关于介值性、连续性与原函数的存在性的几点注记

众所周知，闭区间上的连续函数具有介值性。本文要讨论具有介值性的函数的连续性问题，同时还要讨论介值性与原函数的存在性之间的关系。首先指出，在区间［a，b］上具有介值性的函数不必在［a，hi上连续。例如，函数在区间上具有介值性，但却在x=0点不连续。在区间[a，b]上具有介值性的函数在[a，b]上虽然不一定连续，但我们有如下定理：定理1若函数在区间[a，b]上有定义，且在[a，b]上具有介值性，则函数f（x）在区间[a，b]上必不存在跳跃间断点。证用反证法。假设f（x）在区间[a，b]上存在一个跳跃间断点x0，即f（x0－0）、f（x0＋0）都…     

关于牛顿—莱布尼兹公式

微积分学中一个重要的命题指出:设函数f在闭区间[a,b]上黎曼可积,F在[a,b]上连续且除有限多个点外F′(x)=f(x),则牛顿—莱布尼兹公式成立.文献[1]提出如下问题:若F′(x)=f(x)不成立的点是无限集E,上述结论如何?本文证明当E的聚点集有限时,牛顿—莱布尼兹公式成立;当E的聚点集无限时,反例说明结果是否定的.     

关于D〔a,b〕空间与任意Banach空间E间的线性算子

王声望在[1]中给出 D[a,b]到 E 上的全连续线性算子的一般表达式,这里,D[a,b]是间断点至多为第一类间断点的函数全体,并在[1]的结束语中提出了寻找 D[a,b]到 E的连续线性算子一般表达式的问题。本文的主要结果就是给出上述线性算子的一般表达式;同时,还给出 E 到 D[a,b]上的连续、全连续线性算子的一种表达式,以及抽象(RS)积分的一个新的存在定理。     

一点订正

众所周知：在[a,b]上具有介值性的函数在[a,b]上未必连续．文[1]除举一反例外,还得到了定理：“定理1若函数f（x）在区间[a,b]上有定义,且在[a,b]上具有介值性,则函数f（x）在区间[a,b]上必不存在跳跃间断点．”但这一“定理”不一定成立．请看下例．例1在[0,1]上,分段定义因函数值充满区间[0,1],故函数g（X）具有介值性,但函数是将的线段分别移上移下而得．如图1．照此,不难作出有更多跳跃间断点仍保持介值性的函数．函数是否具有介值性,关键在于：函数值能否填满某个区间,而与函数值的如何分布无关．因此,我们可以仿照狄利克雷…     

连续函数列的极限函数的一个性质及应用

众所周知,连继函数列的极限函数,属于Baire函数,Baire曾经证明,这种函数的不连续点,最多是一个第一纲集。我们这里给出这种函数的另一个性质,并用以推出几个有趣的事实。本文下面涉及的函数,均指有限值函数。定义设f(x)是定义在[a,b]上的函数,若对任何[α,β][a,b],总有[v,δ]     

小议变上限的定积分

设函数f(x)在[a，b]上可积，则对任何x∈[a，b]，定积分∫a^x f(t)dt定义了区间[a，b]上的一个关于x的函数F(x)，称为“变上限的定积分”，即F(x)=∫a^x f(t)dt，且若函数f(x)在[a，b]上连续，则d/dx∫a^xf(t)dt=f(x)，x∈[a，b]，它表明变上限的定积分，在被积函数连续时，是被积函数的原函数。     

求曲线切线方程的两个易错点解析

<正>一、求曲线在某点处的切线函数y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的每一点处都有导数,则曲线y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的每一点处都有切线.若函数y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的某点x_0处导数不存在,那么,曲线y=f(x)在该处切线是否存在?如果存在,该如何来求?下面举例来说明.     

一类可积函数

<正> 从实分析观点说:有界函数f(x)在闭区间[a,b]上可积的充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点的全体是一个零测度集。此文是在《高等数学》或《数学分析》课程的内容范围内给出并证明两个命题:     

罗尔定理的一种推广形式

罗尔定理是说,若f（x）满足：（1）在闭区间[a,b]上连续,（2）在开区间（a,b）内可导,（3）区间端点处的值相等,即f（a）=f（b）,则至少存在一点,使得．如果将定理的条件（2）改成f（x）在（a,b）内右导数存在,其它两条不变,是否也存在一点,使得呢？一般不可以．考察函数．显然,（1）f（X）在上连续,切我们有下面定理：定理若函数f（x）在闭区间上连续;在开区间（a,b）内右导数存在且连续（即：存在且连续）;且f（a）=f（b）,则至少存在一点,使得证明由f（x）在[a,b]上连续,必取到最大值M,最小值m,这样只有两种情形…     

拉格朗日中值定理的一个证明

拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献   

综合题新编选登

题185 已知函数：f（x）=x（1-x）^2． （1）求函数f（x）的极值，并作出函数图象的简图； （2）求实数a，b的值，使在区间[a，b]上的值域也为[a，b]； （3）是否存在区间[a，b]（a〈6≤0），使f（x）在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，且使k的值最小？若存在求出a，b的值及k的最小值；若不存在，请说明理由．     

Riemann函数可积性的一个初等证明

本文将证明Riemaun函数有无穷多个间断点,但它在有限区间[a,b]上定积分存在,且其在区间[a,b]上的积分值为0.     

一道分式不等式的概率证明及推广

设 xi ∈ ( 0 ,1 ) ,i =1 ,… ,n,且∑ni=1xi =a,∑ni=1x2i =b,求证∑ni=1x3i1 - xi≥ a2 ab - nbn - a ,( 1 )文 [1 ]～ [3]给出了 ( 1 )式不同的初等证明 ,文 [4 ]利用柯西不等式将 ( 1 )式加强为　　　 ∑ni=1x3i1 - xi ≥ b2a - b ( 2 )本文利用概率方法对 ( 2 )式作指数推广 .为此 ,作为引理 ,给出概率的 Jensen不等式 .引理　设随机变量ξ取值于区间 ( a,b) ,-∞≤ a≤ b≤ ∞ ,g是 ( a,b)上连续的凸函数 ,则当 Eξ,Ε[g(ξ) ]存在时 ,有g( Eξ)≤ E[g(ξ) ].证明　任取 x0 ∈ ( a,b) ,设曲线 y =g( x)在点 x0 的切线斜率为 k( x…     

一类值得商榷的高等数学题

在近年来出版的一些高等数学复习指导书中 ,有一类应用中值定理证明的题目 .比如 ,[1 ]之 39页上的一道题 :设函数 f (x)在 [a,b]上连续 ,在 (a,b)内可导 ,且 0 相似文献   

多视角求解一道高考模拟函数综合题

题目（2011年山东省高考数学模拟第12题）：设函数f（x）的定义域为D,若f（x）满足下面两个条件,则称f（x）为闭函数：①f（x）在D内为单调函数;②存在区间[a,b]∈D,使得f（x）在[a,b]上的值域为[a,b]．如果f（x）=√2x＋1＋k为闭函数,则实数k的取值范围是     

度量空间中的完全覆盖定理

<正> 文[1]给出了如下概念和定理: 定义1 [a,b]的一个闭子区间族C叫做[a,b]的一个完全覆盖,如果对每个x属于[a,b]都存在一个正数δ_x,使对[a,b]的每一个包含x的闭子区间I,当I的长度|I|小于δ_x时,I属于     

三次样条函数解的存在唯一性

由于一般线性边界条件可以化成两点端点条件,故本文只讨论两点端点情况.设区间[a,b]上给定一个分割Δ和函数Y. Δ:a=x_0相似文献   

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

广义台劳公式的简单证明

文[1]中采用用行列式来表示辅助函数的方法,提出并证明了广义台劳公式(即[1]中定理2):定理 设函数f(x),g(x)在[a,b]上具有n阶连续导数,在(a,b)内f~(n 1)(x)、g~(n 1)(x)存在,且     

中值定理的两个新证法

本文的证法都利用了下列定理 :达布中值定理　若函数 f (x)在区间 [a,b]内可导 ,并且设 f′(a)≠ f′(b) ,不妨设 f′(a)f (b) -f (a)b-a 或 f′(x) …