一个优美的代数不等式

文 [1 ]有一个优美的不等式猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ=1ａｋ ｎｋ=11ａｋ ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ<ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2 (1 )本文证明这个猜想 .记Ｆｎ=ｘｎ 1ｘｎ (ｘ∈Ｒ ,ｎ∈ Ｚ-) ,则Ｆｎ≥ 2 .容易验证有如下引理 1　若ｍ1,ｍ2 ∈Ｚ ,ｍ1≥ｍ2 ,则Ｆｍ1 ｍ2 =Ｆｍ1Ｆｍ2 -Ｆｍ1-ｍ2 .引理 2　当ｎ≥ 2时 ,Ｆｎ≥ 2ｎＦ1- 2 (2ｎ- 1 ) (2 )证明　当ｎ =2 ,3时 ,文 [1 ]已证 (2 )式成立 ,即有Ｆ2 ≥ 4Ｆ1- 6 ,Ｆ3≥ 6Ｆ1- 1 0 .假设ｎ <ｋ时 ,(2 )式成立 .则当ｎ =ｋ (ｋ≥ 4)时 ,1 )若ｋ为奇数 ,…     

一个不等式链与一个连等式

本文拟出初等代数中一个新的不等式链,并获得一连等式。设a_1,a_2,…,a_n均是正实数,n≥2,且sum from i=1 to n a_i=n。记f(k)=1 a_k a_ka_(k 1) … a_ka_(k 1)·…·a_na_1·…·a_(k-2);f_i(k)表示和f(k)(自左至右)的第i个和项,i=1,2,…,n。令S_i=sum from i=1 to n (f_i(k)/f(k)),i=1,2,…,n, 则有不等式链     

高二代数課本中的一个极限等式

在高中代数第二册讲到无穷递縮等比数列各項和的时候,需要証明下面的一个极限等式:(?),其中 |q|<1。但是在課本的注脚里提到,由于“証明很繁,这里省略不讲”,然而在教学中,往往由于同学們的求知欲望,常常追間,現在我把自己在这次教課中所采用的一个証法写出来,請大家批評指教:     

巧用几何画板 探索优美等式

《中学生数学》杂志2001年11月下期的“智慧窗”栏目刊登过这样一道题目:如右图,E、F、G、H是正方形ABCD各边的中点,不用计算,你能看出四边形PQRS的面积是正方形的几分之几? 今用几何画板探究,得到正方形的又一完美的性质. 打开几何画板,利用旋转工具绘制好右图,同时,设置好以下按钮:     

关于广义四元数代数上矩阵的迹的一个等式

众所周知,相似矩阵的迹相等对于非交换代数和环上的矩阵不一定成立,有趣的问题是给定一个条件使得相似矩阵的迹相等对于非交换代数或非交换环上的矩阵成立。本文对于特征不是2的任意域F上定义的广义四元数代数上的两个矩阵A和B,给出如果A和B相似并且它们的主对角线上的元素在F中,那么它们的迹相等。     

一类优美代数不等式的加强

法国路易·巴斯德大学的Mohammed Aassila教授,在1998年9月的Crux Mathematicorum With Mathematical Mayhem杂志P304上提出了如下代数不等式: 问题1设a,b,c＞0,求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1/c(1+a)≥3/1+abc(1) 该不等式曾作为2006年巴尔干数学奥林匹克试题,应用6元均值不等式,有如下简单的证明方法.     

一个有用的三角等式

先看一个例题: 例1 证明tg3°tg17°tg23°tg37°tg43°××tg57°tg63°tg77°tg83° tg27°初看起来等式左边很有规律:3°、17°、23°、27°…,然而一旦动手做,你便会觉得这些数字与“27”很难联系,因而难以凑效,有兴趣的读者不妨先试一试。有一个三角等式却对证明这道题大有用处。这个等式就是:tg3a=tgatg(π/3-a)tg(π/3+a)关于这个等式的证明很简单,只须两边分别展开比较即得。下面应用它来证明上例:     

圆锥曲线的一个优美性质

本文约定:若凸n边形的n边(或延长线)均与圆锥曲线相切,则称此凸n边形为圆锥曲线的外切凸n边形.笔者最近探究发现圆锥曲线外切凸n边形的一个优美性质,现将结果陈述如下,供大家参考.命题1若三角形△A1A2A3的三边A1A2、A2A3、A3A1(或其延长线),与圆锥曲线Γ分别相切于点T1、     

圆锥曲线的一个优美性质

在对圆锥曲线的深入研究中,笔者发现了它的一个优美性质,介绍如下.     

圆锥曲线的一个优美性质

本文旨在介绍笔者新近发现的圆锥曲线的一个优美性质.定理1过椭圆的非对称轴的弦PQ的中点O′任作两条与PQ不重合的弦AB,CD,过A,B分别作椭圆的切线交于点M,过C,D分别作椭圆的     

一个优美的几何不等式

定理设△ABC的边长为a,b,c,对应的旁切圆半径分别为ra,rb,rc,则 (1)/(ra)-(1)/(rb)2+(1)/(rb)-(1)/(rc)2+(1)/(rc)-(1)/(ra)2 ≥4(1)/(a)-(1)/(b)2+(1)/(b)-(1)/(c)2+(1)/(c)-(1)/(a)2.     

一个优美不等式的证明

在中国不等式研究小组的网站(http:∥zgbdsyjxz.nease.net)上湖北黄石二中杨志明老师提出如下一个优美的分式不等式:     

换元法在证明代数等式中的应用

在证明代数恒等式时,适当地运用换元法进行变量置换,有时能使思路清晰过程简捷,现举例说明於下。一、通过换元,把多项式的项数减少或次数降低,可简化证明过程。例1,求证(1 x x~2 x~3)~2-x~3=(x~2 x 1)(x~4 x~3 x~2 x 1) (证明)设1 x x~2=y,则左边=(y x~3)~2-x~3=y~2 2x~3y x~6-x~3 =y~2 2x~3y x~3(x~3-1)=y~2 2x~3y x~3(x-1)(x~2 x 1) =y~2 2x~3y x~3(x-1)y =y(y 2x~3 x~4-x~3) =y(y x~3 x~4)=(1 x x~2)(1 x x~2 x~3 x~4) =右边。例2。求证x(x 1)(x 2)(x 3) 1 =(x~2 3x 1)~2     

再证一个组合等式

<正>文[1]和文[2]都用不同的方法证明了以下等式:求证cn1/1-cn2/2+cn3/3-...+(-1)n-1cnn/n=1+1/2+1/3+...+1/n(n∈N*)下面我们用建立递推式给出这个题目的简解.证明设sn=cn1/1-cn2/2+cn3/3-...+(-1)n-1cnn/n,则sn+1=cn+11/1-cn+12/2+cn+13/3+...+(-1)n-1cn+1n/n+(-1)ncn+1n+1/n+1.     

再证一个组合等式

文[1]和文[2]都用不同的方法证明了以下等式：     

关于一个向量等式的联想

自从向量内容加入新教材以来,一直是高考的重要对象,而且随着广大教学教研者的关注和不断深入研究,我们对于向量及向量方法的理解越来越深刻.笔者在阅读和学习别人的研究成果的同时,也得出了一些启示,现整理成文和广大读者分享.首先我们来看一个大家熟悉的向量等式和它的证明.