也谈“解直角三角形”

解直角三角形,是初中几何联系实际,综合运用知识、技能和培养能力的重要内容,并且解直角三角形是数学的一个重要工具,也是解任意三角形的最基本的方法,它有着广泛的应用.因此,同学们必须熟练掌握解直角三角形的解题思路和方法步骤.一、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有5个基本元素,即3条边和2个锐角.由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.二、解直角三角形的依据1.三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).(如图1)2.锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.3.边角之间的关系:sinA=cosB=ac;cosA=si…     

直角三角形的几种解法

解直角三角形是三角学内容的重要部分,这一部分的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.特殊锐角与其三角函数之间的对应关系也很重要,应当牢记.三角函数定义是本章的第一个重点,因为它是全章乃至全部三角学的预备知识.有了锐角三角函数的概念,解直角三角形,引入任意角三角函数便有了基础.运用直角三角形中边与角的关系解直角三角形是本章的第二个重点,因为它是学习本章概念与理论的应用.解直角三角形还有利于数形结合,通过解直角三角形,才能对直角三角形的概念有较为完整的认识,才能把直角三角形的判断、性质、作图与直角三角形中边…     

注重数学实质 突出内在联系——青岛版义务教育教科书·数学九年级上册第二章“解直角三角形”介绍

解三角形包括解直角三角形和解斜三角形两类问题.对于解斜三角形,可以通过作斜边上的高,将其转化为解直角三角形问题.因此,解直角三角形在解三角形这一内容中占有重要的地位.在生产、生活及相关学科中,我们经常遇到测量和计算距离、高度、角度等实际问题.这些问题都可以归结为求直角三角形中的边或角的问题.因此,学习本章有着重要的理论价值和实用价值.通过本章的学习以及运用相关知识解决一些简单的实际问题,可使学生进一步体会转化、数形结合和模     

选用典型例题,多角度强化思维训练

一题多解是解题教学活动中最能刺激学生思维兴趣的教学活动选用典型的例题，通过多角度分析，培养学生灵活运用知识的能力，从而激发学生的探索兴趣和创造精神，强化思维训练．问题：直角三角形的斜边长为c，另两边长为a、b，求证：并问等号什么时候成立1直觉思考这是一道几何不等关系的证明问题很自然地使人们去考虑如何运用几何方法实现证明目标因此，以直角三角形为基础，构造出线段a＋b及，并建立大小比较关系是解题的突破口．方法1如图1，构造直角梯形ACDE，当a＝b时，四边形ACDE为矩形，则CD＝AE；即；当。a≠b时，四边形ACDE…     

“直角三角形的性质”教学设计与反思

“二期课改”要求教学过程中“改变单一的接受性学习方式,倡导接受与体验、研究、发现相结合的学习方式”,“改变单一的个体学习方式,倡导独立自主与合作交流相结合的学习方式.”这些观点,使笔者改变了教育理念,在教学实践中作了一些尝试,本文将以“直角三角形的性质”为例说明一些做法,阐述一些教学心得.笔者在“直角三角形的性质”的教学设计时着重考虑以下四个方面:1.突出课程的理念:本节课是在学生掌握一些基本的几何证明及直角三角形的两个性质的基础上,讲授直角三角形的另两个性质,为初三的“解直角三角形”的学习打下扎实的基础.2.体…     

完全平方公式在解三角形中的应用

本文试用完全平方公式 (a±b)~2=a~2±2ab b~2来解三角形。一、解直角三角形如果我们把a、b看成一个直角三角形的两条直角边,那么,由勾股定理:a~2 b=c~2;直角三角形的面积公式:S=1/2ab,即ab=2S。将它们代入上面公式得 (a b)~2=c~2 4S (1) (a-b)~2=c~2-4S (2) 在(1)、(2)两式中,S表示直角三角形的两积,c表示斜边,a b、a-b分别是两条直角边的和与差。可以看出(1)、(2)两式分别给出了直角三角形的两条直角边的和,差与斜边、面积之间的关系。据此,只要已知c、S、a b和a-b这四个量中的任何两个,我们就可以用(1)、     

透视解直角三角形的应用问题

利用解直角三角形来解决生活中的实际问题,是初中数学的重要内容,也是中考命题的热点之一.解决这类问题,关键是要将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系,即把实际问题抽象成数学模型(构造直角三角形),然后根据直角三角形边、角以及边角关系求解.解题时应意弄清仰角、俯角、水平距离、坡度(坡比)、坡角等概念的意义,认真分析题意,观察图形(或画图)找出要解的直角三角形,选择合适的边角关系式计算,并按照题中要求的精确度确定答案,注明单位.现以2010年中考试题为例予以解析说明.     

折纸活动--三角形的内接矩形

课前准备　请学生准备两个直角三角形纸片、两个锐角三角形纸片 .教学过程1　提出问题缝纫师傅想用一块三角形的布料剪出一块面积最大的正方形方巾 ,现在他手中只有一把剪刀 ,问他应该如何剪 ?这是一个实际问题 ,能否用我们所学的数学知识加以解决 ,或者说 ,这个问题能否转化成一个数学问题呢 ?抽象去“布料”、“剪刀”等实际背景 ,相应的数学问题是 :如何由一个三角形纸片折出面积最大的正方形 ?为此 ,我们先“动手做”.2　活动 1 　在直角三角形的纸片中折出面积最大的正方形2 .1　逼近 :先在直角三角形纸片中折出矩形学生动手探索后 ,给…     

剥离生活情境 感知数学模型——以“解直角三角形的应用”为例

"从现实生活或具体情境中抽象出数学问题"是"建立和求解模型的过程"的必经环节.在数学教学中,我们应重视数学问题中生活情境的"剥离",让学生在经历问题数学化的过程中,充分感知丰富情境背后的数学模型,积累"净化"数学问题解决环境的经验,提升学生分析问题和解决问题的能力.本文将结合"解直角三角形的应用"的教学片断谈谈笔者的做法及感悟,希望能给你带来启示.一、"解直角三角形的应用"教学片断及分     

精准施策，提高中考几何备考效率

中考几何备考是教师指导学生系统整合几何知识内容、全面建构几何知识结构体系、提炼解题方法的过程.笔者通过培养学生作图能力、常用几何模型的渗透、一题多解与结论的拓展、专题类问题的解决、动态演示五个教学策略的精准运用,以期突破“几何难学,几何难教”的瓶颈,实现中考几何备考提质增效.     

例析解“双直角三角形”问题

双直角三角形是指一条直角边重合,另一条直角边共线的两个直角三角形.双直角三角形问题作为初中数学中考的一个热点,一直受到各地命题者的青睐.解这类问题的基本零路是:运用“遇斜化直”的数学思想,即通过作辅     

这样的直接三角形、菱形存在吗？

例1斜边长为10,斜边上的高为6的直角三角形存在吗?略解设两直角边长分别为a、b,则斜边长为a2槡+b2,解方程组a2+b2=100ab烅烄烆=60 12由2得b=60a,代入1整理,得(a2)2-100a2+3600=0,显然判别式Δ<0,所以原方程组无解,故这样的直角三角形不存在.评注不妨设两直角边长分别为a、b,斜边长为c,斜边上的高为hc,则a2+b2=c2.由等面积法得12chc=12ab.∴2chc=2ab≤a2+b2=c2.(当且仅当a=b时,即该直角三角形为等腰直角三角形时取等号)∴hc≤c2.1显然,当hc=6时,c≥12;当c=10时,hc≤5.从两个角度均说明:上述直角三角形不存在.故直角三角形题目命制时,c、hc是相互制约的,不可随意赋值.     

一个三角形个数的计算问题

问题 :将圆周 n等分 ,在 n个等分点中 ,任取三个点都能构成一个三角形 ,那么 ,在这些三角形中 ,直角三角形、钝角三角形、锐角三角形各有多少个 ?目前未见有人对这一问题进行研究 .笔者发现 ,各种三角形个数与方程x1 x2 … xm =n的正整数解的个数有关 ,因而试着利用求相应方程的整数解的方法来计算有关三角形个数 ,非常方便 .为此 ,先给出前述方程的正整数解的个数的一个结论 .方程 x1 x2 … xm =n( m≤ n,m、n∈ N ,n≠ 1 )的正整数解的个数是 Cm - 1n- 1.证明　当 m =1时 ,方程只有一个解 ,结论显然成立 .设 m >1 ,如图 1 ,将 n…     

三角函数与解直角三角形的几种解法

在解直角三角形这一章中 ,锐角三角函数和解直角三角形是本章的重点之一 ,而锐角三角函数是解直角三角形的基础 .解直角三角形是解任意三角形的最基本的方法 ,有着广泛应用 .同学们应切实学好 .下面谈运用本章的知识进行解题的几种方法 .一、用锐角α的三角函数值都是正值和变化规律( 0 0 <α <90 0 ,则sinα,tanα随着α的增大而增大 ;cosα ,cotα随着α的增大而减小 )进行解题 .例 1　化简 :( 1 -cot3 0°) 2 +|1 -tan3 5°|+tan2 3 5° -cot45°.解 :原式 =|1 -cot3 0°|+|tan45°-tan3 5°|+|tan3 5°|-1=cot3 0°-1 +tan45°-tan3 5°…     

巧构直角三角形

直角三角形是三角形家族中的“骄子” ,是解题的“利器” ,特别是在解三角形函数时 ,若能适时改变视角 ,恰当地构造直角三角形 ,则不仅可以使解答过程简捷直观 ,而且有助于学生创新思维能力的培养 .一形象记忆特殊角的三角函数值0°、3 0°、45°、6 0°、90°的三角函数值在解题时常常要用到 ,可是我们却苦于记忆 .为减轻同学们的记忆负担 ,可借助于图形的直观、形象 .如 :可构造直角三角形如图 1 ,图 2所示 ,然后根据三角函数定义直接得出 .图 1图 2二巧求某些特殊角的三角函数值图 3例 1　求 1 5°的四个三角函数值 .解作Ｒｔ△ＡＣＢ如…     

立足素养 精准教学——新教材“基本不等式”第一节的教学实践与感悟

本文以人教版普通高中数学新教材"基本不等式"第一节为例探索精准教学,通过精准解读教材、制定目标、实施策略、教学反思四个途径改善教学实践,使学生在学习和应用数学知识的过程中落实"四基",培养"四能",发展"数学核心素养".     

解直角三角形考点例解

三角函数的定义,特殊角的三角函数值以及互余、同角三角函数间的关系,简单的解直角三角形等知识的考查多以填空题、选择题出现在中考试卷中,而运用解直角三角形的知识解决实际问题的大题或综合题是近年来中考的热点题型.本文以2004年中考题为例说明.     

找准生长点,思辨特殊与一般——李庾南老师“直角三角形全等”课例赏析

我们知道,“HL”是直角三角形全等的一种特殊判定方法.教学中通常创设剪拼、重合的方法来验证得出全等依据,也有的通过尺规作图的方法获得两个直角三角形,再剪拼验证它们是否能重合.这样的教学情境固然能帮助学生学习直角三角形全等的判定方法(HL),然而笔者最近关注到全国著名特级教师李庾南老师一节“直角三角形全等”的课例,却是从一般三角形全等方法入手,引导学生探索直角三角形全等的条件,不但让学生探索出新的判定方法,同时在这个过程中,学生还     

解直角三角形中的方程思想

我们知道,在解直角三角形时,必须知道除直角外的2个元素(至少有1个是边),才能求出其它的未知元素.如果只知道除直角外的1个元素时,往往要运用方程思想,即通过已知和未知的联系,建立起方程或方程组,通过解方程或方程组,求出未知量,从而使问题得到解决.下面举例加以说明.     

直角三角形中的一些数量关系

明确直角三角形中的一系列有趣的数量关系，掌握直角三角形的特征性质，可以加深我们对这类特殊图形的认识．这样既可以使我们能灵活运用这些特征性质去解决有关问题，又可以使我们以这些特征性质为背景材料构作新的数学问题．本文从两个方面介绍直角三角形中的一些有趣的数量关系．1几个充分必要条件命题1（勾股定理及逆定理）一个三角形为直角三角形的充分必要条件是：两条边长的平方和等于第三条边长的平方．命题2一个三角形为直角三角形的充分必要条件是：一边上的中线长等于该边长的一半．命题3△ABC为直角三角形，且C为直角顶点的充…