巧用统一代数替换法证明三角形不等式

众所周知,数学奥林匹克中三角形不等式证明试题屡出不穷,三角形不等式,包含三角形的各种元素(三边a、b、c,内角A、B、C及三角式,半周长s,外接圓半径R,内切圆半径r,旁切圆半径a、r_b、r_c,高h_a、h_b、h_c、中线m_a、m_b、m_c,角平分线t_a、t_b、t_c,面积s_△),可谓千姿百态,但往往有其共同特点:条件简单,结论复杂;因而证法灵活多变,颇有难度。     

关于三角形中线和高线的不等式

李崇钦同志在本刊第三期中提出并证明了关于三角形中线的一组不等式,本文再提出并证明关于三角形中线的另一组不等式,另外提出并证明关于三角形高线的一组不等式. 仍以a,b,c表示三角形三条边,S表示半周,R表示外接圆半径,r表示内切圆半径,△表示三角形面积,m_a,m_b,m_c表示三条中线,h_a,h_b,h_c表示三条高线. 首先我们容易证明下列不等式成立. 1°m_a≥S(S-a)~(1/2),m_b≥S(S-b)~(1/2) m_c≥S(S-c)~(1/2);     

关于三角形的高与旁切圆半径的不等式

以下约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外切圆半径与面积分别为ｒ,Ｒ ,△ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ=ｃ,ｓ=12 (ａ+ｂ +ｃ) ,其相应边上的高线 ,角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ,ｈｂ,ｈｃ;ｗａ,ｗｂ,ｗｃ;ｒａ,ｒｂ,ｒｃ.文 [1 ]介绍在一个锐角三角形中 ,有不等式∑ｗａｗｂ ≥ ∑ｈａｒａ (1 )不等式形式简洁 ,但美中不足的是有“在一个锐角三角形中”这个较强的条件 ,在一般三角形中 ,循环和∑ｈａｒａ 有什么结论呢 ?本文研究了循环和∑ｈａｒａ,得到了两个结论 .定理 1　在△ＡＢＣ中 ,有ｓ2 ≥ ∑ｈａｒａ (2 )等号当且仅当△ＡＢＣ为正三…     

和垂足三角形有关的几个不等式

本文主要研究了和垂足三角形有关的三角形之间外接圆半径,内切圆半径,旁切圆半径的相关几个不等式．     

一类关于三角形不等式的证明方法

文[1]借助两个特殊不等式并应用代数变换证明了一类三角形不等式.本文给出这类不等式的三角证法.为行文方便,约定△ABC的三边长、半周长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、,s,R,r;其中例题的证明要用到下列熟知的三角形恒等式:abc=4Rrs,∑bc=s2 4Rr r2,∑a2=2(s2-4Rr-r2)     

关于角平分线的几个不等式

关于角平分线的几个不等式福州二十四中杨学枝本文将用初等方法提出并证明若干个新近发现的关于三角形角平分线的不等式，这些不等式形式优美，内容深刻．在行文中为了避免重复，本文规定引用以下记号；凸ＡＢＣ三边长为ＢＣ－ａ，ＣＡ－ｂ，ＡＢ－Ｃ，其外接圆半径、内切...     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

关于三角形半径的一个不等式

本文将给出关于三角形的外接圆、内切圆和傍切圆半径的不等式(1),并由(1)式加强了Gerretsen不等式。定理设R,r,r_a,r_b,r_c分别是△ABC的外接圆、内切圆和傍切圆的半径,则     

三角形中线的一组不等式

本文提出并证明关于三角形中线的一组不等式,由此再推出关于三角形周长、面积与其外接圆周长、面积的两个有趣的不等式. 我们以A、B、C表示三角形三内角,a、b、c表示三边,s表示半周、m_a、m_b、m_c表示三中线,R表示外接圆半径,r表示内切圆半径,△表示三角形的面积.     

若干几何不等式及相应的代数式

本文将建立涉及三角形平面上一动点 P的一组新的几何不等式 ,并利用三角形的重心坐标给出这些几何不等式的相应代数式 .这里 ,P点到三边和三顶点的距离都是带符号的 ,与 P点的重心坐标符号相一致 .有关三角形重心坐标的定义、定理参见文 [1 ].设△ ABC三内角∠ A,∠ B,∠ C的对边分别为 a,b,c.用 s,R,r,△分别表示△ ABC的半周长 ,外接圆半径 ,内切圆半径和面积 .以 ha,hb,hc,ra,rb,rc分别为相应边上的高和旁切圆半径 .∑ 表示循环求和 ,用 P( x,y,z)表示 P点关于坐标△ ABC的重心坐标 .1　仅含 (PD,PE,PF)的一组不等式众所周知 ,…     

关于三角形半角三角函数的一个不等式链

我们在文［1］～[4]中，曾给出了三角形中半角三角函数的一些不等式，本文又进一步得到了关于三角形中半角三角函数的一个不等式链，从而得到了用外接圆半径、内切圆半径以及半周长表示的三角形牛角三角函数上、下界的线性不等式的最佳表达式．本文约定：△ABC中，三边长为a、b、c，外接圆半径、内切圆半径及半周长分别为R、r及s；用∑表示循环和．文中省去了诸不等式取等号条件的证明，因为它们是很容易得到验证的．定理在△ABC中，有以上（1）～（5）式的取等号条件为△ABC为正三角形，或一角为0°，另外两角为90°的退化三角形，或一…     

欧拉不等式的一个新加强

众所周知,任意三角形的外接圆半径R不小于它的内切圆半径r的2倍,即R≥2r.这是大数学家欧拉(Euler)在1765年建立的一个不等式,由于该不等式具有简单而不平凡的特点,所以至今依然在几何不等式领域里保持着高水平的地位,关于它的各种推广和加强的研究一直是几何不等式研究的热点.贵刊就发表过多篇关于欧拉不等式的加强的文章...     

再谈欧拉不等式的加强链

自文[1]给出欧拉不等式的一个三角形式的加强链(见以下引理)之后,笔者在文[2]中将三角形式分别用内切圆半径和半周长表示,用半周长和边表示,用半周长和面积表示以及用半周长、外接圆半径和边表示.通过进一步研究,笔者又得到几个欧拉不等式的加强链.     

周界中点三角形又一有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .文 [1]、文 [2 ]得到了与周界中点三角形有关的三角形外接圆半径、面积之间的三个不等式 .本文再给出一个更有趣的性质 .定理 1　设Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,Ｓ =12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＢＣ的外接圆半径和面积分别为Ｒ ,△ ,△ＤＥＦ的外接圆半径为Ｒ0 ,则有 :Ｒ·Ｒ0 ≥2 39△ .为证明此不等式 ,先看如下引理 :图 1　引…     

例谈三角形形状的判断

三角形的形状 (等腰、等边、直角、钝角及锐角三角形 )判断 ,是解三角形中的一类重要问题 .同学们在初中《平面几何》中学习和积累了判断三角形形状的一系列方法 ,概括起来主要是从角和边两个方面来判断 .从角来看 :1)最大角的形状确定了三角形的形状 ;2 )用两个较小角之和也可判断三角形的形状 ;3)等角对等边 .从边来看 :1)等边对等角 ;2 )边之间是否满足勾股关系 .高中《代数》中解三角形时 ,往往或直接或间接地需要判断三角形的形状 .这类题目的条件常常是一个或两个以边和角的三角函数为未知元的方程或不等式 ,属不定型问题 ,解答的方向…     

一个非钝角三角形不等式

一个非钝角三角形不等式３５００１５福州二十四中杨学枝如果△ＡＢＣ的半周长为ｓ，外接圆半径与内切圆半径分别为Ｒ与ｒ，当△ＡＢＣ为非钝角三角形时，４０年前人们已经知道有以下两个重要不等式：ｓ２≥２Ｒ２＋８Ｒｒ＋３ｒ２ｓ≥２Ｒ＋ｒ最近又有人对非钝角三角形中...     

欧拉不等式一个三角形式的类比北大核心

1引言设△ABC的三边为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r,则有著名的欧拉不等式R≥2r,文[1]建立了欧拉不等式的一个三角形式:定理1设R,r分别为△ABC外接圆和内切圆半径,则有(∑表示循环和)     

运用添“平均值”证一类三角不等式

运用加(乘)上“平均值”,可方便地证明三角形中关于角对称的同名三角函数不等式。这里的“平均值”指以题中各角的算术平均为角的三角函数值。兹举数例。例1 在△ABC中,求证:     

涉及三角形边长与半径的一个不等式

笔者通过探索,发现了如下十分有趣的涉及三角形边长与半径的一个不等式.     

欧拉不等式的一个三角形式的加强链

文[1]给出欧拉不等式与边长间的一个不等式链,笔者得到欧拉不等式的一个三角形式的加强链,与不等式爱好者共赏.定理设R,r分别为△ABC的外接圆及内切圆半径.