Vincent定理的多元推广

Vincent定理指出:若f(x)为d次实系数多项式,(a_1,b_1)为开区间,则多项式f(x)在(a_1,b_1)上没有实根当且仅当存在正常数δ,使得对任意区间(a,b)(a_1,b_1),当|a-b|δ时,多项式(1+x)~df((a+bx)/(1+x))的系数不变号(都是正数或都是负数).文章的主要工作是推广这一结果到一般的多变元代数系统.设实系数多项式f∈R[x_1,x_2,…,x_n],f相对于变元x_i的次数记为d_i.记区间的笛卡尔积为I=[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n](也称为Box).记φ(I)=max{b_i-a_i,i=1,2,…,n}.定义f_I=(1+x_1)~(d_1)(1+x_2)~(d_2)…(1+x_n)~(d_n)f((a_1+b_1x_1)/(1+x_1),(a_2+b_2x_2)/(1+x_2),…,(a_n+b_nx_n)).称f_I为f相对于Box I的伴随多项式.证明了:若多项式f_1,f_2,…,f_m∈R[x_1,x_2,…,x_n],且BoxΛR~n,则方程组{f_1=0,f_2=0,…,f_m=0}在BoxΛ上没有零点,当且仅当存在正常数δ(与BoxΛ有关),使得对于任意Box IA,当φ(I)δ时,伴随多项式f_(1I),f_(2I),…,f_(mI)中至少一个f_(iI)的非零系数全是正(或负)数且f_i在Box I的所有顶点上的值不为0.     

环Z/(m)上线性型的正交组

设整数 m>1,m=P …P 是 m 的标准分解式,1≤k≤n,f_1,…,f_k 是 k 个 n 元整系数线性型.本文证明了:(i)f_i,…,f_k 是模 m 的正交组当且仅当,f_1,…,f_k 是模 P_j~ 的正交组:j=1,…,t;(ii)f_1,…,f_k 是模 P~l 的正交组当且仅当 f_1,…,f_k 的系数矩阵中存在 k 阶子式 A_k,使得(|A_k|,p)=1,这里 p 是素数.     

Z/pkZ上的多元置换多项式

设Z表整数集,p为一给定奇素数,k为一正整数.张起帆(1995)得到了一类模p奇异的二元多项式成为剩余类环Z/pkZ上的置换多项式的一个充要条件,胡永忠(2001)将张起帆的这一结果的充分条件推广到了一般n元的情形.本文得到了一类模p奇异的n元多项式成为剩余类环Z/pkZ上的置换多项式的一个充要条件,所得结论是对张文(n=2)和胡文(n＞2)的自然推广和改进.     

环Z/(m)上线性型的正交组

设整数m>1,m=p_1~(l_(?))…p_1~(l_(?))是m的标准分解式,1≤k≤n,f_1,…f_k是k个n元整系数线性型。本文证明了: (ⅰ)f_1,…,f_k是模m的正交组当且仅当f_1,…,f_k是模p_j~(l_j)的正交组:j=1,…,t; (ⅱ)f_1,…,f_k是模P~l的正交组当且仅当,f_1,…,f_k的系数矩阵中存在k阶子式A_k,使得(|A|,p)=1,这里p是素数。     

合成数列的通项及其应用

设有两个数列{a_n}及{b_n}:a_1,a_2,a_3,…,a_n,…b_1,b_2,b_3,…,b_n,…依次交错排列 a_k、b_k(k=1,2,…)构成一个新的数列{x_n}:a_1,b_1,a_2,b_2,…,a_n,b_n,…我们称上述数列{x_n}为数列{a_n}和{b_n}的合成数列.本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用.     

关于单叶函数的两点注记

本文的内容是关于单叶函数的两点注记;第一点注记是关于奇函数的一个定理,第二点注记是把我从前得到一个偏差定理“初等化”。 1.设奇函数f_2(Z)=z+b_3z~3+…在|z|<1是正则且单叶,陈建功教授首先证明后来龚昇将上述结果e~2改为e。而本文将证     

量子代数模的张量积与不可分解模

令M是Z[v]的由v-1和奇素数p生成的理想,U是A=Z[v]M上相伴于对称Cartan矩阵的量子代数.k是特征为零的代数闭域,A→k(v(?)ξ)是环同态.U_k=U(?)_Ak,u_k是U_k的无穷小量子代数.令ξ是1的p次本原根.本文证明了:若有限维可积U_k模M,V中至少有一个是内射模,或者M,V中有一个模作为u_k模是平凡的,则有U_k模同构M(?)V≌V(?)M.我们还证明了:若有限维可积U_k模V作为u_k模是不可分解的,有限维可积U_k模M是不可分解的,且M|_(uk)是平凡的,则V(?)M是不可分解U_k模.令V和M是有限维可积U_k模,作为u_k模是同构的且具有单基座,本文证明V和M作为U_k模也是同构的.由此得到:不可分解内射u_k模提升为U_k模是唯一的.     

方程~2u/x~1x~1 ~2u/x~2x~2=f(u)的Bcklund变换

本文利用Wahlquist-Estabrook过程(WEP)研究了方程(?)~2u/(?)x~1(?)x~1 (?)~2u/(?)x~2(?)x~2=f(u)(这里f是任意函数)的B(?)cklund变换.我们发现该方程存在B(?)cklund变换的充分条件是d~2f/du~2=λf.我们所得到的结果的一个特殊情况就是Leibbrandt的结论.     

有限域上一类正形置换多项式

有限域F_(2~n)上,g(x)=b_2~dx~2~d+b_2~(d-1)x~2~(d-1)+…+b_2x~2+b_1x+b_0是2~d次仿射多项式,利用同余类知识和有限域上乘积多项式的次数分布规律,研究了F_(2~n)上形如xg(x)的2~d+1次正形置换多项式的存在性.     

拟线性方程组的时滞问题

§1.引理和定理1.在动力气象学中常用到可压缩流体力学的一组闭合方程组:(?)u_j/(?)t sum from i=1 to 3 u_i(?)u_j/(?)x_i α (?)P/(?)x_j ξ_(2j)fu_1 ξ_(3j)fu_2=f_j(t,x),j=1,2,3,(1.1)(?)_α/(?)t sum from i=1 to 3 u_i(?)α/(?)x_i=αsum from i=1 to 3 (?)u_i/(?)x_i,(1.2)Pα=RT,(1.3)C_P{(?)T/(?)t sum from i=1 to 3 u_i(?)T/(?)x_i}-α{(?)P/(?)t sum from i=1 to 3 u_i (?)P/(?)x_i}=0 (1.4)其中(?)x=(x_1,x_2,x_3),u_1,u_2,u_3,是风速的分量,α是比容,P 是压力,T 是绝对温度,柯氏参数 f=f(x_1,x_2)都是已知函数.R,C_p 为正常数.由于α(?)0,从(1.2)-(1.4)式消去 T,记     

带有多个Dirichlet特征和加法特征的Menon-Sury恒等式

本文研究了同时带有多个Dirichlet特征和多个加法特征的Menon-Sury恒等式,给出了下列求和的明确表达式■其中n是一个正整数,s,r为非负整数,Z_n~*是环Z_n=Z/nZ的单位群,gcd(,)表示最大公因子,x_i(1≤i≤s)是模n的导子为d_i的Dirichlet特征,λ_j(1≤j≤r)是Z_n的加法特征.从有限交换群上的Fourier分析的角度看,我们的结果给出了这个算术函数f(a_1,…,a_s,b_1,…,b_r)=gcd(a_1-1,…,a_s-1,b_1,…,b_r,n)在交换群(Z_n~*)~s×(Z_n)~r上的Fourier展开的系数的明确表达式.     

整系数多项式的哥德巴赫定理

哥德巴赫猜想断定每一个比4大的偶数是两个素数的和、用Z表示整数环,多项式环Z[x]与Z一样是一个唯一分解整环,其中不可约多项式相当于整数中的素数。本文的目的是证明多项式环Z[x]中与哥德巴赫猜想类似的定理。 定理1.在Z[x]中每一个次数n≥1的多项式M可以写成两个不可约n次多项式A与B的和,即     

模的同态模及其同调维

S.Eilenberg 等人在五十年代后期六十年代前期对模和代数的同调维作了大量研究.设 R 与 S 是交换环 K 上的代数,则 R(?)S 也是一个 K 上的代数。当 M 与 N 分别是左R 模与左 S 模时,M(?)N 是一个左 R(?)S 模([1])。Eilenberg 等有如下结果:     

与线性变换完全环同构的环理论(Ⅵ)

记 A 是除环 F 的(无限维)向量空间,φ是 F 的中心,(?)(F,A),(?)(φ,A)分别是 A 的 F-及φ-线性交换完全环.本文证明了如下结构定理:[F:φ]=n<∞当且仅当(?)(φ,A)=f_(1L)(?)(F,A)(?)…(?)(F,A),其中 f_1,…,f_n 是 F 的φ-线性无关元,f_(jL)表示元素 f_j 的标量左乘,(?)表示直和.其次,若 R_1,…,R_n 是(?)(F,A)的加法子群,那末(?)(φ,A)的加法子群 R=F_(1L)R_1+…+f_(nL)R_n 在(?)(φ,A)中稠密当且仅当每个 R_i 在(?)(F,A)中稠密,如记 T_v(φ,A),T_v(F,A)分别是 A 的所有秩小于(?)_v 的φ-及 F-线性变换环,那末还有 T_v(φ,A)=f_(1L)T_v·(F,A)(?)…(?)f_(nL)T_v(F,A).另方面,如仅仅假设φ为 F 的子除环,那末[F:φ]<(?)_v 当且仅当 T_v(φ,A)=(?)(φ,A)T_v(F,A).     

对称正则长波方程的守恒差分算法

1引言SRLW方程(?)~3u/(?)x~2(?)t-(?)u/(?)t=(?)p/(?)x u((?)u/(?)x),(1.1) (?)p/(?)t (?)u/(?)x=0(1.2)是正则长波(RLW)方程的一种对称叙述,用于描述弱非线形作用下空间电荷的等离子声     

关于二次模的正交群

本文给出了交换环上二次模直交和的正交群的计算公式，对多项式环上的二次模，给出了一类子群的局部整体定理。     

关于Z／mZ上置换多项式向量组的一个注记

设ｍ和ｎ是两个正整数，Ｒ＝Ｚ／ｍＺ是整数模ｍ剩余类环．设ｎ个多项式ｆｊ（ｘ１，…，ｘｎ）∈Ｒ［ｘ１，…，ｘｎ］，ｊ＝１，…，ｎ，若对任给的（ａ１，…，ａｎ）∈Ｒｎ，同余式组ｆｊ（ｘ１，…，ｘｎ）≡ａｊ（ｍｏｄｍ），ｊ＝１，…，ｎ，恰有一个解，则称ｆ１，…，ｆｎ是一组置换多项式向量模ｍ．一个自然的问题是：Ｒ上哪些ｎ元多项式可以扩充为一组置换多项式向量模ｍ？本文解决了这一问题，并给出了一个充分必要条件．     

巧妙代换,简捷证明

浙江教育出版社出版的《高中数学精编综合训练》一书P.18有这样一道试题: 例已知1/2≤a_k≤1,(k∈N)。求证:a_1a_2a_3…a_n (1-a_1)(1-a_2)…(1-a_n)≥1/2~(n-1)。该不等式证明确有一定的难度,原书采用数学归纳法证明,其过程十分繁杂,并且技巧性很强。如果我们作一个巧妙的代换,问题则十分简单,迎刃而解。证明令a_k=1/2 b_k,有0≤b_k≤1/2。则 a_1a_2…a_n (1-a_1)(1-a_2)…(1-a_n)=(1/2 b_1)(1/2 b_2)…(1/2 b_n) (1/2-     

Z2k--线性负循环码

Wolfmann引进了Z4-负循环码.Zn4上的负移位γ是指Zn4上的满足γ(a0,a1,…,an-1)=(-an-1,a0,a1,…,an-2)的置换;长度为n的Z4-负循环是指Zn4的子集C满足γ(C)=C.他给出了在环Z4[x]/(x2 1)中多项式表示的Z4-负循环码;证明了Z4-线性负循环码Gray映射下的象是二元距离不变量循环码等.本文有两个目的:一是给出在环Z2k[x]/(x2 1)中的多项式表示的Z2k-负循环码及其对偶;二是由Z4-负循环码在Gray映射下的象构造出具有优良关连性质的二元周期序列族.     

Z/plZ上一类典型的多元奇异置换多项式

本文得到了一类典型模p奇异的n元多项式是模pl置换多项式的一个充分必要条件.特别地,对任意正整数u＞1,本文得到了一个模pu的但不是pu+1的置换多项式.这些结果是对张起帆、胡永忠等人的若干已知结果的推广和改进.