探索·发现

科学的发展,就是人们不断探索,不断发现,不断总结,不断完善的过程.这个过程最重要的就是在不断探索中,不断发现新问题.“探索→发现”的过程,一般是“特殊→一般”的认识过程.本文以《几何》第三册一个例题为例,说明“特殊→一般”的“探索→发现”的认识过程.希望读者能从中得到启示.     

探索发现 迁移拓展

以2023年4月武汉市九年级数学调研考试第23题为例,探索问题的多种解法,分析由探索发现到迁移拓展的解答路径,形成基本的数学活动经验.     

小题大发现 探索无穷尽

<正>引例(人教版初中数学八年级(上)13.3.1节等腰三角形课后练习)如图1,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数．发现由等腰三角形性质和外角性质,易得答案∠B=77°和∠C=38.5°．至此,同学们有没有进一步的发现呢?∠B和∠C具有两倍的数量关系!换个度数若∠BAD=18°,则∠B=81°和∠C=40.5°．因此,可猜测∠B和∠C的数量关系与∠BAD的大小无关,只与AB=AD=DC有关,设∠C=α,不难得到∠B=2α．归纳发现,这样的三角形有共同的特征:一个角是另一个角的两倍．我们可以给它起个名字——二倍角三角形．     

学会发现,让我们富有探索精神

在三角函数的学习过程中,我发现除了一些特殊角的三角函数值可直接计算之外,还有一些非特殊角组成的三角函数式,可通过三角变换"整体"地求出它们的值.如cos20°cos40°cos80°,就可以巧妙地应用二倍角公式转化为1/8sin20°·8sin20°cos20°cos40°cos80°=1/8sin20°·sin160=1/8.实际上,与之形式相同的,如cos40°cos80°cos160°也同样可求得. 在做完这道题后,出于爱好研究一个系列问题的习惯,我又思考:cos40°+cos80°+cos160°的值易求吗?我先用计算器算,发现其值为0.再用理论进行推导.考虑到这些角与特殊角60°的差异,不难转化为cos(60°-20°)+cos(60°+20°)-cos20°,展开得其值为0.做完这道题后,又使我联想到求cos20°+cos40°+cos80°的值的问题.     

引伸探索 联想发现——研究性学习示例

按照教育部最近拟订的《普通高中“研究性学习”实施指南(试行)》的要求,在普通高中实施“研究性学习”,已作为必修课程列入了课程计划,其表现形式之一是“专题探究学习”,定义为:学生在教师指导下,以类似科学研究的方法     

发现法教学与数学知识的再发现

著名数学教育家波利亚指出：“教学必须为发明作准备,或至少给一点发明的尝试．无论如何,教学不应该压制学生中间的发明萌芽．”波利亚在这里所说的发明,大多是指客观上早已被前人发现了的知识的再发现．这段话深刻地阐明了教学中教师应认真为学生实现知识的再发现作好...     

对一个相切问题的进一步探索和发现

<正>上课时,老师让我们做了一个题目:如图1,动点O从边长为6的等边△ABC的顶点A出发,沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周,速度为每秒1个单位长度,以O为圆心、3^(1/2)为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是点O出发后第____秒.     

我探索 我发现——一道例题的探究历程

如何去指导学生学习数学?荷兰数学家弗赖登塔尔认为:数学教学就是有指导的再创造,数学家波利亚也说过顺乎自然地帮助学生,这里有两层含义:一是利用再创造的原则按照数学本身的发展规律和学生的认知规律去指导学生学习数学;二是如何让学生通过数学学习去发挥数学资源的再创造价值.两者之间相互依存.数学教学的目的不仅仅是教学生如何把题做出来,更重要的是培养学生主动探索的精神.     

数学证明与数学发现

近些年来 ,人们谈论比较多的是 ,通过观察、实验、归纳、类比等方法获得新的数学命题 .正如波利亚评论数学的二重性时所阐述的那样 :“在创造过程中的数学看来却像一门实验性的归纳科学”[1 ] .国内在中学数学教学中也开始研究“如何教猜想” ,提倡“发现式”教学 ,许多中学数学教学杂志刊登了大量这方面的文章 ,不容置疑 ,这是对传统教学思想的冲击 ,对于提高学生的数学素质 ,培养学生具有一定的创造能力是十分必要的 .但是人们在如何获得数学发现的认识上还存在片面性 ,例如文 [2 ]中说到 :“在即将进入 2 1世纪的今天 ,人们进行研究创造 …     

数学计算与伟大的发现

数学是科学预言的有力工具,运用数学计算得到的伟大发现屡见不鲜!1781年,英国天文学家赫歇耳在望远镜下发现了太阳系的第七颗大行星天王星,但在观察它的运行轨道时,却发现它总是偏离计算的轨迹.后来,著名的德国数学家贝塞尔和一些天文学家猜测,可能在天王星     

问题的发现与探究

<正>学习了正弦定理内容后,我们懂得:关于已知两边及一边的对角条件情形下解三角形,会因为这条件的不同,解的个数不同,可能有两解、一解或无解等;笔者的老师在这里对解的一般性讨论讲得很清楚,我们听得也十分清晰,具体如下.引例在△ABC中,已知边长a、b,以及a边所对的角A,求解三角形.     

数学计算与海王星的发现

同学们,你知道海王星是怎样发现的吗? 自从人们发现天王星以后,它的运行轨道总是与预测的结果存在着差异,实际观察的位置也总是与计算出来的位置不一致,到1845 年已偏离有2’的角度了.这到底是什么原因呢?数学家贝赛尔和一些天文学家设想,在天王星的外侧,一定还存在着一颗行星,由于它的引力,才拢乱了天王星的运行. 1843年,英国剑桥大学22岁的学生亚当斯,根据力学原理,利用微积分等数学工具,足     

勾股定理的早期发现与证明

勾股定理是平面几何学中的一个非常重 要的定理.长期以来,人们对它进行了大量的 研究,找到了许多不同的证明方法,这些证明 方法不仅证出了定理,而且丰富了研究数学 问题的手段与方法,促进了数学的发展.现与 同学们谈谈人类早期对这一定理的发现与巧 妙的证明.     

门奈赫莫斯与圆锥曲线的发现

圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一 ,在科学研究以及生产、生活中有广泛的应用 .圆锥曲线的有关理论成熟于古希腊 ,其集大成者是古希腊数学家阿波罗尼奥斯 ( Apolloniusof Perga) ,而最先“发现”圆锥曲线的则是古希腊的另一位数学家门奈赫莫斯 ( Menaechmus) .关于门奈赫莫斯的生平 ,人们所知甚少 ,只知他在公元前 4世纪活跃于雅典和基齐库斯( Cyzicus,位于马尔马拉海南岸的半岛上 ,今属土耳其 ) ,他似乎是欧多克斯 ( Eudoxus,约公元前40 0—约前 3 4 7)的学生 ,与柏拉图 ( Plato)友善 ,可能就是柏拉图学派的学者 .他曾为柏拉…     

初中数学“操作——观察——探索——发现”课堂教学初探

本文所论及的"操作--观察--探索--发现"课堂教学模式就是指教师组织和引导学生,通过自己亲自动手画一画、量一量、算一算、折一折、叠一叠、移一移……等实验操作方法,经过动脑,观察具体直观的内容,分析、思考、探索并发现知识、发现问题、发现方法、发现规律,使学生成为一个有效的学习者的一种教学模式.这种模式的本质就是在教学中充分发挥学生的主体作用,使学生充分参与和体验知识技能由未知到已知,或由不掌握到掌握的过程,增加学生尝试实践的能力,激发学生的创新意识和创造性思维,培养学生的探索能力和创造能力.     

发现、发现、再发现——一道高考题的研究性学习

这一篇设计 ,带给我们什么启示呢 ?主要启示是 ,一旦从“大量重复性的题海”的缰绳中解脱出来 ,青年学子的潜能是不可限量的、巨大的 .不过 ,这也只是“纸上谈兵”而已 ,要实现真正解放又谈何容易 !要是没有高明的教师发挥良好的指导作用 ,许多学生 (甚至是多数学生 )都只能做“壁上观”.象这一篇设计那样 ,首先要能自己提出几个关键性问句 ,又要为它们排好一个有利的序 ,即要理清思路 !这一切又怎样培养学生自己来完成呢 ?可见 ,要做好一个个优秀的发现设计 ,同时要逐步培养学生自己来完成这种思路的设计 ,不是那么容易办的事 ,也许不是每一位在职的数学老师都能够轻易胜任的 .这就是“题海战术”易受普遍青睐 ,而这样一椿美事却极难“遍地开花”的道理之所在 !一颗好苗 ,有幸碰上那么一个崇尚思维与发现的好园丁 ,说不定一个大数学家将会扎扎实实蓬蓬勃勃地从这里起步了呢 !你说事情是这样的吗 ?]     

发现数学

数学，是一门规律性极强的学科，在学习过程中，虽然，我们不一定会得到重大的数学成果．但我们可以在不断的总结和思索中发现规律，得到乐趣． 下面，给大家介绍我由平常习题得到的两个结论：     

发现教学法

1　发现教学法的历史探源发现教学法又称探索法、研究法、现代启发式或问题教学法 ,是指教师不直接把现成的知识传给学生 ,只是引导学生根据教师和教材提供的课题、资料 ,让学生积极思考、独立探究、自行发现并掌握相应的原理和理论的一种教学方法 .发现教学法就其思想渊源说 ,是个古老的方法 .法国启蒙思想家卢梭在《爱弥尔》中作过这样的表达 :“至于我 ,我是不想教爱弥尔几何的 ,相反地 ,要由他来教我 ,由我寻找那些关系 ,而他则发现那些关系 ,因为我在寻找那些关系时 ,采用了使他能够发现那些关系的方法 .”德国资产阶级民主主义教育家…     

发现数学

数学,是一门规律性极强的学科,在学习过程中,虽然,我们不一定会得到重大的数学成果.但我们可以在不断的总结和思索中发现规律,得到乐趣.下面,给大家介绍我由平常习题得到的两个结论:习题1求Cnm 3Cnm 1 3Cnm 2 Cnm 3的值.Cnm 3Cnm 1 2Cnm 2 Cnm 3=(Cnm Cnm 1) 2(Cnm 1 Cnm 2) (C