虚二次域Q((1-4k~n)~(1/2))类数整除性的例外情况

设d是无平方因子正整数,h_K是虚二次域K=Q((-d)~(1/2))的类数.又设d满足1+da~2=4k~n,其中a,k,n是适合k1,n2的正整数.运用初等数论方法给出了数组(d,a,k,n)可使n|h_K成立的必要条件.     

关于Q(√/4k2x+1)的理想类群的循环子群

设d,a,k,n是适合4k2n+1 =da2, k>1, n>2, d无平方因子的正整数;又设C(K)和h(K)分别是实二次域K=Q(√d)的理想类群和类数.本文证明了:当a<0.5k0.56n时,则h(K)≡0(mod n)和C(K)必有n阶循环子群.     

虚二次域类数的可除性

设正整数d1,d2满足gcd(d1,d2)=1,d=d1d2＞3且d1无平方因子,h(d)为虚二次域Q(√-d)的类数,这里d1,d2满足下列等式d1a2+d2b2=4kn, gcd(d1a,d2b)=1, a,b,k,n∈N.k＞1,n＞1,b |* d2,其中符号b |* d2表示b的每个素因子整除d2.本文应用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原因子的一个新结果,给出了这类类数问题的完整的解答.同时还给出了广义Ramanujan-Nagell方程的一般性结果.     

2011年高考江苏卷第20题的另解

题(2011年江苏20)设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn.已知对任意的整数k∈M,当整数n＞k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.     

丢番图方程|(εn-ε-n)/(ε-ε-)|=1的解数

设a、b、c、k是适合a+b=ck,gcd(a,b)=1,c∈{1,2,4},k＞1且k在c=1或2时为奇数的正整数;又设ε=(()a+()-b)/()c,ε=(()n-()-b)/()c.本文证明了当(a,b,c,k)≠(1,7,4,2)或(3,5,4,2)时,至多有1个大于1的正奇数n适合|(εn-εn)/(ε-ε)|=1,而且如此的n必为满足n＜1+(2logn)/logk+2563.43(1+(21.96π)/logk)的奇素数.     

实二次城 Q(■)类数的可除性

设 d 是无平方因子正整数,h(d)是实二次域 Q(d~(1/2))的类数.本文证明了:如果 da~2=1+4k~(2n),a、k、n 是正整数,k>1,n>1,n 的奇素因子 p和 k 的素因子 q 都适合 gcd(p,(q-1)q)=1,而且 2k~n+ad~(1/2)是 Pell 方程u′~2-dv′~2=-1 的基本解,则除了(a,d,k,n)=(5,41,2,4) 以及 n=2,k=P_mP_(m+1) 或者 2Q_mQ_(m+1) 以外,h(d)=0(modn),这里 m 是正整数,P_m=1/2((1+2~(1/2))~m+(1-2~(1/2))~m),Q_m=1/22~(1/2)((1+2~(1/2))~m-(1-2~(1/2))~m).由此可推得:对于任何正整数 n,存在无限多个实二次域,可使 n 整除其类数.     

实二次城 Q(■)类数的可除性

设 d 是无平方因子正整数,h(d)是实二次域 Q(d~(1/2))的类数.本文证明了:如果 da~2=1+4k~(2n),a、k、n 是正整数,k>1,n>1,n 的奇素因子 p和 k 的素因子 q 都适合 gcd(p,(q-1)q)=1,而且 2k~n+ad~(1/2)是 Pell 方程u′~2-dv′~2=-1 的基本解,则除了(a,d,k,n)=(5,41,2,4) 以及 n=2,k=P_mP_(m+1) 或者 2Q_mQ_(m+1) 以外,h(d)=0(modn),这里 m 是正整数,P_m=1/2((1+2~(1/2))~m+(1-2~(1/2))~m),Q_m=1/22~(1/2)((1+2~(1/2))~m-(1-2~(1/2))~m).由此可推得:对于任何正整数 n,存在无限多个实二次域,可使 n 整除其类数.     

关于多项式系数的整除性

设 n是正整数 ,k1 ,k2 ,… ,ks 是适合 k1 +k2 +… +ks=n的非负整数 ,正整数 nk1 k2 … ks=n!k1 !k2 !… ks!称为多项式系数 .本文讨论了当n=a0 +a1 p+a2 p2 +… +arpr ,其中 p为素数且 p≤ n,0≤ ai相似文献   

一个不等式结论的再推广

结论[1] 设xi＞1(i=1,2,3,…,n),k是正整数,n≥2,则     

关于多项式系数的整除性

设n是正整数,k1,k2,…+k1=n的非负整数,正整数[nk1k2…ks]=n！/k1!k2!…k5!称为多项式系数,本文讨论了当n=a0+a1p+a2p^2+…arp^r,其中p为素数且p≤n,0≤ai&;lt;p(0≤i≤r);ki=a0^(i)+a1^(i)p+…+ar^(i)p^r,其中ki≤0,∑^si=1,ki=n,0≤ak^(i)p(0≤i&;lt;s)时多项式系数的整除性问题,得出的结果推广了著名的Lucas定理^[1].     

关于一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥2,Hk表示一个正整数n的集合,使对任意的正整数q,同余方程a+b2三n(modq)在模q的既约剩余系中有解a,b.Dk(N)表示n≤N,n∈Hk,但不能表成p1+p22=n的数的个数,其中p1,p2表示素数.则在GRH下,Dk(N)<<N1-1/k(h(k)+1)+ε,这里k=2,3;h(2)=2,h(3)=8.     

一个不等式猜想的证明

对于正数ai>0,i=1,2,…,n,k为给定的正整数,若∑ni=1ai=1,笔者在文[1]末提出了猜想:∏n-1i=1(1∑kj=1ai j-∑nj=k 1ai j)≥(nk kn-1)n(1)其中an i=ai(i=1,2,…,n-1),k为常数,且0相似文献   

丢番图方程|(ε~n-"非汉字符号"~n)/(ε-"非汉字符号")|=1的解数

设 a、b、c、k是适合 a+b=ck,gcd(a,b) =1 ,c∈ { 1 ,2 ,4} ,k>1且 k在 c=1或 2时为奇数的正整数 ;又设 ε=(a + - b) / c ,ε=(a - - b) / c .本文证明了 :当 (a,b,c,k)≠ (1 ,7,4,2 )或 (3,5,4,2 )时 ,至多有 1个大于 1的正奇数 n适合 |(εn-εn) / (ε-ε) |=1 ,而且如此的 n必为满足 n<1 +(2 logπ) / logk+2 563.43(1 +(2 1 .96π) / logk)的奇素数 .     

勾股数问题的推广——空间勾股数

我们知道m>n,m、n都是正整数时,m2-n2、2mn、m2+n2为一组勾股数,当k为正整数时,用k乘以上各数,也可以得出另一组勾股数:k(m2-n2)、2kmn、k(m2+n2).如图1,若设过长方体一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,长方体对角线的长为d.则a2+b2+c2=d2.下面我们就探索a、b、c、d都为正整数的构造方法,暂称这四     

加法表示函数的若干性质

令A={a_1,a_2,…}(a_1≤a_2≤…)是一个无限非负整数序列.设k≥2是固定的正整数,对n∈N,令R_k(A,n)表示方程a_i_1+…+a_i_k=n解的个数.令R_k~((1))(A,n)及R_k~((2))(A,n)分别表示上述方程带限制条件i_1…i_k及i_1≤…≤i_k时解的个数.最近,陈永高和本文作者证明了如下结果:设d是一个正整数,若对充分大的所有n皆有R_k(A,n)≥d,则R_k(A,n)≥d+2[k/2]!d~(1/2)+([k/2]!)~2对无穷多个n成立.本文获得了R_k~((1))(A,n)及R_k~((2))(A,n)的相关结果.     

非整边的直角三角形整距点问题

以直角顶点为原点 ,两直角边分别为 x轴和 y轴的正方向建立坐标系 .不妨设斜边所在直线方程为 ax +by=n,则方程 ax +by=n - kc(其中 a、b、c∈ N+,且 a2 +b2 =c2 ,k为整数 )的正整数解就是整距点的坐标 ,因此整距点问题与一类不定方程的正整数解联系起来 .设 a,b,n皆为正整数 ,有以下引理 .引理 1　方程 ax +by =n有整数解的充要条件是 (a,b) |n.引理 2　若 (a,b) =1,且 x0 ,y0 为方程 ax+by =n的一组解 ,则方程其它解可表示为 :x =x0 +bt,y =y0 - at(t为整数 ) .引理 3　设 (a,b) =1,则当 n>ab- a-b时 ,方程 ax +by =n必有非负整数解 .以…     

一类数论函数及其均值分布性质

设正整数n≥ 3,对任一整数1≤a≤n-1且(a,n)=1,显然存在唯一的整数1≤(?)≤n-1使得a(?)≡1(mod n).本文的主要目的是研究差式|a-(?)|的分布性质,给出均值函数:M(n,k)≡sum fron a=1 to n-1(1/n)|a-(?)|~(2k 1)的一个较强的渐近公式.     

等差数列的一个充要条件

定理　数列 {an}为等差数列的充要条件为 :对任意整数 k,当 m 1≤ k≤ n - 1时 ,恒有等式 :( n - k) am ( k - m) an =( n - m) ak,其中 m,n∈ N且 n >m≥ 1 .证明　 (必要性 )设数列 {an}为等差数列 ,公差为 d,则　 an =am ( n - m) d,于是对任意正整数 m,n,k有　 ( n - k) am ( k - m) an= ( n - k) am ( k - m) [am ( n - m) d]= ( n - m) [am ( k - m) d]=( n - m) ak.由于正整数 m,n,k的任意性 ,故当 m 1≤ k≤ n - 1时 ,等式仍然成立 .(充分性 )若对任意正整数 k都有等式( n - k) am ( k - m) an =( n - m) ak,( 1…     

刀切 U-统计量和 Von-Mises 统计量函数的强逼近

设 Y_i=(Y_(1i),…,Y_(ki)),i=1,…,n 为 k 维 i.i.d.随机样本,θ=(θ_1,…,θ_k)'为总体的未知参数,设存在 k 个正整数 m_t(≤n—1),t=1,…,k,及 k 个分别为 m_1,m_2,…,m_k 元对称的 Borel 可测函数     

Smarandache函数的几类相关方程的解

设φ(n),S(n)分别表示正整数n的Euler函数和Smarandache函数,利用初等的方法和技巧,依据Smarandache函数计算公式,给出k的方程φ(p~αm)=S(p~(ακ))的所有解,其中p为素数,α,m为正整数且gcd(m,p)=1,由此得到方程φ(n)=S(n~k)的所有解(n,k)进而确定了满足条件S(n)|σ(n)的全部正整数n.最后,根据莫比乌斯变换反演定理证明了方程φ(n)=∑_(d|n)S(d)仅有两个解,分别为n=2~5和n=3×2~5.