Ein Quadraturverfahren zur Berechnung der Reibungsschicht an axial angeströmten rotierenden Drehkörpern

Zusammenfassung Als Abschluß eines umfangreichen Programmes zur Berechnung der Strömung an angeblasenen rotierenden Rotationskörpern wird der bisher noch fehlende Fall turbulenter Strömung behandelt.Für die Berechnung der Impulsverlustaicken sowie des Drehmomentes konnten einfache Quadraturformeln erhalten werden, die für den laminaren Fall ebenfalls eine recht brauchbare Näherung darstellen. In den Formeln kommen nur die Verteilung des Körperhalbmessers und des Körperhalbmessers und die Geschwindigkeitsverteilung um den Körper vor. Es wird eine Abschätzung zur Bestimmung der Lage des Ablösungspunktes infolge der Drehbewegung des Körpers angegeben.Das Verfahren wurde erprobt an den Beispielen der rotierenden Scheibe, der Kugel, der Rotationsellipsoide und des räumlichen Halbkörpers. In allen Fällen wurde der Momentenbeiwert bei laminarer und turbulenter Strömung berechnet. Allgemein kann man zeigen, daß sich das Drehmoment bei konstant gehaltener Anströmungsgeschwindigkeit linear mit der Umfangsgeschwindigkeit ändert.Die vorliegende Arbeit stellt den zweiten Teil einer von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig angenommenen Habilitationsschrift mit dem Titel Die Strömung um rotierende Drehkörper bei axialer Anströmung dar. (Berichter Prof. Dr. H. Schlichting, Mitberichter Prof. Dr. H. Blenk.) Der erste Teil mit dem Titel Die turbulente Strömung an einer angeblasenen rotierenden Scheibe wird in der Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik erscheinen.Diese Untersuchungen wurden mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Institut für Strömungsmechanik der T. H. Braunschweig ausgeführt.     

Die Beschleunigungsänderung

Zusammenfassung Es wurden für die Beschleunigungsänderung oder den Ruck =db/dt unter Beschränkung auf die ebene Bewegung bei der Zweikurvenführung (Satz von Euler) und bei der Relativbewegung Formeln und Sätze aufgestellt, ferner wurde der Zustand der bewegten Ebene hinsichtlich des Ruckes in Erweiterung des Beschleunigungszustandes untersucht und auf weitere geometrische Örter hingewiesen. Die Beispiele dienten zur Erläuterung, vor allem aber zur Ermittlung der Extrema der Beschleunigungen in Getrieben. Da die Zeichenarbeit zur Ermittlung der Beschleunigungen selbst schon größer ist als die zur Geschwindigkeitsbestimmung, nimmt es nicht wunder, daß diese Arbeit bei dem Ruck als der zweiten Ableitung der Geschwindigkeit noch wächst — Differentiieren rauht auf; aber die erforderlichen Konstruktionen benötigt man nur in wenigen Stellungen, und sie führen schnell zum Ziel.     

On edge effects and related sources of error in rotational rheometry

Summary We consider theoretically the problem of the shear rate in a cone-and-plate rheometer, giving particular attention to the effect of variable-viscosity behaviour on the departure of the predicted shear rate from that used in the conventional interpretation of experimental results. It is concluded that this departure is much greater for shear-thinning fluids than for Newtonian constant-viscosity fluids. It is also shown that edge effects are significantly enhanced by variable-viscosity behaviour. However, the predicted departure from the constant shear-rate normally assumed is still insignificant for gap angles usually employed in cone-and plate rheometers ( 4°).Some consideration is also given toLodge's proposed method of normal-stress measurement which uses a truncated cone-and-plate assembly. It is concluded that the assumptions required to interpret the experimental results are valid to a sufficient degree of approximation. These assumptions concern the smooth transition from torsional flow to cone-and-plate flow near the abrupt change in geometry.Finally, we discuss edge effects in the re-entrant cone situation suggested byCowsley. These are concluded to be significant, pointing to a serious source of experimental error.

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Zusammenfassung Das Problem der Schergeschwindigkeitsverteilung in einem Kegel-Platte-Rheometer wird theoretisch behandelt, wobei vor allem der Einfluß einer veränderlichen Viskosität auf die Abweichung der vorausgesagten Schergeschwindigkeit von dessen üblicherweise bei der Interpretation experimenteller Ergebnisse vorausgesetztem Verlauf untersucht wird. Man kommt zu dem Schluß, daß solche Abweichungen bei Flüssigkeiten mit Scherentzähung wesentlich stärker als bei newtonschen Flüssigkeiten sind. Ebenso wird gezeigt, daß die Randeffekte durch nicht-newtonsches Verhalten merklich vergrößert werden. Allerdings ist die vorausgesagte Abweichung von der in der Regel zugrundegelegten konstanten Schergeschwindigkeit dennoch vernachlässigbar, wenn die normalerweise bei Kegel-Platte-Rheometern benutzten Kegelwinkel ( 4°) Verwendung finden.Weiterhin wird die vonLodge für Normalspannungsmessungen vorgeschlagene Methode betrachtet, bei der ein abgeschnittener Kegel benutzt wird. Man findet, daß die dabei gemachten Annahmen in hinreichender Näherung erfüllt sind. Diese Annahmen betreffen den stetigen Übergang von der Torsionsströmung zur Kegel-Platte-Strömung im Bereich der Geometrieänderung.Endlich werden noch Randeffekte bei einem einspringenden Kegel untersucht, dessen Verwendung vonCowsley vorgeschlagen worden ist. Diese stellen sich als erheblich heraus, was auf eine ernsthafte Fehlerquelle bei der Auswertung der Experimente hinweist.

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With 26 figures     

Über gesteuerte Anheizvorgänge bei Zylindern

Zusammenfassung Ziel der Arbeit war die Untersuchung des Einflusses der endlichen Zylinderlänge und der Wärmeübergangszahl auf die Temperaturverteilung in Vollzylindern bei gesteuerten Anheizvorgängen. Fragen dieser Art kommen z. B. in der Meßtechnik (Einfluß der Gestalt eines Thermometerkörpers auf die Temperaturmessung, Untersuchungen von Erden und dgl. mittels Differentialthermoanalyse) und in der Reaktortechnik vor.Von der Temperatur des den Zylinder umgebenden Mediums wird angenommen, daß sie nur von der Zeit t abgängt. Die Zylinderanfangstemperatur habe in allen Punkten den gleichen Wert. Für die Mittelebene des Zylinders wird gezeigt, daß die Lösung des dreidimensionalen Problems bei wachsender Zylinderlänge gleichmäßig in t gegen die Lösung des ebenen Problems konvergiert.In den Fällen konstanter Umgebungstemperatur und zeitlich linearer Außenraumaufheizung werden für verschiedene Kombinationen der Parameter / r ₀ und die Temperaturkurven für den Zylindermittelpunkt erstellt und die relativen Abweichungen dieser Temperaturkurven der Zylinder endlicher Länge von denen des beidseitig unendlich langen Zylinders errechnet.Aus den Temperaturkurven für verschiedene / r ₀ bei festem ist der Einfluß der Wärmeübergangszahl erkennbar, aus den Tabellen der Abweichungen die kleinsten Werte von , für die bei gegebener zulässiger Abweichung und gegebenem / r ₀ die Aufgabe als ebenes Problem behandelt werden darf.Für den Fall =1 bei konstanter Außenraumtemperatur wird gezeigt, daß sich die dem Zylinder einbeschriebene Kugel bezüglich der Erwärmung zunächst viel weniger träge verhält als der Zylinder, daß jedoch alsbald die Abweichungen gering werden.Auszug aus der gleichnamigen, von der Fakultät für Natur- und Geisteswissenschaften der Bergakademie Clausthal genehmigten Dissertation des Verfassers; Referent: Prof. Dr. phil. H. König, Korreferent: Prof. Dr. rer. nat. H. Menzel.     

Der Strömungsdiffusions-Effekt und seine Anwendungen

Zusammenfassung Mit Hilfe von Modellversuchen wird ein Einfluß derMagnus-Kraft auf laminar strömende Elektrolytlösungen und binäre Gasgemische experimentell nachgewiesen, für den die Bezeichnung Strömungsdiffusions-Effekt vorgeschlagen wird. Dieser Effekt äußert sich in der Einstellung eines Konzentrationsgradienten in einem radialen Geschwindigkeitsgradienten der Röhrenströmung und läßt sich zur Anreicherung der Komponenten binärer Systeme experimentell verwenden. Bei Gasen ist er von einem gaskinetisch bedingten Temperatureffekt begleitet.     

Kritische Drehzahlen und Biegeschwingungen kontinuierlich besetzter Wellen bei verschiedenen Lagerungen

Zusammenfassung Für eine gleichmäßig kontinuierlich besetzte Welle konstanter Biegesteifigkeit werden die kritischen Drehzahlen des synchronen Gleich- und Gegenlaufs und die Eigenfrequenzen der Biegeschwingungen berechnet, und zwar für vier verschiedene Lagerungsarten (fliegend gelagerte Welle; zweifach kugelig gelagert; ein Wellenende eingespannt, das andere kugelig gelagert: zweifach eingespannt). Die genauen Ergebnisse für die Grundfrequenz bis einschließlich der dritten Oberfrequenz sind graphisch dargestellt und lassen den Einfluß der Trägheitsmomente und der Lagerungsart erkennen. Für die höheren Frequenzen werden Näherungsformeln mitgeteilt, so daß das gesamte Frequenzspektrum erfaßt wird.Vorliegende Arbeit entstand auf Anregung von Prof. Dr. H. Neuber, Lehrstuhl für Technische Mechanik der Technischen Hochschule München.     

Comparison of network theory predictions with stress/time data in shear and elongation for a low-density polyethylene melt

Summary Experimental data are presented which show the variation with time of the shear stress and primary normal stress difference during shear flow with a stepfunction shear rate; the material (Melt I at 150 °C) is a low-density polyethylene melt for which stress-growth and elastic recovery data in elongational flow experiments have been previously reported. A method of comparing the data with the predictions of the rubberlike-liquid constitutive equations is given, based on the use of a specially-chosen rate-of-strain invariantI _IV, defined in [4.1]. From this comparison, it is shown that the disagreement between theory and experiment is about the same for shear flow and for elongational flow, and that the extent of disagreement does not exceed 10% for short-duration flows such thatI _IV t 3.

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Zusammenfassung Es werden Meßergebnisse über die zeitliche Änderung der Schubspannung und der ersten Normalspannungsdifferenz bei Scherfließen einer LDPE-Schmelze (Schmelze I bei 150 °C) vorgelegt. Der zeitliche Spannungsverlauf bei und die elastische Erholung nach Dehnfließen sind für dieses Material bereits früher mitgeteilt worden. Hier wird das Verhalten der Schmelze bei Scherung und bei Dehnung mit den Voraussagen der rubberlike liquid-Zustandsgleichung verglichen, wobei eine speziell gewählte InvarianteI _IV der Deformationsgeschwindigkeit verwendet wird (definiert in [4.1]). Der Vergleich zeigt Abweichungen von Theorie und Experiment, die für Scher- und Dehnfließen etwa gleich groß sind. Die Abweichungen liegen unter 10%, wenn für das Produkt ausI _IV und der Deformationszeitt der WertI _IV t = 3 nicht überschritten wird.

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With 7 figures and 2 tables     

Wärmeübergang bei ausgebildeter und nicht ausgebildeter laminarer Rohrströmung mit temperaturabhängigen Stoffwerten

Zusammenfassung Der Wärmeübergang bei laminarer Rohrströmung läßt sich für viele Rand- und Anfangsbedingungen sowie temperaturabhängige Stoffwerte durch eine numerische Integration der Differentialgleichungen für das Geschwindigkeits-und Temperaturfeld berechnen. Die Ergebnisse solcher Rechnungen werden für die ausgebildete und für die nicht ausgebildete Strömung inkompressibler Fluide mitgeteilt. Sie lassen sich bei der thermischen Randbedingung einer konstanten Wandtemperatur in einer Gleichung für die mittlere Flüssigkeitstemperatur darstellen. Bei einer konstanten Wärmestromdichte an der Wand ist der Verlauf der Wandtemperatur von Bedeutung; er wird für die beiden Einlaufbedingungen der Rohrströmung angegeben.

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The heat transfer of laminar flow in circular tubes can be calculated for many boundary and initial conditions and temperature dependent properties of the fluid by a numerical integration of the differential equations of the velocity and temperature field. The results of those calculations are given for the developed and for the not developed flow of incompressible fluids. Under the boundary condition of a constant wall temperature they can be represented in an equation for the mean bulk temperature. For a constant heat flux at the wall, the course of the wall temperature is significant; it is given for both inlet-conditions of the laminar flow.

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Bezeichnungen a*¹ Stoffwertkoeffizient des Viskositätsgesetzes Gl. (5) - b* Stoffwertkoeffizient des Viskositätsgesetzes Gl. (5) - c _p ^* spez. Wärmekapazität - c _p dimensionslose spez. Wärmekapazität nach Gl. (3) - D* Rohrdurchmesser - * Enthalpiestrom - i* spez. Enthalpie - K Korrekturfaktor für den Einfluß der temperaturabhängigen Stoffwerte auf den Wärmeübergang bei konstanter Wandtemperatur nach Gl. (29) - k* Stoffwertkoeffizient des Viskositätsgesetzes Gl. (5) - m-A002A Massenstrom - N _u mittlere Nusselt-Zahl nach Gl. (17) - P _r Prandtl-Zahl,P _r=c _p ^* */* - Q-A002A Wärmestrom - q-A002A Wärmestromdichte - R* Rohrradius - R _e Reynolds-Zahl,R _e=u**R*/* - r* radiale Koordinate - r dimensionslose radiale Koordinate nach Gl. (1) - T* absolute Temperatur - t* Temperatur - t _q ^* reduzierte Wärmestromdichte nach Gl. (20a) - u* Geschwindigkeit in axialer Richtung - u dimensionslose Geschwindigkeit in axialer Richtung nach Gl. (2) - z* Koordinate in axialer Richtung - z dimensionslose Koordinate in axialer Richtung nach Gl. (1) - 007A-0304; Kennzahl für den Wärmeübergang nach Gl. (21) - * mittlere Wärmeübergangszahl - relative Abweichung der mittleren Flüssigkeitstemperatur bei temperaturabhängigen Stoffwerten von der bei konstanten Stoffwerten - Kennzahl für den Einfluß der Temperaturabhängigkeit der Viskosität auf den Wärmeübergang nach Gl. (26) - * dynamische Viskosität - dimensionslose dynamische Viskosität nach Gl. (3) - dimensionslose Temperatur nach Gl. (4) - dimensionslose mittlere Flüssigkeitstemperatur als Kennzahl für den Wärmeübergang bei konstanter Wandtemperatur nach Gl. (19) - * Wärmeleitfähigkeit - dimensionslose Wärmeleitfähigkeit nach Gl. (3) - * Dichte Indizes D auf den Rohrdurchmesser bezogen - m mittlere ... - W an der Rohrwand - 0 auf den Rohreintrittsquerschnitt oder den Beginn des Wärmeübergangs bezogen Teil der von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig genehmigten Dissertation des Verfassers. Vorgetragen auf der internen Arbeitssitzung des Fachausschusses Wärme- und Stoffübertragung der Verfahrenstechnischen Gesellschaft im VDI in Freudenstadt am 17. 4. 1967.     

Wärmeübergang von stehendem Wasserdampf bei Tropfenkondensation

Based on the assumption of a smallest nucleation radius of a droplet being able to exist, an equation is developed which describes the thickness of a characteristic layer with variable subcooling on a condenser surface. In a somewhat simplified manner the condenser surface consists of a part of an area being free of droplets and another one being occupied by droplets. At the non-occupied spots heat is transported to the condenser surface and droplets are formed. At the spots which are occupied by droplets, heat is taken away due to the rolling down movement of the droplets.Using the energy balance between added and deduced heat, a differential equation can be formulated which describes the temporal change of this part of the area, which is occupied by non-active large droplets. For steady state conditions one gets an equation for the heat transfer at the condenser surface as a function of the subcooling and of the saturation temperature. The differential equation is also solved for the non-steady case, the start up of the process. Equations are presented describing the heat transfer with droplet condensation at saturation temperaturesT _s= 296K up toT _s=413 K, corresponding to saturation pressures from 0.03 bar to 4.0 bar. The maximum subcooling is T=15K.

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Wärmeübergang von stehendem Wasserdampf bei Tropfenkondensation

Zusammenfassung In Anlehnung an den kleinstmöglichen existenzfähigen Keimradius eines Tröpfchens in der Dampfphase wird eine Gleichung für eine charakteristische Schichtstärke bei einer variablen Unterkühlung an der Kühloberfläche angesetzt. Die Kühloberfläche besteht vereinfacht aus einem Flächenanteil, der frei von Tropfen ist und einen von Tropfen besetzten Flächenanteil. An den freien Stellen wird Wärme an die Kühloberfläche zugeführt, wobei sich Kondensat bildet. An den von Tropfen besetzten Stellen wird Wärme durch die abrollenden Tropfen abgeführt.Durch Aufstellen einer Bilanz zwischen zu- und abgeführte Wärmemenge kommt man zu einer Differentialgleichung, die die zeitliche Veränderung des Flächenanteils beschreibt, der mit inaktiven, großen Tropfen besetzt ist.Für den stationären Fall erhält man eine Gleichung für den Wärmeübergang an der Kühloberfläche als Funktion der Unterkühlung und der Sattdampftemperatur. Die Differentialgleichung wird auch für den instationären Fall, den Anfahrzuständen gelöst. Gleichungen für den Wärmeübergang bei Tropfenkondensation werden angegeben bei SattdampftemperaturenT _s=296 K bisT _s=413 K das entspricht Sattdampfdrücken von 0, 03 bar bis 4, 0 bar, die Unterkühlung Tist max. 15 K

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Formelzeichen Bi Biotzahl,h _i R _max/_L - Nu Nußelt'sche Zahl - Pr Prandtlzahl - Re _x Reynoldszahl - _k Thermokapillare Kräfte/Viskosität, _L T/ _L v _L ² Lateinische Bezeichnungen C=CT _s Funktion der Sattdampftemperatur - c Konstante - C _p spezifische Wärme des Kondensates - f zeitlicher Mittelwert des Anteiles der Kühloberfläche, der mit aktiven Tropfen besetzt ist (wird in erster Annäherung zur freien Fläche gezählt) - g Erdbeschleunigung - h Wärmeübergangszahl bei Tropfenkondensation bezogen auf die Gesamtfläche - h _fg Verdampfungswärme - h _i Grenzflächen-Wärmeübergangszahl - h _L lokale Wärmeübergangszahl aus den neu freiwerdenden Flächenteilen - k Konstante - K Proportionalitätsfaktor - n Koeffizient, 1n > - q Wärmefluß - q _L lokaler Wärmefluß an den freiwerdenden Flächenteilen - R Gaskonstante - R _max Tropfengröße bei Abrollen - ₁=2 _L/h _i Tropfen kleiner alsr ₁ sind für den Wärmeübergang aktiv (Grenzwert bis zu dem in erster Annäherung die Fläche noch als frei betrachtet werden kann) - S neu freiwerdende Fläche - t Zeit - T _s Sattdampftemperatur des Dampfes - T Unterkühlung, Temperaturdifferenz zwischen Sattdampfund Kühloberflächentemperatur - V Volumen des Kondensates aufS - v _g spezifisches Volumen des Dampfes - v _L spezifisches Volumen des Kondensates Griechische Bezeichungen wirklicher Kondensationskoeffizient - Temperaturkoeffizient der Oberflächenspannung - _L Wärmeleitzahl des Kondensates - v _L kinematische Zähigkeit des Kondensates - _L charakteristische Schichtstärke - _L Dichte des Kondensates - Oberflächenspannung der Tropfen - Anteil der Flächeneinheit, der mit Tropfen mit dem Radius größer alsr ₁ besetzt ist (in erster Näherung gilt nur dieser Flächenanteil mit Tropfen besetzt) = 1—f     

Untersuchungsergebnisse über die kapillare Leitfähigkeit von Baustoffen

Zusammenfassung Krischer hat die kapillare Flüssigkeitsbewegung als Potentialströmung beschrieben, deren Ursache ein Feuchtegefälle ist und führte als Stoffeigenschaft die Flüssigkeitsleitzahl als Funktion des Feuchtegehaltes ein. Trennt man durch einen modifizierten Ansatz Kapillar- und Reibungskräfte, so erhält man Kapillarfunktionen, die für den Fall der stationären Strömung bei horizontaler Flüssigkeitsbewegung oder bei lotrechter Flüssigkeitsbewegung unter Vernachlässigung der Schwerkraft in der Krischerschen Flüssigkeitsleitzahl (Kapillarleitkoeffizient) zusammengefaßt werden können.Diese Kapillarfunktionen für Wasser wurden von Quarzsand, Ziegel, Kalksandstein, Gasbeton und Bimsbeton ermittelt und der Kapillarleitkoeffizient als Funktion des Feuchtegehaltes für den Befeuchtungsvorgang angegeben. Zur experimentellen Bestimmung des Feuchtegehaltes war das Durchstrahlungsverfahren mit Gammastrahlen gewählt worden, um den volumenbezogenen Feuchtegehalt während eines quasistationären Vorganges der kapillaren Flüssigkeitsbewegung in Abhängigkeit von Zeit und Ort ohne Störung des Vorganges ermitteln zu können.

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Results of investigations on the capillary motion of moisture in building materials

Krischer described the capillary motion of moisture as a water transfer proportional to the gradient of water content by volume, and defined a coefficient of capillary conductivity as a function of moisture content. Equations of general validity, however, can be developed by separation in terms for capillary and gravity forces and capillary resistance. These capillary functions can be transferred in the coefficient for processes with horizontal motion and for those cases where gravity does not have any impact on the motion in small capillary pore spaces.The capillary functions and the coefficients of capillary conductivity for quasi-steady processes of humidification were determined of quartz sand, brick, sandlime brick, cellular concrete and pumice concrete. The temporally and locally changing moisture content during capillary rising tests was measured non-destructively by means of the attenuation effect of penetrating gamma rays.

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Formelzeichen F Stoffquerschnitt - H() feuchtigkeitsabhängige maximale kapillare Steighöhe - H_max maximale kapillare Steighöhe beim maximalen Feuchtegehalt - I₀ Intensität der auffallenden Gammastrahlung - I Intensität der durchfallenden Gammastrahlung - R() feuchtigkeitsabhängiger kapillarer Reibungskoeffizient - R_max kapillarer Reibungskoeffizient beim maximalen Feuchtegehalt - V Volumstrom - h kapillare Steighöhe - q_S Volumanteil des Feststoffes - q_W Volumanteil des Wassers - q_L Volumanteil der Luft - s Weglänge - t Zeit - x Schichtdicke - y Impulszahl - Neigungswinkel gegen die Lotrechte - statistischer Fehler bei der Impulsmessung - Kapillarleitkoeffizient bzw. Flüssigkeitsleitzahl na ch Krischer - Schwächungskoeffizient für Gammastrahlen - Dichte - / Massenschwächungskoeffizient - volumenbezogener Feuchtegehalt - _max maximaler volumenbezogener Feuchtgehalt - _S Schwächungskoeffizient des Feststoffes - _W Schwächungskoeffizient des Wassers - _L Schwächungskoeffizient der Luft Herrn Professor Dr.-Ing. H. Glaser, Stuttgart, zum 70. Geburtstag gewidmet.Die Untersuchungen erfolgten mit Mitteln der AIF (Arbeitsgemeinschaft industrieller Forschungsvereinigungen e.V., Köln). Der Aufbau der Versuchs-anordnung und die Gammastrahlungsmessungen mit Auswertung wurden von H. Perk durchgeföhrt, der zugleich der för den Strahlenschutz Verantwortliche des Instituts im Sinne des § 20 der I. Strahlenschutzverordnung ist.     

Über eine Anwendung der Hillschen Minimalbedingung in der Plastizitätstheorie

Zusammenfassung Auf dem gezeigten Weg wurden die Spannungen _r , , _z berechnet, wobei an Stelle der Veränderlichen r und die dimensionlosen Größen x _i = r _i /, x=r/ und x _a = r/ in die Rechnung eingeführt wurden. Die Funktion (r, ) wurde dann für den Bereich 0,45x_i1,0, 1x_a 2 tabuliert. Hierbei zeigte sich, daß der Rechenaufwand bei der Durchrechnung eines Einzelbeispiels nach der Charakteristikenmethode wesentlich geringer ist. Bei der Anlage von Zahlentafeln zur Berechnung von Spannungen für beliebige Durchmesserverhältnisse ergab sich, daß der aufgezeigte Wege zu geringerem Rechenaufwand führt. Für das Beispiel r _i /r _a=1/2 wurden die Rohraufweitungen bestimmt und diese Werte noch durch praktische Versuche nachgeprüft. Hierbei ergab sich, daß die theoretisch bestimmten Rohraufweitungen in dem Streubereich der gemessenen Rohraufweitungen lagen, wobei Messungen an drei Rohren aus demselben Material und demselben Rohrverhältnis durchgeführt wurden. Insbesondere stimmten die theoretischen Rohraufweitungen auch mit den gemessenen Rohraufweitungen überein, wenn das Rohr entlastet wurde und die Restdeformationen bestimmt wurden.Daraus kann geschlossen werden, daß durch die berücksichtigte lineare Verfestigung die tatsächlichen Verhältnisse außerordentlich gut erfaßt werden.Der sogenannte Platzdruek eines Rohres kann auf rein rechnerischem Weg nicht erfaßt werden, da für =r_a die geometrische Gestalt des Rohres instabil wird. Bei den Versuchen zeigt sich, wenn der Innendruck über p _i ( =r **** _a ) gesteigert wird, daß das Rohr schon bei geringen Überschreitungen aufzubauchen beginnt.Meinem Lehrer Herrn Prof. Dr. Dr. R. Grammel zum 65. Geburtstag gewidmet.     

Zur Ermittlung der Torsionsschwingungen im inhomogenen linear elastischen Kontinuum

Übersicht Ein clastisch isotroper inhomogener Halbraum soll durch ein einachsig zylindersymmetrisches Modell so ersetzt werden, daß er bei Torsionsschwingungen ein möglichst analoges Verhalten zeigt. Dies wird so erreicht, daß für den gegebenen mit der Tiefez veränderlichen SchubmodulG(z) das zugehörige TrägheitsmomentJ(z) gesucht wird, das das dispersionsfreie Modell charakterisiert. Neben der Berechnung der Verdrehung(z) und der Amplitude (z) bei Torsionsschwingungen eines Fundaments auf dem inhomogenen Halbraum wird die Möglichkeit der Bestimmung von Bodenkennziffern aus charakteristischen Meßkurven angedeutet.

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Summary An elastic isotropic inhomogenous half-space is replaced by a uniaxial cylinder-symmetrical model showing equivalent behavior under torsional vibrations. This can be achieved by determining the corresponding moment of inertiaJ(z) characterizing the dispersion-free model for prescribed shear modulusG(z). Twist (z) and amplitude (z) under torsional vibrations of a base-plate on an inhomogeneous half-space are calculated and determination of soil parameters from experimental data is discussed.

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Herrn Prof. Dr.J. Kozeny gewidmet.     

Numerical study of liquid film cooling along an inclined plate

A numerical method of analyzing liquid film cooling along an inclined plate is presented. A marching procedure is employed for solution of the equations of mass, momentum, energy and concentration in the flow. Results for heat and mass transfer characteristics are presented for air-water system. The effects of the inclined angle , free-stream temperatureT , free-stream velocityu , and inlet film thickness on the heat and mass transfer along the gasliquid interface are examined in detail. Results show that an increase in free-stream temperature and velocity causes an increase in interfacial temperature while an increase in inclined angle and inlet film thickness causes a reduction in interfacial temperature. Additionally, the predicted results with the transport in the liquid film treated are contrasted with those with the transport in the liquid film untreated, showing that the assumption of an extremely thin film is inappropriate for a larger .

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Numerische Untersuchung der Flüssigfilm-Kühlung entalang einer geeigneten Platte

Zusammenfassung Es wird eine numerische Methode zur Untersuchung der Flüssigfilm-Kühlung entlang einer geneigten Platte vorgestellt. Die Lösung der Bilanzgleichung für Masse, Impuls, Energie und Konzentration in der Strömung erfolgt mit Hilfe eines expliziten Verfahrens. Ergebnisse für das Wärme- und Stoffaustauschverhalten werden bezüglich des Systems Luft — Wasser mitgeteilt. Im einzelnen befaßt sich die Untersuchung mit der Ermittlung des Einflusses von Neigungswinkel , FreistrometemperaturT , Freistromgeschwindigkeitu und Eintrittsfilmdicke auf den Wärme- und Stoffübergang entlang der Gas-Flüssigkeitsgrenzfläche. Die Ergebnisse zeigen eine Abnahme der Grenzflächentemperatur bei ansteigender Freistromtemperatur und -geschwindigkeit und eine Erhöhung, wenn Neigungswinkel und Eintrittsfilmdicke zunehmen. Zusätzlich folgt aus den Berechnungen, daß bei größeren Filmdicken die Annahme eines extrem dünnen Films unter Vernachlässigun g der vollständigen Transportmechanismen im Flüssigkeitsfilm zu falschen Ergebnissen führt.

     

Coupling effects on torsional vibrations of prismatic bars

Summary Due to the warping any torsional wave or disturbance in a noncircular cylinder is propagated with a higher velocity than that predicted by the elementary theory. This change of the wave velocity depending on wave length, i.e. the dispersion phenomenon, is accompanied by certain modifications of stresses and displacements. This paper presents a systematic investigation of these coupling effects within the framework of the linear theory of elasticity by means of the method of strained parameters and of the technique of Lindstedt-Poincaré leading to exact solutions in the asymptotic sense. The dispersion is found to be related to the shearing stresses of higher order of magnitude and to the distortion of cross section which are consequences not only of the axial stresses and accelerations hut also of the plane stresses. The coupling between torsional and flexural vibrations which occur in the case of cross sections not having two axes of symmetry is also determined explicitly.

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Kopplungseffekte bei Torsionsschwingungen zylindrischer Stäbe

Übersicht Infolge Verwölbung weisen Torsionswellen bei Stäben nichtkreisförmigen Querschnitts höhere Geschwindigkeiten auf als jene nach der klassischen St. Venantschen Theorie. Diese wellenlängenabhängige, als Dispersionsphänomen bekannte Änderung der Geschwindigkeit hängt unmittelbar mit Spannungen und Verschiebungen zusammen, welche über den Rahmen der elementaren Theorie hinausgehen. Die vorliegende Arbeit gibt eine systematische Untersuchung dieser Kopplungseffekte auf der Grundlage der linearen Elastizitätstheorie wieder, welche sich der Methode der asymptotischen Entwicklungen bedient und durch Anwendung der Technik von Lindstedt-Poincaré zu asymptotisch exakten Ergebnissen führt. Es wird gezeigt, daß die Dispersion im direkten Zusammenhang mit den Schubspannungen und Querverschiebungen sekundärer Größenordnung steht, welche als Folge von durch Verwölbung bedingten axialen Spannungen und Beschleunigungen, aber auch von ebenen Spannungen zustande kommen. Die je nach Symmetrieeigenschaft des Querschnitts zu erwartende Kopplung zwischen Torsions- und Biegeschwingungen wird ebenfalls explizit erfaßt.

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This paper has been presented at the XVIth International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, held on August 19–25, 1984 in Lyngby/DK     

Über den Kreisringträger mit begrenzter Verformung bei überkritischem Außendruck

Zusammenfassung Behandelt wurde das Verhalten eines Kreisringträgers mit nach außen hin begrenzter Verformung bei überkritischem Außendruck. Das Problem hat praktische Bedeutung im Schachtausbau.Die Arbeit beschränkt sich auf die Darstellung der möglichen Gleichgewichtsformen des Innenringes. Es zeigte sich, daß es Grundformen gibt, bei denen der Innenring an mehreren, in gleichem Abstand aufeinanderfolgenden Punkten vom Außenring gestützt wird. Diesen Formen konnten in Abhängigkeit von der Zahl der Stützstellen Belastungsbereiche k ^u kk ⁰zugeordnet werden. Die unteren Grenzen k ^u dieser Bereiche wurden aus dem Verschwinden der Stützkräfte, die oberen Grenzen k ⁰aus dem Verschwinden der Biegungsmomente an den Stützstellen ermittelt.Eine zweite Gruppe möglicher Gleichgewichtsformen des Innenringes ergibt sich beim Übergang von einer Grundform in eine andere mit einer größeren Zahl von Stützstellen. Solche Formen wurden für den Übergang von dem zweipunktig gestützten in den dreipunktig und vierpunktig gestützten Ring gezeigt. Im ersten Stadium zeichnen sich die Übergangsformen durch am Außenring anliegende Ringteile aus, deren Öffnungswinkel mit dem Belastungswert k wächst. Im zweiten Stadium tritt eine Durchschlagerscheinung auf, durch die der Ring in die Grundform mit größerer Stützstellenzahl überführt wird. Das Verhalten des verformungsbegrenzten Kreisringträgers zeigt daher Ähnlichkeit mit dem eines geraden Knickstabes, wenn dessen Durchbiegung nach beiden Seiten begrenzt ist.     

Extensional primary field approximations for viscoelastic media

Summary TheTrouton ratio, defined as the ratio of the extensional to the shear viscosity, may reach very high levels in viscoelastic media. Consequently the diagonal components of the deformation rate tensor, often of negligible importance in the analysis of flows ofNewtonian fluids, may be of primary interest here. Several significant phenomena unknown inNewtonian fluid mechanics are seen to have their origin in the tensile normal stresses generated by these extensional deformations of viscoelastic fluid media; they include the separation of particles or bubbles in accelerating flows (the Uebler effect), the operability of ductless siphons (Spinnbarkeit) and, probably, turbulent drag reduction.A class of problems which may be treated by neglecting the usual shearing deformation rates and shearing stresses, and considering only the extensional behaviour of the medium, is identified. These problems are characterized by high values of the dimensionless elongation rate, defined as the product of the local extension rate and the natural time of the fluid. As this dimensionless group frequently reaches its highest levels in the primary fluid stream outside a boundary layer this approximation is termed an Extensional Primary Field or EPF approximation to focus attention on the primary or outer flow, as distinguished from flows in the vicinity of solid surfaces.The EPF approximation appears to provide a sufficient basis for analysis of several problems: converging flows into an orifice or duet from a larger reservoir, flows through porous solids and elongational flows with free surfaces as in textile fiber-spinning operations and flow in ductless siphons. In several other problems — lubricant squeeze films, turbulent flows under drag reducing conditions and flows about submerged objects — EPF considerations appear to be of importance but may not control the entire problem. The potential importance of EPF considerations in treating fluid mechanically controlled crystallization processes is noted.

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Zusammenfassung Das Trouton-Verhältnis als Verhältnis von Dehnzu Scherviskosität, kann bei viskoelastischen Stoffen sehr hohe Werte erreichen. Das hat zur Folge, daß die bei Newtonschen Flüssigkeiten oft vernachlässigbaren Diagonalgliedern des Schergeschwindigkeitstensors hier sehr bedeutungsvoll werden können. Einige wesentliche bei Newtonschen Flüssigkeiten unbekannte Effekte lassen sich auf diese Normalzugspannung zurückführen. Hierzu gehören die Trennung von Teilchen oder Blasen in beschleunigten Fließvorgängen (Uebler-Effekt) die Spinnbarkeit sowie vermutlich die Turbulenzverminderung.Es wird eine Klasse von Problemen angesprochen, die bisher nur bei Berücksichtung des Dehnverhaltens behandelt wurden, während der Einfluß von Scherspannung und -geschwindigkeit vernachlässigt wurde. Diese Probleme sind durch hohe Werte der dimensionslosen Deformationsgeschwindigkeit charakterisiert. Die dimensionslose Darstellung wird durch das folgende Produkt definiert: örtliche Dehnungsgeschwindigkeit mal Eigenzeit der Flüssigkeit. Da diese dimensionslose Größe ihren höchsten Wert häufig in einem Primärstrom außerhalb einer Grenzschicht erreicht, wird diese Näherung EPF-Approximation (Extensional Primary Field) genannt, um auf den primären oder äußeren Fluß hinzuweisen, der von Fließerscheinungen in der Nähe fester Oberflächen zu unterscheiden ist.Die EPF-Näherung scheint eine hinreichende Grundlage für verschiedene Probleme zu bieten wie zum Beispiel für den Ausfluß aus einem Vorratsbehälter in eine Einmündung oder eine Röhre; Fließen durch poröse Festkörper, Fließen bei Dehnerscheinungen mit freier Oberfläche wie z. B. bei Spinnprozessen und Fließen in Siphons. In anderen Fragestellungen sind die EPFLösungen zwar von Einfluß, jedoch nicht entscheidend, wie z. B. bei Schmierfilmen, turbulenten Fließerscheinungen bei Verminderung der inneren Reibung sowie beim Fließen über eingetauchte Körper. Weiterhin wird auf die mögliche Bedeutung von EPF-Betrachtungen bei Kristallisationsprozessen, die aus der flüssigen Phase erfolgen, hingewiesen.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Bad Münster a. Stein vom 28.–30. Mai 1969.     

Eine kanonische Zustandsgleichung für Kohlendioxid

Zusammenfassung Es wird eine kanonische Zustandsgleichung für Kohlendioxid in der Form des Helmholtz-Potentials mitgeteilt, die mit einem Verfahren aufgestellt wurde, das die gleichzeitige Approximation verschiedenartiger Zustandsgrößen erlaubt. Zur Ermittlung der Vorgabewerte für die Approximation wurden Meßwerte sowie Werte bereits vorliegender Gleichungen verwendet. Außerdem werden einige Temperaturfunktionen für Zustandsgrößen an den Grenzkurven und im idealen Gaszustand angegeben. Der Verlauf einiger Zustandsgrößen von Kohlendioxid wird mit dem entsprechenden Verlauf bei Wasser bzw. Wasserdampf verglichen. Es zeigt sich eine überraschend gute qualitative Übereinstimmung.

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A canonical equation of state for carbon dioxide

A canonical equation of state for carbon dioxide in the form of the Helmholtz function is presented which was established by means of a method allowing the simultaneous fitting of different properties. The data points which have to be fitted are based on experimental values as well as on values of still existing equations. Several temperature functions for properties along the boundary lines and in the ideal gaseous state are given. The behaviour of some properties of state of carbon dioxide is compared with that of water substance. A surprisingly good qualitative agreement is shown.

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Formelzeichen und definierte Werte A Matrix - a_ij Gleichungskoeffizienten - B Vektor - c_p isobare spezifische Wärmekapazität - c_v isochore spezifische Wärmekapazität - f spezifische freie Energie (Helmholtz-Funktion) - h spezifische Enthalpie - i, j Laufvariable - k Isentropenexponent - p Druck - t Celsius-Temperatur (t=T–T₀ mit T₀=273.15 K) - v spezifisches Volumen - z=pv/(RT) Realfaktor - _h isenthalper Drosselkoeffizient - _T isothermer Drosselkoeffizient - Dichte - IMAX obere Grenze der Laufvariablen i - JMAX_i obere Grenze der Laufvariablen j (abhängig von i) - JMIN_i untere Grenze der Laufvariablen j (abhängig von i) - R Gaskonstante - T thermodynamische oder Kelvin-Temperatur - W Bewertungsfaktor - Anstieg der Dampfdruckkurve - =P/Pk reduzierter Druck - =T/T_k reduzierte Temperatur - =–1 transformierte reduzierte Dichte - G=1/–1 transformierte reduzierte Temperatur - =f_k/Pk reduzierte spezifische freie Enthalpie - =/k reduzierte Dichte - I=R T_{k k}/Pk reduzierte Gaskonstante Indizes k kritischer Zustand - tr Zustand am Tripelpunkt - sub Sublimationszustand - s Sättigungszustand - flüssiger Sättigungszustand - gasförmiger Sättigungszustand - * Zustand beim Normdruck p^*=1 atm - o idealer Gaszustand bei p=0 oder p=p^* Herrn Professor Dr. Romano Gregorig gewidmet zum 65. Geburtstag.     

Die intravaskuläre Erythrozytenaggregation und ihre Einwirkung auf die Rheologie des Blutes

Zusammenfassung Sichtbare Aggregation der Erythrozyten in den kleinen Gefäßen (sog. körnige Strömung oder sludged blood) beruht auf zwei mitunter zusammenwirkenden Faktoren: 1. verlangsamte Strömung des Blutes oder 2. verminderte Suspensionsstabilität desselben (= gesteigerte Aggregationstendenz der Erythrozyten in der Form von Geldrollen).Die intravaskuläre Aggregation der Erythrozyten hat zwei entgegengesetzte Effekte auf die Strömung des Blutes. Einerseits bewirkt sie in den weiteren parakapillaren Gefäßen einen mehr kontrahierten Axialstrom der Erythrozyten, was den Transport derselben auf Kosten des Plasmas begünstigt und zweitens die Viskosität des Blutes vermindert.Anderseits sprechen die Versuche mit einer Methode, dieFiltrabilität der Erythrozyten zu bestimmen dafür, daß bei gesteigerter Aggregationstendenz derselben die Aggregate einen Widerstand in den engeren parakapillären Gefäßen und in den Kapillaren bewirken. Gründe sind für die Auffassung angegeben, daß in Fällen von stark verminderter Suspensionsstabilität des Blutes Erythrozytenaggregate durch embolisierende Wirkung Gewebeschädigungen hervorrufen.     

The behavior of a spherical bubble near a solid wall in a compressible liquid

Summary The behavior of a spherical bubble near a solid wall is analysed by considering the liquid compressibility. The equation of motion of the bubble with first order correction for the effects of liquid compressibility and solid wall is derived. The equation obtained here coincides with the known result in case of L or C . Further experimental study is made on the motion of bubbles produced by a spark discharge in water. The theoretical results are in good agreement with the experiments.

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Das Verhalten einer kugelförmigen Blase in einer kompressiblen Flüssigkeit in der Nähe einer festen Wand

Übersicht Bei Berücksichtigung der Flüssigkeitskompressibilität wird das Verhalten einer kugelförmigen Blase in der Nähe einer festen Wand analysiert. Die Gleichung der Bewegung der Blase wird mit der Korrektur erster Ordnung für den Einfluß der Flüssigkeitskompressibilität und der festen Wand angegeben. Aus der erhaltenen Gleichung wird für L oder C das bekannte Ergebnis hergeleitet. Darüber hinaus wird eine experimentelle Untersuchung der Blasenbewegung durchgeführt. Die Blase wird mit Hilfe von Funkendurchschlägen zwischen Elektroden in Wasser erzeugt. Die theoretischen Ergebnisse stimmen gut mit den Experimenten überein.

     

Anlaufkorrektur und Elastizität bei der Kapillarströmung von Lösungen

Zusammenfassung Aus der Anlaufkorrektur kann man nach einer Rechnung vonFromm, die auf dem Maxwellschen Modell basiert, eine Relaxationszeit und eine korrigierte Viskosität _c ermitteln. Der Quotient _c/ stellt einen Schermodul dar. Diese Größe wird für Lösungen von Cellulosetrinitrat in Butylacetat, Polyvinylacetat in Dioxan, Polystyrol in Toluol, Polyacrylamid in Wasser, und Viskose, in Abhängigkeit von der Konzentrationc und dem SchergefälleD ermittelt. Es zeigt sich, daß _c/ etwa im Wendepunkt der Fließkurven eine Art Plateau oder ein flaches Maximum zeigt und in diesem Plateaubereich eine lineare Abhängigkeit von der Konzentration. Die absolute Größe von _c/ ist jedoch um Größenordnungen geringer, als sie nach der Formel vonRouse bzw.Bueche für die erste Relaxationszeit eines Verhängungsnetzwerkes zu erwarten wäre. Das wird so gedeutet, daß bei dem hohen Schergefälle, das bei den Messungen herrschte (D etwa 10⁴ sec^–1), ein Teil der Verhängungen zerstört ist, wodurch die Relaxationszeit vergrößert und der Schermodul verkleinert wird.

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Summary From the end-correction, according to a calculation byFromm based upon theMaxwell-model, a relaxation time and a corrected viscosity _c can be obtained. The quotient _c/ represents a shear modulus. Its value is determined for solutions of cellulosetrinitrate in butylacetate, polyvinylacetate in dioxane, polystyrene in toluene, polyacryloamide in water, and viscose, in dependence of concentrationc and shear rateD. It is found, that _c/ shows a plateau or a flat maximum at the inflection point of the flow curves. In this range, a linear dependence on concentration is found too. The absolute value of _c/, however, is smaller by orders of magnitude than that to be expected for the first relaxation time of an entanglement network according to the formulas byRouse resp.Bueche. This is explained by a partial disruption of entanglements in the high shear rate prevailing at the experiments (D about 10⁴ sec^–1), which effects an increase of the relaxation time and a decrease of the shear modulus.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Bad Ems vom 18.–19. Mai 1967.