n元泰勒公式及其在多元函数极限中的应用

在分析泰勒公式的基础上,分别给出了n元函数带有拉格朗日型余项与带有佩亚诺型余项的泰勒公式,及多元函数带有拉格朗日型余项与带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式.同时得到了应用n元函数的泰勒公式求多元函数极限的方法,并分析了该方法在求多元函数极限问题时的适用情形与条件.具体实例显示本文给出的方法是可行有效的.     

两种不同余项型泰勒公式的简易证明

本文从近似精确度出发,利用洛必达法则逐步推导出泰勒多项式,得到带有Peano型余项的麦克劳林公式和泰勒公式.进一步利用拉格朗日中值定理推导出带有拉格朗日型余项的泰勒公式.     

常用数值求积公式渐近性的注记

常用数值求积公式余项中介点当积分区间长度趋于零时满足确定的极限关系式,当这些关系式严格成立时(非极限形式),证明了被积函数是次数不超过某常数的多项式函数.     

Newton-Cotes数值求积公式渐近性的注记

数值积分中的Newton-Cotes公式余项中介点当积分区间长度趋于零时满足确定的极限关系式,当此关系式严格成立时,证明了被积函数是次数不超过某个常数的多项式函数.     

多项式插值余项定理的一个自然证明

通过对插值多项式函数性质进行分析,多项式插值余项的基本形式得到诱导,再从该基本形式出发,获得了多项式插值余项定理的新证明.整个证明过程无需借助辅助函数的构造,因而显得较为自然.这种自然证明的方式也可用于Hermite切触型插值多项式余项的证明.     

关于Hermite插值的注记

设 H_n(x)是在节点 x_0,x_1,…,x_n 上插值 f(x)的 n 次 Hermite 插值多项式.最近[1]用函数 f 的差商给出了 H_n(x) 的表达式.这里指出:这一表达式实际已有 (例如参见[2]),函数 f 的 n 次 Hermite 插值多项式 H_n(x) 及其余项可用 f 的差商简单地表示为     

ECT插值余项的表示及其应用

在多项式插值理论及样条逼近中,Hermite插值多项式余项的讨论是很重要的。在[1,2]中,给出了一系列Hermite插值多项式余项的表达式,特别是各阶导数余项的表达式。还运用这些表达式讨论了样条函数,给出其余项估计和渐近展开。 随着样条理论的发展,已经用其它函数系代替多项式组成了各种样条函数空间,其中最引人注目的是ECT样条。Pruess讨论的张力样条及C.A.Micchelli讨论的?-样     

关于具有代数精度的降维展开的最小余项估值

具有代数精度的降维展开公式是用来构造高维边界型求积公式的一个有效工具,所以关于展开式的最小余项估值问题,也即展开式中辅助函数的最佳选择问题,是一个令人感兴趣的问题。本文将按照 C 空间、L_1空间与 L_2空间的模(范数)来给出某些最佳降维展开式的最小余项估值,并将讨论 n(≥2)维方域上具有代数精度的边界型求积公式的构造方法及结点分布情况.术文的某些结果拓广了[1]中的相应钻果.     

Tchebycheff插值余项及其在T-样条中的应用

在多项式逼近理论及样条逼近的讨论中,Hermite多项式余项讨论是很重要的。作者在以前一系列工作中(〔1,2〕),对于插值Hermite多项式的余项给出一系列表达式,特别是各阶导数余项的表达式。运用这些表达式成功地讨论了一系列样条函数。给出它们的余项估计和渐近展开。     

B(n,p)总体下函数f(p)无偏估计的存在性

总体服从二项分布B(n,p),p为未知参数,应用麦克劳林公式,得出了只有当f(p)=a1p a2p2 ... anpn时,函数f(p)才存在无偏估计,并给出了无偏估计量.     

Taylor公式教学的一点体会

<正> Taylor公式是研究函数性质的重要工具,是高等数学课程的必学内容。但初学者往往对该公式不易理解和接受。他们常有两点不清楚,(1)为什么一个(n+1)次可导的函数可近似表示成一个多项式;(2)这个多项式有何用处?这就使该公式成为一元函数微分学教学中的     

Taylor公式中的Lagrange型余项R_n(x)的探讨

对函数f(x)的n阶Taylor公式中的Lagrange型余项Rn(x)是否能用f(x)的(n+1)阶导数表示,又能用(n+2)阶导数表示进行了研究,得到了用f(x)的(n+1)阶导数、(n+2)阶导数表示均可的结论,从而使奇偶函数展为Taylor公式更加灵活.     

非光滑函数的分数阶插值公式

本文基于局部分数阶Taylor展开式构造非光滑函数的分数阶插值公式,证明了插值公式的存在和唯一性,给出了分数阶插值的Lagrange表示形式及其误差余项,讨论了一种混合型的分段分数阶插值和整数阶插值的收敛阶.数值算例验证了对于非光滑函数分数阶插值明显优于通常的多项式插值,并说明在实际计算中采用分段混合分数阶和整数阶插值可以使得插值误差在区间上分布均匀,能够极大地提高插值精度.     

Sheffer多项式的渐近展开

本文利用组合分析中的循环指示表示方法,找到了Ｓｈｅｆｆｅｒ型多项式的渐近展开公式及余项估计,文末讨论了所得渐近公式的运用范围,     

浅谈“泰勒公式”课的教学

<正> 一、想法、看法Taylor公式是高等数学教学中的重点与难点之一。重点是该公式在近似计算中不仅有重要应用,而且在理论上占有重要地位;难点是用多项式出逼近函数,学生对其表达形式不易掌握,定理证明抓不住要害,对公式的理论价值和公式中的余项R_n(x)的作用亦不易理     

一类单圈T函数的判定

多项式函数作为一类密码学中常用的T-函数,其可逆性、周期性一直是相关研究中的重要问题.借助于2-adic整数的乘法公式,给出了T-函数p(x)=a0⊕a1x⊕…⊕adxd(mod2n)是单圈函数的充要条件.     

多项式函数的极值点与拐点判别及个数公式

本文讨论了多项式函数(x-a)~n,(x-a)~ng(x)(n∈N,n1,a∈R)和∏ki=1(x-a_i)~(n_i)(n_i∈N,n_i0,a_i∈R)的极值点和拐点,并给出了函数∏ki=1(x-a~i)~(n_i)(n_i∈N,n_i0,a_i∈R)所有极值点和拐点的个数公式.     

函数arcsinx的幂级数的收敛性讨论

用拉贝判别法,沃利斯公式,以及初等方法三种不同的方法,讨论了函数arcsinx的麦克劳林展开式在收敛端点的收敛性,即一个特殊数项级数的收敛性,并根据幂级数的连续性得到数项级数的和.     

对线性分式函数n次迭代的一个补充

线性分式函数的迭代有着较为广泛的应用.现有的求函数的n次迭代式的方法有:定义法、数学归纳法、不动点法和桥函数相似法等.文[1]利用矩阵的特征多项式理论,得到了线性分式函数的n次迭代式的一般计算公式,此公式只能解决特征根互异的情形.本文就特征根相等的情形作了一些讨论,得到了特征根相等时的线性分式函数的n次迭代式的一般计算公式,并举例说明了它的应用.定义设函数y=f(x),记f0(x)=x,fn(x)=f(f…f(x)…)(n∈N ),则称fn(x)为函数f(x)的n次迭代,显然,fn(x)=f(fn-1(x))(n≥1).定理设f(x)=caxx db,a,b,c,d∈R,ad-bc≠0,若方程λ2-(a b)…     

Taylor公式逼近精度的研究

Taylor公式在数值计算中占有很重要的地位;它的余项反映了多项式Qn(x)逼近函数f(x)的程度.在数值计算中,逼近精度的提高,往往要提高其误差的阶,因此本文对Taylor公式的阶进行了提高,并给出了其误差的表达式.