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等差数列中“和问题”的一种处理方法 总被引:1,自引:0,他引:1
公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1 (n-1)d (n∈N),若函数f(x)=dx (a1-d) (x∈R),则有an=f(n).本文称函数f(x)为等差数列{an}的伴随函数,这样便有下面的定理.定理 若f(x)为等差数列{an}的伴随函数,且mi (i=1,2,3,…,k)为自然数,则证 ∵ f(x)为等差数列{an}的伴随函数,∴ f(x)=dx (a1-d) (x∈R),故定理得证.推论 若f(x)为等差数列{an}的伴随函数,Sn为前n项和,则证 由定理得:利用定理及推论可巧妙解答等差数列中有关的和问题.例1 在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,则a2 a8=( )(A) 45. (B) 75. (C) 180.… 相似文献
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本文给出最近发现的一个关于正项等差数列的一个不等式 ,并举列说明它在解决一些用数学归纳法证明异常困难的一类问题上的有效性 .定理 设数列 {an}是等差数列 ,ai>0(i=1 ,2 ,…,n) ,公差为d ,且 0≤d≤ 1 ,则对任意的正整数k ,有 ni=1a1ki ≥ kkd 1 [ana1kn -1- (a1-d)a1k1](1 )成立 ,当且仅当k =d =1时等号成立 .为方便定理证明 ,先证如下两个引理 :引理 1 设 0≤d≤ 1 ,a >0 ,则对任意的正整数k ,有(1 1ka) k≥ 1 da (2 )成立 ,当且仅当k =d =1时等号成立 .证 根据二项式定理 ,有(1 1ka)… 相似文献
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20 0 2年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛试题中的第 1 5题是这样的 :设数列 {an}是一个公差不为零的等差数列 ,a5 =6 .1 )当a3 =3时 ,请在数列 {an}中找一项am,m >5,使得a3 ,a5 ,am 成等比数列 ;2 )当a3 =2时 ,若自然数n1,n2 ,… ,nt,… ,满足 5<n1<n2 <… <nt<… ,且a3 ,a5 ,an1,an2 ,… ,ant,…是等比数列 ,求nt.3)如果存在自然数n1,n2 ,… ,nt,…满足 5<n1<n2 <… <nt<… ,使得a3 ,a5 ,an1,an2 ,… ,ant,…构成一个等比数列 ,求证整数a3 必为 1 2的正约数 .这是一道很好的考题 … 相似文献
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解析几何是高中数学的重要内容 .解析法的特点就是通过代数运算解决几何问题 ,因此 ,解析几何问题在高中数学联赛中的内容也是十分丰富的 .1 基本知识设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 )是直角坐标平面上的两点 ,则1 ) |P1 P2 | =(x1 -x2 ) 2 (y1 - y2 ) 2 =1 k2 |x1 -x2 |(其中k=y2 -y1 x2 -x1 为直线P1 P2 的斜率 ) ;2 )若点P(x,y)分P1 P2 的比为λ (λ≠ - 1 ) ,则x=x1 λx21 λ ,y=y1 λy21 λ ;3)直线P1 P2 的方程可写成y - y1 =k(x1 -x2 ) (当斜率k存在时 ) ,且一定能表示为Ax By C … 相似文献
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等差数列的等比累进和 总被引:1,自引:0,他引:1
设公差为d的等差数列{an}的前k1,k2,…,kn项的和,依次为Sk1,Sk2,…,Skn.当k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列时,则称Sk1 Sk2 … Skn为等差数列的等比累进和,并记为SSn.若令m=k1(1-qn)1-q,m′=k1(1 qn)1 q,则有如下的定理SSn=ma1 12m(m′-1)d.证∵公差为d的等差数列{an}的前ki项和为Ski=kia1 12ki(ki-1)d=12(2a1-d)ki 12dki2,令i=1,2,…,n,得n个等式,把这n个等式的两边分别相加,并整理得SSn=Sk1 Sk2 … Skn=12(2a1-d)(k1 k2 … kn) 12d(k12 k22 … kn2).由k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列,可知k12,k22,…,kn2是公比为q2… 相似文献
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三角函数是高中数学的基本内容,是一类重要的基本初等函数.它所涉及的知识面十分广阔,内容丰富多彩并具有一系列美妙的性质,这些性质在数学及物理、工程等领域都有广泛的应用.本文将讨论数学竞赛中的三角函数及其恒等变形问题. 相似文献
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引理 在等差数列{an}中,若p+q=r+s,则ap+aq=ar+as.
特别地,当p+q=2m时,有ap+aq=2am. 相似文献
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31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答 总被引:3,自引:0,他引:3
1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)… 相似文献