The distortion of electron spin resonance signal shapes by finite modulation amplitudes

Zusammenfassung Der Einfluss des Detektorsystems eines Elektronenresonanzspektrographen auf die Verzerrung des Signals wird in abhängigkeit der Modulationsamplitude untersucht. Es werden zwei Detektorsysteme verglichen: 1. quadratischer und phasenempfindlicher Detektor, 2. zwei phasenempfindliche Detektoren. Die Ausgangssignale werden als Kombinationen der Fourierkoeffizienten der ursprünglichen Absorptionsbande dargestellt. Eine Formel für die Fourierkoeffizienten einer allgemeinen Absorptionsbande wird hergeleitet und auf den Fall der Lorentz-Bande angewendet. Im Fall 2 ergeben sich Absorption und Dispersion des integrierten Empfangssignals als Hilbert-Transformierten einer einfachen komplexen Funktion.—Das Verhältnis der signal to noise ratios von Fall 1 und 2 wird ebenso diskutiert. Die wesentlichen Resultate sind graphisch dargestellt.     

Lineare Diskriminanzanalyse und Clusteranalyseverfahren bei Kreditscoringsystemen

Zusammenfassung Die Arbeit schließt unmittelbar anHäuler [1979] an. Deshalb werden Problemstellung und prinzipielle Lösungsmethode als bekannt vorausgesetzt. Im ersten Teil befassen wir uns mit der linearen Diskriminanzanalyse (LDA). Zunächst untersuchen wir, ob die üblichen Voraussetzungen, die der LDA zugrunde liegen, im vorliegenden Fall gegeben sind. Im zweiten Abschnitt werden Tests auf signifikante Gruppenunterschiede angegeben; im dritten Abschnitt werden einige Verfahren zur Variablenreduktion diskutiert. Insgesamt legt das gegebene Datenmaterial den Schluß nahe, daß sich die gegebenen Kredite nach ihren Merkmalsausprägungen in mehr als zwei Gruppen aufteilen lassen. Deshalb ziehen wir im zweiten Teil der Arbeit mehrere Clusteranalyse-Verfahren heran.

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Summary This paper heavily relies uponHäuler [1979]. Therefore we are not going to discuss the problem itself and the principal procedures for its solution. The first part of this paper deals with the linear discriminant analysis (LDA). First we shall discuss the problem whether the usual theoretical basis of LDA is satisfied in our problem. Then several tests and algorithms are given. altogether the given data material leads to the conclusion, that the given credits are to be divided into more than two groups. This is the reason why the second part of this paper deals with several algorithms of clusteranalysis and their application to our problem.

     

On the solution of the general inhomogeneous linear differential equation of second order using lie series representation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die lineare, inhomogene, gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung mit beliebigen regulären Koeffizientenfunktionen mittels Liereihen gelöst. Es werden zwei Wege beschritten, von denen einer auf Rekursionsformeln und der andere auf die iterative Auswertung eines Störintegrals führt; ersterer ist programmiertechnisch einfacher, läßt aber keine exakte Fehlerabschätzung zu, während für das Störintegral der Fehler angegeben werden kann.

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the result communicated in this paper were obtained in the course of research sponsored by NASA under Research Grant No. NGR-52-046-001. (Princical investigatior: Prof. Dr. Ferdinand Cap.)     

Numerical analysis of longitudinal elastic-plastic waves with radial effects

Summary The two-dimensional problem of longitudinal elastic-plastic waves in circular rods taking radial-inertia effects into account is solved based on the finite-element method and an explicit integration algorithm. The elastic-plastic constitutive equations are the yield criterion of von Mises with isotropic work hardening and the Prandtl-Reuss flow rule. Numerical results are shown for the region near the impact end of a semi-infinite rod for two sets of boundary conditions, namely prescribed longitudinal velocity and prescribed longitudinal stress at the bar end. The lateral motion of the struck end is assumed to be unrestrained (zero shear stress).The numerical results show response characteristics which deviate from the one-dimensional solution and which are in a good qualitative agreement with a number of experimental observations reported in the literature. These impact test results have been examined with respect to the predictions in order to separate radial- and strain-rate effects. Several specific calculations for the various test conditions have been performed to obtain quantitative agreement with experimental observations.

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Zusammenfassung Das zweidimensionale Problem der elastisch-plastischen Längswellen in kreisförmigen Stäben unter Berücksichtigung der Querschwingungen wird mit Hilfe der finiten Elemente und eines expliziten Integrationsalgorithmus gelöst. Als Materialgleichungen wurden die von Misessche Fliebedingung und das Fliegesetz nach Prandtl-Reuss verwendet. Für den halbunendlichen Stab werden numerische Resultate fur den Bereich des belasteten Endes gezeigt, wobei entweder die Geschwindigkeit oder die Spannung am belasteten Ende vorgegeben ist. Zusätzlich wird angenommen, da sich das Stabende in der Querrichtung frei bewegen kann.Die numerischen Resultate zeigen abweichend von der eindimensionalen Lösung Details, die gut mit einigen in der Literatur beschriebenen experimentellen Beobachtungen übereinstimmen. Diese Versuchsergebnisse wurden den numerischen Resultaten gegenübergestellt, um so den Einflu der Querschwingungen vom Einflu der Dehnungsgeschwindigkeit zu trennen. Um eine quantitative Übereinstimmung mit den experimentellen Beobachtungen zu erzielen, wurden einige Rechnungen mit den Versuchbedingungen als Eingabewerte durchgeführt.

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This paper is based on the doctoral dissertation of first author's dissertation at the Swiss Federal Institue of Technology (ETH), Zürich, Switzerland.     

Die Behandlung dynamischer Durchschlagprobleme mit der direkten Ljapunowschen Methode

Zusammenfassung Die direkte Ljapunowsche Methode wird auf das dynamische Verhalten eines einfachen gedämpften mechanischen Modells mit Durchschlagcharakteristik angewandt. Dabei werden zwei Arten von dynamischen Durchschlagproblemen behandelt: der Fall einer stufenförmigen Belastung und der Fall impulsiver Belastung. Beide Fälle führen auf Anfangswertprobleme, wobei die Einzugsgebiete der kritischen Punkte mit Hilfe Ljapunowscher Funktionen abgeschätzt werden. Aus diesen Abschätzungen ergibt sich eine untere Schranke für die kritische Last. Die auf diesem Wege erhaltenen Ergebnisse werden mit den numerisch berechneten Werten verglichen. Dabei zeigte es sich, dass die gefundene Schranke im Fall der impulsiven Belastung recht nahe an dem wirklichen Wert der kritischen Last liegt. Der Einfluss verschiedener Typen von Dämpfungskräften auf die kritische Last kann mit dieser Methode leicht untersucht werden.

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Summary Liapunov's direct method is applied to a simple mechanical structure with snap-through behavior. Two types of dynamic snap-through problems are considered: the case of a step load and the case of impulsive loading. Both cases lead to initial value problems. The domains of attraction of the critical points are estimated by means of Liapunov functions. From these estimates a lower bound for the critical load is obtained. The results obtained via Liapunov's method are compared to the values found by numerical computation. In the case of impulsive loading the bound obtained with Liapunov's method is relatively close to the exact result. The influence of different types of damping on the critical load is found easily with this method.

     

Partial differential equations associated with certain non-linear algorithms

Zusammenfassung In der letzten Zeit sind eine Anzahl nicht-linearer Algorithmen untersucht worden, die in der Analysis und numerischen Mathematik von besonderer Wichtigkeit sind.Diese Algorithmen betreffen Grössen, die in einem zweidimensionalen Schema angeordnet werden können, und verknüpfen vier Grössen miteinander, die an den Eckpunkten eines Rhombus in diesem Schema vorkommen. Wenn die Dimensionen dieses Rhombus unendlich klein gemacht werden, dann führen die algorithmischen Beziehungen zu Systemen von zwei simultanen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.In dieser Arbeit werden einige allgemeinere Ergebnisse hergeleitet, die sich auf solche partielle Differentialgleichungssysteme beziehen; die Ergebnisse werden an Hand spezieller Beispiele erläutert. Der -Algorithmus, derq — d Algorithmus und verschiedene andere Algorithmen werden im Detail untersucht. Diese Algorithmen führen auf die partielle Differentialgleichung der Padéschen Fläche, auf die korrespondierende Kettenbruchkoeffizientenfläche und auf eine Anzahl weiterer partieller Differentialgleichungen.

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Communication MR 65 of the Computation Department of the Mathematical Centre, Amsterdam.     

Die fünf Diskursebenen: vom inhaltlichen zum formalen mathematischen Denken und zurück

Zusammenfassung. Warum wird die Mathematik in der Schule oft nicht verstanden? Werden beim Übergang von realen Erfahrungen zur Theorie die Schritte im Prozess der Modellbildung nicht bewusst genug gemacht und deren Sinn nicht explizit reflektiert? Kann oder muss man wissenschaftliches Vorgehen in der Schule verdeutlichen? Auf dem Weg vom Beschreiben physischer Gegebenheiten zu einer axiomatisch fundierten mathematischen Theorie kann man vier inhaltliche Argumentationsebenen unterscheiden; daneben tritt in der Mathematik interpretationsfreies Manipulieren von Symbolen. Diese Diskursebenen werden an Beispielen aus der Geometrie (Satz des Pythagoras und Höhenschnittpunktsatz) erläutert. Ein Wechsel der Argumentationsbasis sollte vom Lehrer in Schule und Hochschule bewusst vollzogen werden.     

Procédé de mesure par interferométrie optique avec compensation des variations d'indice de l'air

Zusammenfassung Die Funktionsweise eines Einspiegelinterferometers wird erklärt. Es wird gezeigt, wie man auf einfache Art eine von der Umgebung abhängige Wellenlängenänderung kompensieren kann, so dass die interferometrische Längenmessung unverändert bleibt. Die praktischen Daten sowie die Resultate der Messungen werden angegeben. Es wurde eine absolute Genauigkeit von ±0,03 bei Längenmessungen bis 20 cm erreicht (relative Genauigkeit ±2·10^–7).     

The compressible gas-solid particle flow over a semi-infinite flat plate

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass die Grenzschicht-Approximation auf die Zwei-Phasen-Strömung über eine Halbebene anwendbar ist, wenn die Teilchendichte in der Grenzschicht von der Ordnung ist. Die Bedeutung eines neuen Parameters _m /x wird herausgestellt, wo _m die Länge ist, auf der die Teilchen ihre Geschwindigkeit ume ^–1 verringern, und der Abstand von der Vorderkante. Reihenentwicklungen in diesem Parameter werden benutzt, derart, dass eine Ähnlichkeitsgrösse für die Halbebene gefunden werden kann. Dies reduziert ein System partieller Differentialgleichungen auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Letztere werden numerisch und wenn möglich analytisch gelöst, so dass Schubspannungskoeffizienten und Wärmeübergangskoeffizienten für begrenzte Teile der Wand berechnet werden können. Hierbei wird die Gasdichte nicht als konstant angenommen.     

Energy stability of channel flows

Zusammenfassung Die Energiemethode wird zur Untersuchung der Stabilität einer beliebigen Kanalströmung angewandt. Es wird eine auf Eigenwertabschätzungen basierte qualitative Beschreibung der Fläche (, ) gegeben, welche die Schranke für den Instabilitätsbereich in Abhängigkeit von Längs- bzw. Querwellenzahl der Störungen darstellt. Eine allgemeine untere Grenze für die minimalisierende Querwellenzahl und den zugehörigen Eigenwert (0, ) wird angegeben. Das Problem der Energiestabilität wird dann für eine Klasse von Geschwindigkeitsprofilen mit Wendepunkt gelöst. Die durch numerische Integration erhaltenen Ergebnisse werden mit den Ergebnissen der linearen Stabilitätstheorie verglichen.     

Torsional waves in an infinite elastic solid containing a penny-shaped crack

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das axialsymmetrische Problem der Torsionswellen in einem unendlichen, isotropen und homogenen elastischen Körper mit einem kreisförmigen Schlitz betrachtet. Es werden zwei Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art für das gestreute Feld aufgestellt, welche sich bei kleinen Frequenzen zur iterativen Behandlung eignen. Die erste davon ist insofern vorteilhafter, als sie die Verschiebungs- und die Schubspannungsverteilung auf der Schlitzoberfläche direkt liefert und bei iterativer Behandlung viel weniger Arbeit kostet als die zweite. Es werden Ausdrücke für das Verschiebungs- und das Spannungsfeld an der Schlitzoberfläche in Form von Potenzreihen des Frequenzfaktors erhalten. Ebenso wird ein Ausdruck für den Spannungsintensitätsfaktor als Potenzreihe von gewonnen.     

Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I

Zusammenfassung Der in der Ergodentheorie der Strömungen fundamentale Satz vonAmbrose [2] über die Darstellung meßbarer Strömungen durch Strömungen unter einer Funktion wird in verschiedener Hinsicht verallgemeinert. Im vorliegenden Teil I der Arbeit betrachten wir konservative und dissipative Strömungen in -endlichen Maßräumen. Für dissipative Strömungen wird durch unseren Satz das Isomorphieproblem auf ein unter schwachen Regularitätsbedingungen gelöstes Problem zurückgeführt.Der Darstellungssatz für konservative Strömmungen gestattet analog zu [1] die Beantwortung von Fragen über die Entropie konservativer Strömungen [8]. Darauf gehen wir in einem folgenden Teil II der Arbeit näher ein, in dem wir allgemeiner Halbströmungen betrachten. Die Darstellungssätze für Halbströmungen (und ihre Beweise) sind jedoch soviel komplizierter, daß es zweckmäßig erschien, die hier behandelten Sätze gesondert zu veröffentlichen, zumal der Spezialfall von Strömungen weitergehende Aussagen (Satz 3.2) gestattet.     

The dispersion relation at large frequencies for linear surface gravity waves on a Maxwell fluid exhibiting a spatial decay

The phase velocity of linear surface gravity waves on Maxwell fluids exhibiting a temporal decay and waves exhibiting a spatial decay have similar phase velocity in the limit of long waves where both the dimensionless wave number and frequency is small. For dimensionless wave numbers and frequencies of the order of unity in magnitude the phase velocity curves of these two types of waves is completely different. This is the case even for waves on Newtonian fluids. It is shown that both of these two phase velocity curves for any Maxwell fluids with non-zero relaxation time resume the value of the phase velocity of a Rayleigh wave on an incompressible Hookean solid in the limit of infinite wave number and frequency.

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Zusammenfassung Unabhängig davon, da die linearen, langen Oberflächewellen auf einer Maxwell-Flüssigkeit, die kleine dimensionslosen Wellenzahlen und Frequenzen haben, entweder eine räumliche oder eine temporale Dämpfung durchgeben, wird die dimensionslose Fortpflanzunggeschwindigkeit der Wellen in beiden Fällen gleich sein.Wenn die dimensionslosen Wellenzahlen und Frequenzen in Gröenordnung eins sind, sind die Geschwindigkeiten der Wellen mit räumlicher und mit temporaler Dämpfung unterschiedlich, auch wenn die Flüssigkeit newtonisch ist. Im Essay wurde gezeigt, da sowohl Wellen mit räumlicher als auch Wellen mit temporaler Dämpfung Rayleigh-Wellen sind, wenn die Wellenzahlen oder Frequenzen auf unendlich gehen.

     

Numerical solutions of the Van der Pol equation

Zusammenfassung Die Amplitude und Periode der periodischen Lösungen der van der Polschen Gleichung sind für sehr kleine und für sehr grosse Werte des Parameters durch asymptotische Entwicklungen annähernd bekannt. Für endliche Werte von werden die Resultate von numerischen Integrationsmethoden mitgeteilt, und der Anschluss an die asymptotischen Werte wird diskutiert. Ausserdem werden Störungen der Differentiagleichung betrachtet.     

Heat transfer modeling for turbulent shear flows on curved surfaces

This paper examines two models for two-dimensional curved flow heat transfer. Both models are based on the assumption of local-equilibrium turbulence. Yet, one model predicts an increase for the turbulent Prandtl number with convex curvature, while the other gives the opposite behavior. Through examination of the near wall temperature profiles, it is possible to identify the correct behavior for turbulent Prandtl number. It is found that the turbulent Prandtl number for curved flows increases with convex curvature. The discrepancy between the two models is traced to the modeling terms proposed for the pressure-temperature-gradient correlation and for wall corrections. While the introduction of the rapid component and the wall corrections in the modeling of the pressure-strain correlation do not affect the behavior of the resultant shear stress, these modeling terms in the pressure-temperature-gradient correlation cause the turbulent Prandtl number to decrease with convex curvature.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit werden zwei Modelle für zweidimensionale Wärmeübertragung in gekrümmten Strömungen untersucht. Beide Modelle basieren auf der Annahme von lokalem Gleichgewicht innerhalb der turbulenten Strömung. Trotzdem resultiert das eine Modell in einer Erhöhung der turbulenten Prandtl-Zahl für konvexe Krümmungen, während das zweite Modell genau das Gegenteil vorhersagt. Es ist möglich, durch Untersuchung des Temperaturprofiles in Wandnähe das korrekte Verhalten der turbulenten Prandtl-Zahl zu identifizieren. Es stellt sich dabei heraus, daß die turbulente Prandtl-Zahl für gekrümmte Strömungen in konvexen Kurven zunimmt. Der Widerspruch zwischen den beiden Modellen läßt sich auf die Abbildungsausdrücke zurückführen, die für die Wechselbeziehungen zwischen den Druck- und Temperaturgradienten und die für die Wandkorrekturen angesetzt worden sind. Während die Einführung der schnellen Komponente und die Wandkorrekturen in der Darstellung der Wechselbeziehung zwischen Druck und Beanspruchung keinen Einfluß auf das Verhalten des resultierenden Schubdruckes haben, verursachen diese Darstellungsausdrücke für die Wechselbeziehung zwischen Druck- und Temperaturgradienten ein Abnehmen der turbulenten Prandtl-Zahl für konvexe Kurven.

     

Die Anwendung der Dynamischen Optimierung bei der Sozial-Sanitären Bezirkseinteilung

Zusammenfassung Nach einer kurzen Analyse des Problems der optimalen Aufteilung eines geographischen Gebietes in sozial-sanitäre Bezirke wird in der vorliegenden Arbeit für die Lösung eines solchen Problems ein Modell dynamischer Programmierung verwendet. Es werden dann zwei Algorithmen vorgeschlagen: der erste, der von der territorialen Einheit ausgeht, soll die zulässigen sozial-sanitären Bezirke unter Berücksichtigung der Faktoren Nähe, Dichte und begrenzter Bevölke-rungsunterschied ermitteln; der zweite errechnet jene Gesamtheit der zulässigen Bezirke, die, jede territoriale Einheit nur einmal deckend, eine Zielfunktion auf ein Minimum reduziert, die das Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage der sozial-sanitären Dienste jedes Bezirks garantiert und erlaubt, die maximale Geschlossenheit der Bezirke zu erreichen. Schließlich wurde das vorgeschlagene Verfahren bei der optimalen Aufteilung eines unterregionalen Gebietes des sizilianischen Territoriums in sozial-sanitären Bezirke angewendet.

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Summary In this work, after a short analysis of the optimal division of a geographical area in the socio-sanitary districts a dynamic programming model is used for the solution of such problem. Therefore, two algorithms are suggested: the former, starting from the territorial units, is used to generate the admissible socio-sanitary districts, considering the adjacency, compactness and population limited deviation ties. The latter specifies the set of the admissible districts which, covering only once each territorial unit, minimizes the objective-function, which warrants a balance between supply and demand of socio-sanitary services in every district and permits to pursue the best compactness of the districts themselves. Finally, the suggested procedure is applied in the optimal division of a sub-regional area of the sicilian territory in the socio-sanitary districts.

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Die Arbeit wurde mit dem Beitrag des Nationalen Rats für Forschung von Italien erstellt.     

The ‘electromagnetic’ Wigner equation for an electron with spin

We derive and analyse the three-dimensional quantum Liouville equation for an electron with spin in an external electromagnetic field. By using methods of semigroup theory, we prove existence and uniqueness of the initial value problem. Expanding the solution into a series of pure states, we derive the existence of a generalized particle density and anL -estimate on the solution. The last section is devoted to an analysis of the classical and electrostatic limits.

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Zusammenfassung Die drei-dimensionale Quanten-Liouville Gleichung für ein Elektron mit Spin in einem äueren elektromagnetischen Feld wird hergeleitet und analysiert. Mit Hilfe der Halbgruppen-Theorie werden Existenz und Eindeutigkeit des Anfangswertproblems bewiesen. Aus der Entwicklung der Lösung in eine Reihe von reinen Zuständen schließen wir die Existenz einer verallgemeinerten Teilchendichte und erhalten eineL -Abschätzung für die Lösung. Im letzten Kapitel werden der klassische und elektrostatische Limes untersucht.

     

Fehler bei Impulsdauer-Messungen durch einen Zeittakt

Zusammenfassung Bei Verkehrsmessungen durch Detektoren ruft jedes Fahrzeug einen Impuls hervor, dessen Dauer vom Detektor, von der Fahrzeuglänge und von der Fahrgeschwindigkeit abhängt. Aus diesen Impulsen müssen alle Meßwerte und Informationen vom Verkehr gewonnen werden. Daher werden diese Meldungen von jedem Detektor an die Rechner übertragen, welche die meßtechnische Auswertung übernehmen. Das Messen (Digitalisieren) dieser Impulsdauer geschieht durch einen Zeittakt, d.h. in sehr kleinen, regelmäßigen Zeitabständen werden alle Detektoreingänge auf das Vorhandensein einer Meldung geprüft. Die Anzahl der aufeinanderfolgenden erfolgreichen Prüfungen beim jeweils gleichen Detektor (bis zum ersten Verschwinden einer Meldung) stellt den Meßwert für die Impulsdauer in Vielfachen des Taktes dar. Da der wirkliche Beginn und das wirkliche Ende eines Impulses aber irgendwo zwischen zwei Takten liegt, treten bei dieser Impulsdauermessung unvermeidliche Fehler auf. Diese Meßfehler sind umso größer, je größer der Takt im Verhältnis zur Impulsdauer ist. Bei Annahme einer Gleichverteilung der wirklichen Beginn- und Ende-Zeitpunkte der Impulse über die Zeitintervalle zwischen zwei Takten (was bei praktischen Anwendungsfällen im allgemeinen erfüllt ist) kann man diese Meßfehler und die Wahrscheinlichkeiten ihres Auftretens für einzelne Impulse und für verschiedene Arten von Mittelwerten aus mehreren Impulsen relativ einfach berechnen. Wie zu erwarten, sind die in den Mittelwerten enthaltenen Meßfehler wesentlich kleiner als die bei den Einzelimpulsen.

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Summary Measuring vehicular road traffic by loop detectors each vehicle passing the detector causes an electrical pulse the duration of which is related to the loop-length, to the vehicle-length and to the speed. All informations and measuring values of the traffic must be obtained from these pulses. Therefore they are transmitted to a computer for measurement processing. The duration of the pulses is measured (digitalized) by a scanning frequency which checks the incoming detector signals. The number of consecutive scanning results detector signal is present gives the duration of a pulse in multiples of the scanning tact. The real begin and end of a pulse lay somewhere between two scanning tacts, so we get not avoidable errors for the measured pulse length. The lower the frequency of the scanning tact the greater are the errors of the measured values. Assuming an equal-distribution of the real begin- and end-times of the pulses over the time-intervalls between the scanning tacts (fullfilled, in general, for cases of practical application) we can calculate the errors and the probability of their occurrence for single pulses and for different kinds of mean values taken from a lot of consecutive pulses. As was to be expected, the errors of the mean values are essentially smaller than those of the single pulses.

     

Multinomial solutions of the beach equation

Exact multinomial solutions of the beach equation for shallow water waves on a uniformly sloping beach are found and related to solution of the same equation found earlier by other investigators, using integral transform techniques. The use of these solutions for a general initialvalue problem for the equation under investigation is briefly discussed.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden genaue Multinomlösungen der sogenannten Strand-Gleichung gefunden, und zwar für den Fall von langen Wellen in seichtem Wasser auf einem Strand mit gleichmäßiger Neigung. Anschließend werden diese Lösungen auf die von anderen Autoren durch Integral-Transformationen gefundenen Lösungen bezogen. Die Anwendung der Resultate auf ein verallgemeinertes Anfangswertproblem für die genannte Gleichung wird kurz besprochen.

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This work was carried out under the UGC (India). Project on Wave Phenomena No. 23-884/78 (CSRIF-Code No. 001/Maths/78.