巧妙构造函数证明数列的单调性

对数列{an}，对任意n∈N^＊，若满足an〈an＋1，则数列{an}为递增数列；若满足an〉an-1，则数列{an}为递减数列．     

数列的单调性与对应函数的单调性之间的关系

一日,一学生问了一个题目,即下面的： 例1 已知f（x）=2-1/x,数列{an}满足,1〈a1〈2,an＋1=f（an）,证明1〈an＋1〈an〈2．     

一道数列竞赛题的另解

题目 已知数列{an}满足:a1=2t-3(t∈R,且t≠1),an+1=(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1/an+2tn-1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若t＞0,试比较an+1与an的大小.     

等差数列的一个性质及其应用

设数列 {an}是等差数列 ,公差为d ,则an + 2 ·an-a2 n + 1=-d2 .此结论的证明不难 .an + 2 ·an-a2 n + 1=(an + 1+d) (an + 1-d) -a2 n + 1=a2 n + 1-d2 -a2 n + 1=-d2 .若从等差数列的特征去思考 ,它有an + 2+an=2an + 1这一递推关系式 ,那么此结论是否有其一般的规律呢 ?思考 1　在数列 {an}中 ,若an + 2 +an=pan + 1(n∈N ,p为非零常数 ) ,则an + 2 ·an-a2 n + 1=?探索　设bn=an + 2 ·an-a2 n + 1,则bn + 1-bn =an + 3 ·an + 1-a2 n + 2 -an + 2 ·an+a2 n + 1=an + 1(an + 3 +an + 1) -an + 2(an + 2 +an) =pan + 1·an + 2 - pan…     

一个不等式的简证

对于一类正项等差数列．利用数列的单调性和不等式证明的放缩法。可以得到不等式 a1a2…an〉an＋1^n（an/an＋1）^n^2 并进而推出不等式 1/e〈n√a1a2…an/an≤1的一个简证,和这个不等式在级数上的一个应用．     

几种常见的递归数列

一个数列的连续项之间的关系叫递归关系.由递归关系确定的数列叫递归数列.中学教材中的等差、等比数列,是最基本、应用最广的递归数列.递归数列在高考试题中时有所见.本文主要介绍一阶递归数列:an 1=f(an)(有一个初始条件)及二阶递归数列:an 1=f(an,an-1)(有两个初始条件)中的简单类型.1.第一类:a1=aan 1=can d　型若c=1,则an 1=an d,显然{an}是首项为a、公差为d的等差数列;若d=0,c≠0,则an 1=can,显然{an}是首项为a、公比为c的等比数列;下面就一般情形予以研究.例1　已知数列{an}中,a1=3,an 1=2an 4,求这数列的通项.解　由an 1=2an 4,得an=…     

一道高考数学压轴题的解法探讨

2008年陕西高考理科数学压轴题为： 问题 已知数列{an}的首项a1=3/5,an＋1=3an/2an＋1, n=1,2,….     

2008年陕西卷理科压轴题求解的思维衔接

题（2008年陕西卷理科压轴题）已知数列{an}的首项ai=3/5,an＋1=3an/2an＋1,n=1,2,…;     

对一个分段递推数列周期性的研究

在教学过程中,我遇到了这样一个问题: 问题0 已知以a为首项的数列{an}满足:an+1={an-3,an＞3 2an,an≤2,其中n∈N*.求正整数a,k的值,使得等式an+k=an对任意正整数n都成立. 本问题的实质是探求该数列的周期性,其中的条件"a∈N*"深深吸引了我,如果a可以取其他的实数值,该数列周期性的结论是怎样的呢?     

高阶等差数列的一个性质

定理1如果数列{an}是m阶等差数列,那么必有恒等式∑m 1i=0(-1)iCim 1an i=0(1)成立.证对数列{an}的阶数m作数学归纳法.当m=1时,数列{an}是一阶等差数列,此时有:an an 2=2an 1,即2∑i=0(-1)iCi2an i=0成立.所以结论(1)对m=1成立.假设对m-1阶等差数列结论(1)成立.当{an}是m阶等差     

对数列单调性定义的探究

<正>在数列的学习中,我们遇到这样的一个问题:已知数列{an}的通项公式为an=n(910)n,求数列的最大项.在解决这个问题的过程中,老师是这样做的:因为an+1an=(n+1)9()10n+1n9()10n=9(n+1)10n,所以an+1an≥19(n+1)10n9(n+1)≥1≥10nn≤9,又因为an>0,所以当且仅当n≤9时,an+1≥an(其中当且仅当n=9时,an+1=an),由此可知a1a11>…,因此数列的最大项是第9项和第10项,为910/109.     

带对称齐次核的级数算子的范数刻画及其应用

对带对称齐次核K(m,n)的级数算子T:T{an}=Σ_(n=1)~∞ K(m,n)an,{an}∈lω(n),l={{an)| an≥0,Σ_(n=1)~∞ω(n)an<+∞},本文研究了T的范数刻画,并讨论其应用.     

等比数列公比的极限分析法

极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法. 设{an)是公比为q的无穷等比数列,将an+1/an=q两边取极限,得 这说明等比数列中an+1/an的极限存在.且就是公比q.     

湖北卷理15的"名题"背景

题目 (2009,湖北理15)已知数列an满足:a1=m(m为正整数),an+1=(an)/(2),(当an为偶数时)3an+1,(当an为奇数时).若a6＝1,则m所有可能的取值为____.……     

星形函数族的一个子族的极值点与支撑点

设T={f(z):f(z)在单位圆盘|z|<1上解析,f(z)=z ,an是实数, |an|≥|an 1|且|an|≤1}．该文找出了解析函数族T的极值点与支撑点.     

造勾股数一法——等比数列的小应用

通过给定的等比数列,可以构造出一组勾股数. 性质 如果等比数列{an}满足:(1)an>0,(2)an单调递增,(3)an为奇数(或偶数),那么an+1-an-1/2,an,an+1+an-1/2(n≥2)是一组勾股数. 证明 ∵(1)an>0,(2)an单调递增,(3)an为奇数(或偶数),     

一堂一类递推公式的探究课

上海高中数学第二学期的课本第24页有这么一道题：在数列{an}中a1=1,an＋12an＋1（n∈N^＊）,设bn=an＋1,（1）求证：数列{bn}是等比数列;（2）写出数列{an}的通项公式．这个题这样设计应该说是比较容易解决的,     

一道高考填空题的解法探究

2013年高考新课标卷I理科第12题为：设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…,若b1〉c1,b1＋c1=2a1,an＋1=an,bn＋1=cn＋an/2,cn＋1=bn＋an/2,则（）     

常见的数列递推关系及通项

在数列学习中 ,常常见到数列是由其递推关系确定的 ,根据递推关系求解通项 ,除用计算—猜想—证明的思路外 ,通常还可以对某些递推关系进行变换 ,转化成熟知的等差、等比数列或易于求出通项表达式的数列的问题来解决 ,下面举例说明几种常见的转化思路 .型 1　数列递推关系形如an +1=an+d(d为常数 ) .显然有an +1-an=d ,这就得到 {an}是等差数列 ,于是an=a1+ (n - 1)d .型 2　数列递推关系形如an +1=qan(q为非零常数 ) .显然有 an +1an=q(常数 ) ,即 {an}是等比数列 ,于是an=a1qn- 1.型 3　数列递推关系由an 与Sn 给出 ,可利用an=S1　　　　…     

唇齿相依的an与Sn

从所周知,如何由数列|an|的递推关系式求数列的通项公式an,如何由数列的通项公式an求数列的前n项和公式Sn是<数列>这一章中我们要解决的两大基本问题,当已知数列的前n项和公式Sn时,则通过an={S1=(n=1),Sn-Sn-1(n≥2),很容易求得数列通项公式an,an与Sn可谓"唇齿相依";在高考与竞赛中还时常出现由an与Sn的关系式,求数列的通项公式的问题,本文通过一个典型题目的多种解法,介绍解决这类问题的几何常用策略,供大家参考.……