正弦定理推证中的三个“副产品”

现行高中教材(人教版试验修订本必修第一册(下))中证明正弦定理时用的是向量方法,但未给出等于2R的证明.笔者在教学中对正弦定理“等于2R”推导的探究中,利用常用的三角形的外接圆方法来推导.在完成了任务的同时还得到了几个非常优美的“副产品”.如图1,在△BCD中,BC=CDsin∠BD     

四面体的一个体积定理的证明和应用

四面体的一个体积定理的证明和应用徐连清（内蒙赤峰巴林右旗大板三中０２５１５０）从所周知，平面几何中最简单的几何图形三角形有面积定理：“三角形的面积等于它任意两边和夹角正弦乘积的一半”，那么立体几何中最简单的几何体四面体是否也有类似的体积定理呢？下面就...     

解三角形

1．本单元重、难点分析 本单元的重点：（1）正弦定理和余弦定理及其推导；（2）正弦定理和余弦定理的应用．     

正弦定理在数学竞赛解题中的应用(一)

正弦定理在数学竞赛解题中的应用（一）李火斤（天津师范大学数学系３０００７４）正弦定理是高中数学课的一个重要内容．利用正弦定理解决几何问题，在数学竞赛中也经常出现．灵活运用该定理解决几何在有关求角、求最值、证明线段相等、证垂直及证三点共线的例子有很多，...     

关于正弦定理余弦定理的注记

在试验修订本中，正弦定理和余弦定理是利用“向量”这个工具证明的，与传统方法相比，正弦定理的难度加大了，而余弦定理的证明则很简洁，这说明用“向量”这个工具解题，有可能简便，也可能复杂，因此在处理问题时要有所取舍。关于正弦定理、余弦定理，要注意以下几点：     

三角形各心与界心间的关系

定理1设P为AABC所在平面内任一点，则美中P、R和rfi别为半固长，外接回和内团圆半径．证明则留4，因BD—p—C，DC—P一b，在西PBC中用Stewart定理：在西ABD中，有再由Menelaus＆理，淆；，AJa、。、一、。。。。从而无一“；在西PAD申用Stewart定’””“JDpa”““—”“一””“一”一一理，得指PD’、AD‘表达式代入此式，利用即得欲证．由此可以推知：（l）JO＝RZr．（2）JH—ZIO—2JRnMF＝．（P弓H重台，吕PA’一4R’一a’等代人，巨用allffiP’一百a‘一r’＋4R”租OI’一R’一ZRr，即得欲证）由（3）和（4）…     

杨乐不等式的两个初等证明

这里给出杨乐不等式则与目前已见到的证明不同的两个初等证明．证明1（三角变换法）汪意到余弦函数在[0，π]上是减函数，有又由A＞0，B＞0，A＋B≤π知|A－B|＜π，从而有COSμ（A-B）=COSμ|A-B|＞COSμπ由①②③即知（*）成立．证明2（构造模型法）当μ=1时易知（*）成立；当0＜μ≤时，构造△A1B1C1，真外接圆直径2R＝1．因在一个三角形中至少有两个内角为锐角，不妨设A1与B1都是锐角，并且令在△A1B1C1中用正弦定理，有A1B1＝sinμ（A＋B）再用宗弦定理，有比较（*）与（**）可以看出：欲证（*）成立，只需证就可以了．…     

正弦定理的变式问题及其解答

正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔-威发（940998）首先发现与证明的．目前教材中关于三角形的正弦定理叙述如下：     

“弦切角”课例

教学目标：1．理解弦切角的概念，掌握弦切角的定理；2．能初步运用定理进行计算和证明；3．通过弦切角定理的证明使学生进一步了解从特殊到一般及分情况证明数学命题的思想和方法．重难点：定理的发现及证明．［点评：“弦切角”一节由两课时完成，第一课时的重点在“定理的发现及证明”，而不是认识性目标的落实．这是教师基于数学方法论教育方式的一种思考．教学目标3的提法是可取的，不仅规定了学生了解什么样的思想和方法，还指明了了解这种思想和方法的途径．］教学过程：1概念的引入（1）提问：什么叫圆周角？圆周角定理的内容是什么…     

三角形广义正弦定律及其应用

三角形广义正弦定律及其应用陈湛本（广州师院数学系５１０４００）１引言和引理我们知道正弦定律揭示了△ＡＢＣ的三边、三内角的正弦以及其外接圆半径Ｒ的正比例关系．它是三角学中最基本和重要定理之一，也是应用最多最广的一个公式，事实上，可以证明［１］公式（１）...     

三棱锥（台、柱）中的正弦定理

受文的启发，笔者经过研究发现：在立体几何中确有对任何三棱锥（台、柱）都成立的正弦定理存在．且从不同角度有不同的描述方式，本文仅从与侧面，侧棱有关的角度给出定理及证明，为此，先给出下面引理．     

对一个中线不等式的再探讨

笔者曾在又［1」中给出了一个中线不等式，其结论较弱，在不文里，我们将进一步探讨文［1］中提出的问题．本文将统一采用以下记号：在△ABC中，三边长为BC=a，CA=b，AB=c，其对应中线分别为ma、mb、mc，R、r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径，“∑”麦示循环和，“Π”表示循环积．定理在△ABC中，有当目仅当面ABC为正三角形时，（1）式取等号．为证定理，需用到以下几个引理．引理1在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（2）式取等号·引理1的证明可参见文［2］．引理2在△ABC中，有当且仅当△ABC为正三角形时，（3…     

对一个新定理的解析

文[1]证明了这样的一个新定理：定理如困1，△ABC各角顶点与对边三三等分点的连线中，相邻两条连线分别交于P、Q、R，则△PQR∽△hABC，且相似比为1:5．采用[1]的证明方法，文[2]把上面的定理推广到了n等分的情况，得到了如下的命题：等分点的连线中，相邻两条连线分别交于P、Q、R，则APQR——AABC，且相似比为（r一2）：（2n一l）．现在，我们要考虑较［Zj更一般的情形．目的是要证明如下的两个结果．定理1如图3，在AABC中，BAI：AIAZ：AZC＝CBI：BIB。：B。A＝ACI：C；C。：C。B。l：po：1，且相邻两条连线分别交于…     

广义积分integral from n=0 to 1()((1n)~(k-1)t)/(1 t)dt与级数Sum from n=1 to ∞() ((-1)~(n-1))/n~k间的关系及计算

定理1设k是正整数，则有证明记由于易知又由于所以所以（6）式为在（8）中取、r—－1，有在（9）中作变换L—一X有＿＿、＿．l．＿＿、，＿I。〔h〔，＿＿＿rp（－1）＿。＿。L、，＿＿＿。。＿＿＿＿，＿。。定理1给出了广义积分l；：＝一体与级数西二个一之间的关系。下面的定理2将给出‘“““””“’””””“”JI＋t”’”””“‘“’””“““””“’””““”“”‘”“““计算级数Zirn／一的一个递推公式。它相9地将人X）展成余弦级数（14）式为一递推公式，继续递推并注意到八二I。。Snxdx一O，则（14）为在（16）式中…     

关于n连贯多项式的几个结论

数集K上的多项式f（x）＋i（i＝0，1，…，n－1，整数n≥2）均在K上可约，则称f（x）为K上的n连贯多项式，二连贯多项式简称连贯多项式．自[1]提出n连贯多项式的概念以来，有较多文献在研究它．一般在复数集C，实数集R，有理数集Q，或整数集Z上研究n连贯多项式．本交给出关于”连贯多项式的n个结论（没有指明在哪个数集上时，指在任意数集上），这些结论都是由n连贯多项式的定义容易证明的，所以多未证明．定理1（1）复数域C上次数不小于2，或R上次数不小于3的多项式均为n连贯多项式；（2）ax2＋bx＋c（a＞0）在R上为n连贯多项式的充要…     

正弦定理在数学竞赛解题中的应用(二)

正弦定理在数学竞赛解题中的应用（二）李火斤（天津师范大学数学系３０００７４）接上期）四、利用正弦定理求最值问题关于几何中的最值问题，常见的就是求所求变量的解析式，再通过代数的方法来求最值．在解析式中参量有时是边，有时是角，或二者兼而有之，在边与角的转...     

四面体的另一种空间角的正弦定理

四面体的另一种空间角的正弦定理刘毅（齐齐哈尔教育学院１６１００５）文［１］中我们定义了三面角的一种特征值（为明确起见，本文约定称其为三面角的第一种特征值），并给出了相应的三角形正弦定理在四面体的类比定理．本文将定义三面角的另一种特征值，并给出相应的三...     

椭圆中的托勒密定理

著名的托勒密（Ptolemy）定理“圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和”有多种推广．但笔者未见在椭圆中的推广．其实,Ptolemy定理椭圆中也有．     

三垂线定理教学的几点注记

三垂线定理教学的几点注记吴新华，邱崇志（广东省中山市中山纪念中学）三垂线定理是高中立体几何中的重点内容之一，是判定线段垂直的一种重要方法．在全国各地的预选、模拟试题以及全国高考试题中，立体几何问题大多数与三垂线定理有缘．“叙述并且证明三垂线定理”就曾...     

广义柯西中值定理的“中间点”的渐近性

广义柯西中值定理的“中间点”的渐近性殷子和，马龙友（武汉工业大学北京研究生部）（北京建筑工程学院）文［１］、［２］对柯西中值定理的“中间点ξ”的渐近性问题进行了研究．本文给出广义柯西中值定理的“中间点ξ”的渐近性定理，并予以证明．柯西中值定理的一种推...