三角形垂心的一个性质的修正及推广

文 [1 ]“证明”了三角形的垂心的一个性质 ,即下面的命题 (原文“性质 2”) :命题　三角形的顶点到垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°.本文首先指出上述命题中的“必要性”的错误 ,并给出正确的命题及其解析证法 ,然后将这一性质推广至任意的圆内接闭折线 .正确的命题应该是 :定理 1　三角形的顶点到其垂心的距离等于外接圆半径的充分必要条件是该顶点处的内角为 60°或 1 2 0°.下面采用解析法证明这个定理 .证明　如图 1 ,设△ ABC的外接圆为⊙ ( O,R) ,以外心 O为原点建立直角坐标系x Oy,设顶点 A、B…     

四面体外接球内一点的性质

文[1]证明了关于三角形外接圆内一点的一个命题，即     

关于双圆四边形的双圆半径的一个性质

文 [1 ]介绍了三角形双圆半径的如下一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 ,b0 ,c0 ,则　　　　 4Rr2 =a0 b0 c0 (1 )文 [2 ]介绍了 (1 )式的一个引申命题 :设 I是△ ABC的内心或旁心 ,r是内切圆半径或对应的旁切圆半径 ,R是外接圆半径 ,则　　 4Rr2 =IA . IB . IC (2 )笔者经研究发现 ,双圆四边形 (既有外接圆 ,又有内切圆的四边形 )也有如下有趣性质 .定理　设双圆四边形 ABCD的外接圆半径、内切圆半径分别为 R、r,内心为 I,则有IA.IB.IC.ID=2 r3 (4 R2 r2 - r) . (3 )图…     

一个有趣性质的再推广与证明

《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个有趣性质的拓广》中的命题 1　矩形外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .命题 2　矩形外接圆周上的任一点到各边中点的距离的平方和为定值 .可作进一步的推广 .命题 1′　关于原点成中心对称的多边形的外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .证明　如图所示 ,设ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 为关于原点成中心对称的图形 ,点Ｐ(ｘ ,ｙ)为其外接圆上的任一点 ,角θｉ- 1 为有向角 ,记θｉ- 1 =∠Ａ1 ＯＡｉ,｜ＰＡｉ｜为点Ｐ到点Ａ的距离 .则∑ｎｉ=1｜ＰＡｉ｜2= ｘ-Ｒｃｏｓθｉ- 1 2 …     

有关三角形外心的一个定理的再推广

文[1]对有关三角形外心的一个命题进行了推广,得到了 定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP、BP、CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,使AP/PD BP/PE CP/PF=3成立的充要条件是P点落在以线段OG的中点为圆心,以1/2OG为半径的圆上.     

中心对称多边形外接圆周上点的性质

笔者发现 ,中心对称的多边形外接圆周上的点具有如下性质 :中心对称多边形的每组对边上关于它的外接圆的对称点到过外接圆周上任一点的切线的距离之和为定值 .即命题 1　设中心对称的多边形Ａ1Ａ2 …Ａ2ｎ(ｎ≥ 2 )的外接圆Ｏ的半径为Ｒ ,ｌ为过圆周上任一点Ｐ的切线 .Ｍｉ 与Ｍｉ′为第ｉ组(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)对边上关于圆心Ｏ的对称点 ,且Ｍｉ 与Ｍｉ′到ｌ的距离分别为ＭｉＮｉ 与Ｍｉ′·Ｎｉ′ ,则∑ｎｉ=1(ＭｉＮｉ+Ｍｉ′·Ｎｉ′) =2ｎＲ为定值 .分析 :不失一般性 ,当ｎ =2时 ,即对中心对称的四边形的情况给出证明 .图 1　命题 1图证…     

再谈一个定值命题的推广

本刊文[1]证明了命题: 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值.     

三角形外心与重心的一个性质的推广

命题设G为△ABC的重心,AG,BG,CG与△ABC的外接圆相交于D、E、F,则AGGD GBEG GCFG=3.该题是《数学通报》征解题387.文[1]把它推广为:定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP,BP,CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,P点落在以OG为直径的圆上的充要条件是APPD PBEP PCFP=3.本文把这个性质推广到n边形的外接圆内的点.设A1A2A3…An是⊙O的内接n边形,Ai(i=1,2,…,n)在以圆心为原点的平面直角坐标系内的坐标为(xi,yi),与三角形类似,定义1n∑ni=1xi,1n∑i=n1yi为n边形重心G的坐标.则有定理1P为n边形A1A2A3…An外接圆内一…     

双圆四边形中的一个不等式

命题 设双圆四边形ABCD的外接圆 半径、内切圆半径分别     

四面体外接球内一点的性质

文 [1]证明了关于三角形外接圆内一点的一个命题 ,即命题　设△ABC内接于圆O ,其重心为G ,P为圆O内一点 ,AP ,BP ,CP分别交圆O于A1,B1,C1,则 APPA1 BPPB1 CPPC1=3成立的充要条件是 :点P在以OG为直径的圆上 .本文将推广这一命题至三维空间 ,证明关于四面体外接球内一点的性质     

一个有趣性质的拓广

读贵刊1994年第2期《矩形外接圆周上点的有趣性质》(以下简称《有趣性质》)一文,笔者发现文中结论仍是一种特殊情形,很容易拓广为更一般的结论.《有趣性质》一文主要证得了一个引理及一个定理,即命题1　矩形外接圆周上任一点,到各顶点距离的平方和为定值.命题2　矩形外接圆周上任一点,到各边中点距离的平方和为定值.这两个结论告诉我们:矩形外接圆周上任一点到矩形四条边的端点及中点的距离的平方和均为定值.很容易提出:矩形的四条边上的其它点是不是也具有这样的性质?还可提出:是不是仅仅是矩形外接圆周上的点才具有这样的性质?定理1　P为…     

对一道国际数学竞赛题的探究

原命题锐角三角形ABC的顶角A的内角平分线交BC于L,交三角形外接圆于N,过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,垂足为K、M.求证:四边形AKNM的面积等于△ABC的面积.(见图1) 这是一道第28IMQ试题.对这道题作进一步的剖析与探究,当AN是△ABC的外角平分线时,命题的结论仍然成立。命题锐角三角形ABC的顶角A的外角平分线交BC边的延长线于L,交三角形外接圆于N.过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM,交BA、AC的延长线于K、M.求正:四边形AKNM的面积等于三角     

关于三角形垂心的探讨

命题三角形的垂心到各顶点的距离与对应顶点内角的余弦值的绝对值的比都相等,都等于三角形外接圆的直径. 设△ABC的垂心为H,外接圆的半径为R,记A、B、C为△ABC的三个内角,则     

一道命题的修正

一道命题的修正黄俊明（贵州省黔东南州民族林校５５６０００）师五喜［１］老师提供并“证明”了如下命题设Ａ１Ａ２…Ａｎ为正ｎ边形，Ｒ为其外接圆半径，Ａ为外接圆上任一点，记∑＝∑ｎｋ＝１ＡＡｋ２ｍ（ｍ∈Ｎ），则∑＝ｎＲ２ｍＣｍ２ｍ．笔者指出：上述命题，当ｍ...     

一个定值命题的简证与推广

贵刊2001年第12期文[1]证明了下面的命题(原文中例6): 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值. 文[1]采用综合法证明,过程繁、篇幅长,经我们研究后得到一种解析证法,不仅简洁,而且容易将命题推广.     

三角形的双圆半径的一个"孪生"命题

文 [1 ]给出如下关于三角形双圆半径的一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .今给出此命题所引伸出的一个“姊妹”命题 :命题　设△ ABC的外接圆半径为 R,旁切圆半径为 r′,顶点 A、B、C到对应的旁心的距离分别为 a′0 、b′0 、c′0 ,则　 4 Rr′2 =a′0 b′0 c′0 .证明　如图 1 ,∵　 r′=a′0 sin A2 =b′0 cos B2=c′0 cos C2 ,∴　 r′3=a′0 b′0 c′0 sin A2 cos B2 cos C2 1又　△ =12 r′( b c - a) =Rr′( sin B sin C - sin A…     

一个三角形不等式的再推广

在三角形中,有一个熟知的不等式命题为命题1 若△ABC的三边的长分别为a、b、c,外接圆半径为R,则 1986年,文[1]在圆内接四边形中,推出了一个类似的命题: 命题2 若圆内接四边形ABCD的四边长长分别为a、b、c、d,圆的半径为R,则 1987年,文[2]将上述命题一般化,进一步证明了命题3 若圆内接n边形A_1A_2…A_n的n边的长分别为a_1、a_2 …、a_n,圆的半径为R,则等号当且仅当A_1A_2……A_n为正n边形时成立。     

双圆四边形中一个不等式的简证及其反向

文[1]给出如下 命题设双圆四边形ABCD的外接圆半径、内切圆半径分别为R、r,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,则 abcd≥8r3(√4R2 r2-r)(1) 本文给出其一简证及其相应的逆向不等式:     

也谈一个定值命题的推广

文 [1]证明了下面的命题 :命题 1　设P1、P2 、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1=BP2 =CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 .文 [2 ]用解析法给出上面命题一个简洁证明 ,并将其“推广”为 :命题 2　设P1、P2 、P3分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1∶P1B =BP2 ∶P2 C =CP3∶P3A =λ ,以△ABC的重心G为圆心 ,定长R为半径作⊙ (G ,R) ,直线l是⊙ (G ,R)的任意一条切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 (3R) .笔者认为 ,命题 2是假…     

关于费尔马点的又一个不等式

本文将进一步加强文 [1]中的结论 ,即有命题　设 F是△ ABC内的费尔马点 ,延长AF、BF、CF分别交对边于 A′、B′、C′.记 AA′=x,BB′=y,CC′=z,△ ABC的外接圆和内切圆半径分别为 R与 r,则( 1x 1y 1z) 2≥ 116r( 9r 14R) . 1证明　由文 [3 ]知　　 ( 1x 1y 1z) 2　 =3 ( a