2007年高考湖北卷的一大特色——整数性质

“数学是自然科学的皇后，数论是自然科学的皇冠，哥德巴赫猜想则是皇冠上的一颗明珠．”这是陈景润读高中时，他的数学老师对全班同学说的一段名言．由此，陈景润开始对数学产生极大兴趣，并最终取得研究哥德巴赫猜想的巨大成就．数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质．     

哥德巴赫留给后人的猜想

<正>1973年.我国著名数学家、中国科学院数学研究所研究员陈景润在《科学通报》上发表了哥德巴赫猜想的证明——1+2.随后.著名作家徐迟以陈景润研究、证明哥德巴赫猜想为题,发表了报告文学一《哥德巴赫猜想》.立刻陈景润的名字和哥德巴赫猜想传遍了大江南北、长城内外;霎时,神州大地处处涌动着学习科学,追求科学献身科学的热潮.数学学习与研究迎来了阳光明媚的春天!     

3的剩求类及应用

整数被自然数m除按余数可以分为m类:{mk},{mk 1},{mk 2},…{mk m-1}。运用整数的这种分类——剩余类及运算性质是解答某些数学智趣题(包括某些整数论定理及数学竞赛题)的卓有成效的方法。例如,当m=2时,便有功劳显赫的奇偶分析法,众多的书刊对此也作过较多的介绍。本文介绍:当m=3时,整数被分为{3k},{3k 1},     

关于二次剩余的深入探讨

<正>1问题的引入考察小于30的奇质数p,当p为何值时,二次同余方程x²+1≡0(modp)有解.这是一道数论题目,入手非常容易,结果如下:单纯回答题目中的问题并不难,显然,这些表面的结论之中包含着某些规律,其背后的本质是什么?本文通过深入探讨,运用二次剩余概念,揭示这些结论的实质内涵.2联想与推测在数论中,一个整数x对另一个整数p的二次剩余指x2+1≡0(modp)有解.这是一道数论题目,入手非常容易,结果如下:单纯回答题目中的问题并不难,显然,这些表面的结论之中包含着某些规律,其背后的本质是什么?本文通过深入探讨,运用二次剩余概念,揭示这些结论的实质内涵.2联想与推测在数论中,一个整数x对另一个整数p的二次剩余指x²除以p得到的余数.当存在某个x,使得x2除以p得到的余数.当存在某个x,使得x²≡a(modp)成立时,     

有趣的连分数

连分数是初等数论中一个古老的课题 ,而且是极具艺术魅力的一部分 ,它曾经吸引了不少数学大师为之着迷 ,今日仍是一个十分有用的数学工具 .它既可以用于整数理论的探索 ,也可以用于整数、函数的近似求解 ,还可以用于线性递推数列性质的研究以及不定方程 (如 Pell方程 x2 -dy2=± 1,d是大于 1的非平方数 )的求解等等 .在计算机领域 ,连分数为复杂的数学计算近似求解提供了有效的理论工具 ,有力地推动了应用数学的发展 .在中学数学竞赛中 ,应用连分数解题也是常用的解题技巧 .本文将简要地介绍连分数的一些基本概念 ,并对 d与 di的连分数展开…     

两道数学竞赛题的推广

题1函数f(x)=x2 x 21,x∈[n,n 1](n是整数)的值域中恰有10个不同整数,则n的值为.(第八届“希望杯”高一第1试第25题)分析:将本题中“n是整数”推广为“n是任一实数”,结果如何?解f(x)=(x 21)2 43.当n≥21时,f(x)在[n,n 1]上是增函数,f(n 1)-f(n)=2n 2.若10≤2n 2<11则4≤n<29,此时f(x)的值域中共有10个整数;当n≤-23时,f(x)在[n,n 1]上是减函数,f(n)-f(n 1)=-2n-2若10≤-2n-2<11则-123相似文献   

数学竞赛之窗

本期给出 2 0 0 4年美国数学奥林匹克的试题与解答 ,由上海中学冯志刚老师与林运成同学提供 .第 33届美国数学奥林匹克(第一天　 2 0 0 4年 4月 2 7日 )1　设ABCD是一个有内切圆为凸四边形 ,它的每个内角和外角都不小于 6 0° .证明 :13|AB3 -AD3 |≤ |BC3 -CD3 |≤ 3|AB3 -AD3 | .等号何时成立 ?2　设a1,a2 ,… ,an 是整数 ,它们的最大公约数等于1.设S是具有下述性质的一个由整数组成的集合 :1)ai∈S ,i=1,2 ,… ,n ;2 )ai-aj∈S ,1≤i,j≤n (i,j可以相同 ) ;3)对任意整数x ,y∈S ,若x +y∈S ,则x -y∈S .证明 :S等于由所有整数…     

数论及其应用 献给陈省身先生九十大寿

众所周知 ,数论是数学中最古老最纯粹最优美的一个学科 .不过鲜为人知的还是 ,数论同时也是一门应用性极强的应用数学学科 .著名国际数学大师陈省身教授早在 1 992年精辟地指出 :“数学中我愿意把数论看作应用数学”,“我想数学中有两个很重要的数学部门 ,一个是数论 ,另一个是理论物理”.在本文中 ,我们将先扼要介绍一下数论中的一些基本概念、几个主要难题 ,紧接着我们要介绍数论 (尤其是数论中的难题 )在现代密码学 (包括网络与信息安全 )与计算机科学 (尤其是快速并行计算 )中的应用     

构造函数证明平面几何问题

众所周知,单调函数的一个最基本性质:若f(z)是区间I上的单调函数X1,X2∈I,且f(x1)=f(x2),则x1=x2.下面我们利用这个性质来证明<数学通报>2007年8期数学问题第1687题,进而再证明著名的施泰纳-莱默斯定理.     

第十一讲 高斯函数[X]

一定义与性质函数y=〔x〕叫做高斯函数,定义域为实。数集;对应法则可用一句话概括,即y是不超过x的最大整数。这里符号〔x〕只不过是高斯函数的函数值的记号,高斯函数y=〔x〕是一种记号表示法,其对应法则是用一句话表达的,不能用一个式子表达,但可用图象表达,如图1。由于图象呈阶梯状,所以高斯函数亦称阶梯函数。掌握高斯函数这一概念要抓住两关:第一,对任何x,〔x〕是整数:第二,〔x〕≤x<〔x〕+!。这说明〔x〕是x的整数部份。因此,高斯函数也叫数论函数。因为高斯函数在数论及其他数学分支中有广泛的     

整系数多项式的哥德巴赫定理

哥德巴赫猜想断定每一个比4大的偶数是两个素数的和、用Z表示整数环,多项式环Z[x]与Z一样是一个唯一分解整环,其中不可约多项式相当于整数中的素数。本文的目的是证明多项式环Z[x]中与哥德巴赫猜想类似的定理。 定理1.在Z[x]中每一个次数n≥1的多项式M可以写成两个不可约n次多项式A与B的和,即     

千淘万漉虽辛苦,吹尽狂沙始见金

在一次考试中,这样的一道题差点把我难倒.题对函数f(x)=12x 2,求和:S=f(-5) f(-4) f(-3) … f(0) f(1) … f(6).这个问题并不难,只要找到规律“当x1 x2=1时,f(x1) f(x2)=12”,再运用倒序相加的技巧,问题便迎刃而解.考试完后,我有点不甘心,希望将这一问题推广,深究其本质.问题中的规律其实是一个恒等式:12x 2 121-x 2=12.要将其推广,首先注意到“显眼”的“2”,我以a取代2,得到一个新的式子:1ax a 1a1-x a=1a.不难证明这个式子是一个恒等式.有些欣慰的我,便想“百尺竿头,更进一步”.那推广的思绪又是什么呢?显然是能否将“x1 x2=1”中的1换…     

西南联大时期华罗庚的数论研究及其对国际数论发展的影响

西南联大时期的年轻教授华罗庚早年从事解析数论的研究工作,开创了国际间颇具盛名的"中国解析数论学派",该学派对于质数分布问题与哥德巴赫猜想都做出了许多重大的贡献,对国际数论的发展也产生了深远的影响.新中国成立后,回国的华罗庚创建中国科学院数学研究所,培养出了世界知名的中国优秀数论研究人才陈景润、王元等.华罗庚不仅在遍及数学诸多领域产出了影响国际的研究成果,而且他的特殊学术思想和方法论已作为中华民族文化的一部分而载入史册.     

2004年全国中考数学命题特色一瞥

本文拟对2004年全国中考数学命题的基础性、发展性、时代性特色作一个简单的评析.1.在“思维活动”中体验数学“双基”的价值例1(北京海淀区第12题)图1是饮水机的图片.饮水桶中的水由图2的位置下降到图3的位置的过程中,如果水减少的体积是y,水位下降的高度是x,那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是()例2(江苏省苏州市第14题)为缓解苏州市区“打的难”问题,今年世遗会前,苏州市区新增了出租车800辆,出租车的总量达到了3200辆.按市区人口216万来计算,扩容后苏州市区每万人出租车拥有量可达到辆.(精确到0.1)例3(山东省威海市第14题)我国自…     

一道竞赛题的剖析与拓展

<正>1.试题2016年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛选择第4题出了这样一道题目:例1函数f(x)=x²+ax+3a的零点都为整数,则a的所有可能值之和等于().(A)-4(B)12(C)4(D)24试题以二次函数为背景考查了函数零点的概念,经过转化变为一个一元二次方程整数解的问题,这种试题在初中各种竞赛中频繁出     

一道常见习题的证明与推广

有这样一道习题常出现于各类刊物中: 班:已知.f(x)“丫+Px十q,求证}f(1)卜1厂2)}、}f(3)}中至少有一个不小于+. 本文给出一个新证法,利用这种证法可将原题堆广到一般情形. ‘分析:注意到本题的结论与条件中的扒q的取值无关,起决定作用的是f(l)、厂2)、.f(3).因此,用.f(1)、f(2)、厂(3)来取代f(x)表达式中的扒叮有可能达到证明此题的目的. 证:设f(x)二A(x一l)(x一2)+B(x一2)(x一幻+e(x一3)(x一1),则f(l)二2政f(2)=一C.不3)二2凡故f(x)=士(x一幻(x一3)f(1)一(x一川x一s)f(2)+专(x一川x一2)刀3) 三了十Px+q.比较上面恒等式两边x”的系数得 十…     

解“取整”问题的常用方法

在数学竞赛中,有一类取整数的问题乍看起来令人无从下手,但若处理巧妙,方法得当,亦会柳暗花明.下面举例说明几种常用方法,以殆读者.一、运用定义法例1(第十五届“希望杯”全国数学邀请赛试题)规定[a]表示不超过a的最大整数,当x=-1时,代数式2mx3-3nx+6的值为     

第34届IMO试题

第一天(4个半小时,共三题,每题7分) 1 设f(x)=x~n+5x~(n-1)+3,其中n是一个大于1的整数。求证:f(x)不能表示为两个多项式的乘积,其中每一个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次。2 设D是锐角三角形ABC内部的一个点,使     

“心形曲线”的重识与改编

<正>在学习圆锥曲线的过程中,我们碰到一道有趣的题目——2019年北京卷理数的选择压轴题“心形曲线”问题．思考试题过程中,小有收获,记录成文．1原题再现(2019年理科数学北京卷第8题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图1)．给出下列三个结论:(1)曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);     

从一道高考题，谈一类分段函数题型的求解方法

2002年全国高考数学理科卷中有这样一道题: 第(21)题,设a是实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R, (1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值. 分析:此题中的函数实质是一个分段函数