例谈“辅助角公式”在解高考题中的应用

形如y=asin x＋bcos x型的函数,可采用如下变形：asinx＋bcosx=a2＋b2（1/2）（sinx·a/a2＋b2（1/2）＋cos x·b/a2＋b2（1/2））=a2＋b2（1/2）sin（x＋φ）,其中sinφ=b/a2＋b2（1/2）,cosφ=a/a2＋b2（1/2）.这种＂合一变形＂公式通常称为辅助角公式,它是研究三角函数问题的一个强有力的工具.     

一个三角公式的向量意义

<正>同学们知道,asinθ+bcosθ=(a2+b2)^(1/2)sin(θ+φ)(其中tanφ=b/a(a≠0))这个三角公式常a常在三角变形中有广泛运用.为了更好地理解这个等式,结合向量的数量积可给出它的一种向量意义.现介绍如下,供同学们参考.从公式左边的结构看,由此不难联想到向量的数量积.如图所示,圆O是单位圆.P是圆O上任意一点.     

α、60°-α、60°+α角的同名函数的积

这是教材上的一组习题: 求值①sin20°sin4O°sin8O°, ②cos20°cos40°cos8O°, ③tg10°tg50°tg70°。利用积化和差公式,不难求其结果。研究这类问题,还可发现如下规律:每组角可统一表示为α、60°-α、60°+α。上述题①、②中,α=20,题③中,α=10°。进一步研究还可得到:α、60°-α、60°+α角的同名函数的积都可用α的三倍角的同名函数表示出来,即是     

争鸣

问题　　问题6 7　　设实数m ,n ,x ,y满足m2+n2 =a ,x2 +y2 =b ,求mx +ny的最大值.观点1　∵mx +ny≤m2 +x22 + n2 +y22=(m2 +n2 ) + (x2 +y2 )2 =a +b2 ,∴(mx +ny) max=a +b2 .观点2　由已知,设m =acosθ,n =asinθ,θ∈[0 ,2π) ,x =bcosφ,y =bsinφ,φ∈[0 ,2π) ,则mx +ny =abcosθcosφ+absinθsinφ=abcos(θ- φ)≤ab ,当且仅当θ=φ时取等号.∴(mx +ny) max=ab .观点3　由观点2 ,得mx +ny≤ab ,又ab≤a +b2 ,∴mx +ny≤a +b2 ,当且仅当θ=φ且a =b时取等号.∴(mx +ny) max=a +b2 .到底谁对谁错,还是题目本身就有错?问题6 8　人教…     

构造三角形证明三角函数的和角公式

一、cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ 证明构造如图的三角形. 由图可得: acosα=bcosβ① 又由余弦定理得把①代入②得     

asinα bcosα=(a~2 b~2)~1/2sin(α φ)的应用

ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓα＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ（α＋φ）的应用夏中全（重庆市武隆县中学４０８５００）高中代数上册第１９５页给出了公式：ａｓｉｎα＋ｂｃｏｓα＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ（α＋φ）①其中辅助角φ所在的象限由ａ，ｂ的符号确定，φ的值通常由ｔｇφ＝ｂａ确定...     

同角三角函数基本关系式的灵活运用

<正>同角三角函数的基本关系式有两个:(平方关系式:sin2α+cos2α=1;商数关系式:tanα=sinα/cosα).利用它们可以求值、化简和证明,要求同学们熟练掌握关系式,并能在解题过程中能够灵活使用从而简化解题过程,下面就利用同角三角函数的基本关系式进行解题介绍几种方法.     

关于asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(a+φ)中确定φ的简便方法

《中学数学》一九八四年第二期王存仁同志的“关于asina+bcosa=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+)中的确定”一文,谈了对新编高中数学教材第一册关于asina+bcosa=(a~2+b~2)~(1/2)sin(a+)中的确定的新结论的理解,并举实例进行说明,无疑是正确的,这个问题是在三角恒等变形中,学生应该很好掌握的一项基本技能,应加以重视。但学生在学习过程中,对辅助角的确定往往出错。本人在教学中,对辅助角的确定采用数形合一的方法,利用直角三角形去确定,颇受学生欢迎,方法是:     

4三角函数

4.1 任意角的三角函数 内容概述 1.角的概念的推广,角的大小的表示法(角度制和弧度制),弧长公式,扇形面积公式. 2.任意角的三角函数的概念,三角函数线,三角函数在各个象限内的符号. 3.同角三角函数的基本关系式: sin2α+cos2α=1, (sinα)/(cosα)=tanα, tanαcotα=1.     

一道值得商榷的习题答案

统编教材解析几何课本第183页有这样一道习题:“求经过点A(a、0)和极轴相交成α角的直线的极坐标方程”。教学参考书中给出的答案是:psin(α-θ)=asinα。笔者认为这个答案值得商榷。众所周知:“和极轴相交成α角”与“极轴到直线的角是α”是两个不同的概念,前者角的终边和始边没有固定,而后者角的终边和始边固定的。然而教参中的答案恰把它们看作     

象限角的表示形式及应用

<正>角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就称这个角为第几象限的角.特别地,角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.所有第一象限的角α可用不等式2kπ<α<2kπ+π/2,k∈Z表示,所有第二象限的角α可用不等式2kπ+π/2<α<2kπ+π,k∈Z表示,所有第三象限的角α可用不等式2kπ+π<α<2kπ+3π/2,k∈Z表示,所有第四象限的角α可用不     

对高中新教材中一道习题的完善建议

高中《数学》第一册(下)P41第10题能否进一步完善,请同学们讨论。 原题为:已知 asin(θ+α)=bsin(θ+β),求证:     

用余弦定理证公式C_(α+β)

高中《代数》第一册通过作辅助角-β,然后根据两个三角形全等和两点间距离公式证明了公式Cα+β,方法较繁,现给一种简捷法。证明建系如图5,作单位圆O,α、β角的始边为ox,交圆O于P,终边分别交圆O于P_1和P_2,其坐标是:P_1(cosα,sinα)P_2(cosβ,sinβ)。由余弦定理得     

sinα±cosα与tgα-ctgα的符号图

判断ｓｉｎα±ｃｏｓα与ｔｇα -ｃｔｇα的符号问题 ,在高考中屡见不鲜 .由单位圆中的三角函数线易得如下结论 :图 1　ｓｉｎα±ｃｏｓα的符号图　图 2　ｔｇα -ｃｔｇα的符号图由图 1知 ,直线 ｙ =±ｘ将坐标平面分成四个区域 ,当角α的终边落在直线ｙ=ｘ上时 ,ｓｉｎα-ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =ｘ上方有ｓｉｎα -ｃｏｓα >0 ,在 ｙ =ｘ下方有ｓｉｎα-ｃｏｓα <0 ;当角α的终边落在直线 ｙ =-ｘ上时 ,ｓｉｎα +ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =-ｘ上方有ｓｉｎα +ｃｏｓα >0 ,在ｙ =-ｘ下方有ｓｉｎα +ｃｏｓα <0 .由图 2知 ,ｘ轴、ｙ轴…     

角的周期性的认识与探究

<正>一、问题提出:认识角的周期性完成了三角函数的学习之后,我们知道所有与任意角α终边相同的角均可表示为:α+k·360°(k∈Z).所以两个终边相同的角之间一定相差360°的整数倍,因此我们可将旋转的最小正周期T视为360°.认识了终边相同的角,感受了角的周期性之后,我们自然会提出:如何认识角的周期性,又如     

象限角α的半角定位技巧及应用

由象限角α的位置怎样迅速确定角α/2的大致位置,这样的问题屡现于三角函数有关试题中.下面给出一个有规律且便于记忆的图象确定法.     

终边相同的角的表示形式及应用

<正>所有与角α终边相同的,连同角α在内(而且只有这样的角)可以用式子k·360°+α,k∈Z表示,或用2kπ+α,k∈Z表示,它们互称终边相同的角.与角α终边相同的角的集合可记作S={β|β=k·360°+α,k∈Z},或S={β|β=2kπ+α,k∈Z}.下面举例说明这一表示形式及应用.例1写出在-720°到720°之间与-1050°的角终边相同的角的度数.简析首先写出与-1050°的角终边相同     

关于化asina+bcosa为一个角的函数式的教学

一、问题的提出在现行高中数学课本第一册中有这样一道习题:化3cosx-4sinx为一个角的一个函数的形式。学生的答案容易是“5sin(x+φ),其中tgφ=-3/4”;而教学参考书的答案则是“5sin(θ-x),其中tgθ=3/4”。这两个答案都是不确定的。因为由正切的值不能确定φ(或θ),这是由于同一个正切值有两个象限的角可以满足。实际上对这个问题,六年制重点中学课本(P207)已     

一类复映射z←eiφ((z))α+c(α＜0)的广义M集

本文分析了一类复映射z←eiφ((z))α+c{α＜0,φ∈[0,2π)]的临界点的性质,给出了广义Mandelbrot集(简称广义M集)的定义,并构造出一系列广义M集.利用复变函数理论和计算机制图相结合的实验数学的方法,本文对广义M集的结构和演化进行了研究,结果表明:1).广义M集的几何结构依赖于参数α,R和φ;2).整数阶广义M集具有对称性和分形特征; 3).小数阶广义M集出现了错动和断裂,且其演化过程依赖于相角主值范围的选取.     

单位球上加权Bergman空间的复合型算子

本文给出了Cn中单位球上加权Bergman空间Apα到Bloch型空间βq的加权复合算子Tψ,φ为有界算子和紧算子的简捷充要条件,同时给出了如下结果:(1)若复合算子Cφ在Apα上有界,则Cφ在Apα上紧的充要条件是lim|z|→1-1-|z|/1-|φ(z)|=0.该结果改进了Zhu的相应结果.(2)复合算子Cφ是Apα到βn+1+α+p/p紧算子的充要条件是lim|z|→1-1-|z|/1-|φ(z)|=0.