的函数是通过构造复合函数的方法引进的。自然我们也希望能够从y=f(x)及y=φ(x)的图形直接作出复合函数y=f(φ(x))的图形。下面将介绍一种利用直线y=x来作复合函数图形的方法。一、已知y=f(x)及y=φ(x)的图形,作复     

一类二元函数方程的解法

在本文中,笔者要给出一类二元函数方程(是指函数方程中表示未知函数的自变量的字母有两个) f(W(x,y))=R(f(x),f(y)) (1)的可微解的一个求法。这种解法是把函数方程(1)的形式解(是指包含某些尚须由该函数方程确定的待定常数的解)的求法归结为简单的常微分方程的求解。我们来叙述这种解法。     

关于函数非周期性的研究

有关函数周期性问题 ,近年有人陆续研究 (见 [4]- [9]) ,但大多研究如何求出函数的周期 .至于如何判定一个函数是否为非周期函数 ,论述就不多了 .如果f(x) 为线性函数或周期函数 ,易知sinf(x) 为周期函数 ,如果f(x) 为定义在R上的非线性函数及非周期函数 ,sinf(x) (下面我们简称为复合正弦函数 )是否还是周期函数 ?本文试用初等分析知识 ,证明函数的一些非周期性 .文 [1 ]证明了 f(x) 满足下列条件之一时 ,函数sinf(x) 为非周期函数 :1 ) f(x) 为二次以上的多项式 ;2 ) f(x) 为既约分式 .其实 ,借助于周期函数的定义 ,用初等分析方法 ,可以…