一般凸体的Dvoretzky定理

将关于中心对称凸体的低维椭球截面的Ｄｖｏｒｅｔｚｋｙ的著名定理推广到了一般凸体上。     

一般凸体Dvoretzky定理(英文)

将关于中心对称凸体的低维椭球截面的Ｄｖｏｒｅｔｚｋｙ的著名定理推广到了一般凸体上．     

关于凸体i次宽度积分的不等式

根据Lutwak引进的凸体i次宽度积分的概念,本文获得了凸体i次宽度积分的Blaschke-Santal幃不等式,并把Ky Fan不等式推广到了凸体i次宽度积分.最后,本文利用其与对偶均质积分之间的关系建立了两个中心对称凸体的极的Brunn-Minkowski型不等式.     

凸体的曲率映象与仿射表面积

本文研究了一些特殊凸体与其极体的曲率仿射表面积乘积的下界.对任意两个凸体,建立了它们的投影体的混合体积与其仿射表面积的一个不等式（见文[1-15]）.     

对凸形内部一类特殊点的研究

1 简介对于一个凸形,其内部任一点都能表示为凸形的某条弦的中点,但是对于一般的凸形,什么样的点能表示为凸形的某个内接中心对称凸多边形的中心?本文将对这个命题的推广进行讨论.以下为本文的主要结论.定理 设Ω为平面上的凸形,定义T为Ω的所有内接中心对称凸多边形中心构成的集合,则图形T的面积S(T)满足0≤S(T)≤1/4S(Ω)不等式左端等号成立当且仅当Ω为中心对称图形,不等式右端等号成立当且仅当Ω为三角形.(以下如无特殊说明,“凸形”,“中心对称图形”均指平面上的图形,且不包括直线或直线的一部分.)     

关于A^3中仿射球面的两个定理

本文讨论仿射凸曲面为仿射球面或其一部分的问题。利用椭圆型偏微分方程组解的唯一性定理(或称“拟解析函数法”),文中证明了两个较为广泛的定理(见定理1与2),它们进一步推广了诸如 H-定理,K-定理以及许多关于特殊的 Weingarten 曲面为仿射球面的定理。     

R^(5)中具有平行Fubini-Pick形式的Calabi超曲面的分类北大核心CSCD

Fubini-Pick形式关于Blaschke-Berwald度量(或中心仿射度量)平行的局部强凸等仿射(或中心仿射)超曲面分类问题,在过去十年内已被完全解决.文献[20]对Fubini-Pick形式关于Calabi度量平行的2,3维Calabi超曲面进行了分类,该文将其推广到4维的情形.     

锥体积泛函与仿射不等式(英文)

本文研究了凸多胞形的锥体积泛函.利用投影体以及Lutwak、杨和张最近所建立的仿射等周不等式,得到了刻划平行四边形特征的一个崭新不等式和用锥体积泛函以及投影体的体积所表达的关于配极体体积的严格下界.     

再论仿射不变量$W_{i}(K)W_{i}(K^{})$的下界估计

对于所有凸体与每一个$i$, 寻找仿射不变量$W_{i}(K)W_{i}(K^{*})$下界的问题是一个至今未能完全解决的公开问题. 最近,赵长健考虑了仿射不变量$W_{i}(K)W_{i}(K^{*})$的下界是与凸体$K$本身有关的常数的情形, 并利用混合体积与对偶混合体积的关系理论, 对仿射不变量$W_{i}(K)W_{i}(K^{*})$的下界进行了讨论. 本文进一步讨论仿射不变量$W_{i}(K)W_{i}(K^{*})$的下界估计, 并对具有正的连续曲率且包含原点为其内点的凸体\!$K$, 获得了仿射不变量$W_{i}(K)W_{i}(K^{*})$的几个不同精度的下界, 同时给出了著名的Bourgain-Milman 不等式中通用常数$c$的具体表示值.最后提出了两个公开问题.     

投影体的宽度积分和仿射表面积

本文运用凸几何分析理论,建立了投影体的宽度积分和仿射表面积的一些新型Brunn-Minkowski不等式,这些结果改进了Lutwak的几个有用的定理.作为应用,进一步给出了混合投影体极的BrunnMinkowski型不等式.     

关于多胞形一个新仿射不变量的应用

用组合极值方法导出了n维欧氏空间中关于原点对称的一个凸多胞形子类上一个新的仿射不变量(最近由Lutwak,Yang和Zhang引入)的解析表达式,并给出了其在凸多胞形Minkowski问题的一个应用．     

The Busemann theorem for complex p-convex bodies

The Busemann theorem states that the intersection body of an origin-symmetric convex body is also convex. In this paper, we prove a version of the Busemann theorem for complex p-convex bodies. Namely that the complex intersection body of an origin-symmetric complex p-convex body is γ-convex for certain γ. The result is the complex analogue of the work of Kim, Yaskin, and Zvavitch on (real) p-convex bodies. Furthermore, we show that the generalized radial qth mean body of a p-convex body is γ-convex for certain γ.     

On a question of A. Koldobsky

We construct an example of a non-convex star-shaped origin-symmetric body D⊂R³ such that its section function AD,ξ(t):=area(D∩{ξ^⊥+tξ}) is decreasing in t?0 for every fixed direction ξ∈S².     

A Short Solution to the Busemann-Petty Problem

A unified analytic solution to the Busemann-Petty problem was recently found by Gardner, Koldobsky and Schlumprecht. We give an elementary proof of their formulas for the inverse Radon transform of the radial function of an origin-symmetric star body .     

On perimeters of sections of convex polytopes

In his book “Geometric Tomography” Richard Gardner asks the following question. Let P and Q be origin-symmetric convex bodies in R³ whose sections by any plane through the origin have equal perimeters. Is it true that P=Q? We show that the answer is “Yes” in the class of origin-symmetric convex polytopes. The problem is treated in the general case of Rn.     

On a discrete version of alexandrov’s projection theorem

In this paper, we consider a discrete version of Aleksandrov＇s projection theorem. We prove that an origin-symmetric convex lattice set, whose lattice＇s y-coordinates＇ absolute values are not bigger than 2, can be uniquely determined by its lattice projection counts if its cardinality is not 11. This partly answers a question on the discrete version of Aleksandrov＇s projection theorem which was proposed by Gardner, Gronchi and Zong in 2005.     

Borsuk’s Partition Problem in $$(\mathbb{R}^{n},\ell_{p})$$

Mathematical Notes - For a bounded set $$X$$ with diameter $$d_{C}(X)$$ in a finite-dimensional normed space with an origin-symmetric convex body $$C$$ as the unit ball, the Borsuk number of $$X$$...     

投影体与U(P)的极值性质

为了研究著名的Schneider投影问题,E.Lutwak,D.Yang和张高勇最近引进了一个关于对称多胞形的新的仿射不变量U(P),并提出了关于U(P)下界的猜想.本文就二维、三维在一特定条件下的情形给予了此猜想的肯定回答并给出了严格的数学证明.     

一个与投影体相关的锥体积不等式

本文研究了一个与投影体相关的锥体积不等式.利用凸函数的梯度性质,获得了n维欧氏空间中关于任意原点对称凸体的一个锥体积不等式,推进了Schneider投影问题的解决.     

On the Stability of the p-Affine Isoperimetric Inequality

Employing the affine normal flow, we prove a stability version of the p-affine isoperimetric inequality for p≥1 in ?² in the class of origin-symmetric convex bodies. That is, if K is an origin-symmetric convex body in ?² such that it has area π and its p-affine perimeter is close enough to the one of an ellipse with the same area, then, after applying a special linear transformation, K is close to an ellipse in the Hausdorff distance.